文科数学试题
命题人：临县一中 李有贵 孝义中学 蔡雪梅 文水中学 孙新意 审题人 汾阳中学 赵燕萍
一、选择题（本大题共 12 小题）
1.已知集合M x | 4 x 2 ， N x | x2 x 6 0 ，则M N ( )
A. ( 4,3] B. ( 4, 2] C. ( 4, 3] D.[ 3,2)
2.已知命题 p： , R, ，使 sin sin ；命题 q： x R，2x 1.
则下列命题中为真命题的是 ( )
A. p ( q) B. ( p) q C. p q D. ( p) ( q)
3.已知 a (1,m) ，b (2,1) ,且a / /b，则m ( )
1 1
A. B. 2 C. 2 D.
2 2
4.曲线 y f (x) 在 x 1处的切线如图所示，则 f '(1) f (1) ( )
1
A. 0 B. 1 C. 1 D.
2
5.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如
图，某摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要 30 min . 游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开
始转动后，游客距离地面的高度 H （单位：m）关于时间 t（单位： min ）的函数为
H 55sin( t ) 65,t [0, ) ，其中 0 ，那么游客在开始转动5min 后距离
2
地面的高度为 ( )
A. 37.5m B. 92.5m C. (65 55 3 )m D. (65 55 3 )m
2 2
6.已知 a 21.1，8b 5， c ln 3，则 ( )
A. c b a B. c a b C.b c a . D.a c b
(0, 7.已知 ) 3，且 cos ，则 tan( ) ( )
2 5 4
1 1
A. B. C. 7 D. 7
7 7
1
8.在 ABC中， AB 3AD， P为直线CD上一点，若 AP AB AC ，则实数 ( )2
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 2 3 3
9.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在 2019 年约为 400 万吨，2019 年的年增长率为 50%，有专家预测，
如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，则快递业产生的包装垃圾超过 4000 万吨的年份是（ ）年．
（参考数据： lg 2 0.3010, lg3 0.4771 ）
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D.2026
1
10.在 ABC中，角 A,B,C 所对的边为 a,b,c，点G 是三角形 ABC的重心，若 a GA b GB c GC 0，则
ABC的形状是 ( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或者直角三角形
11.已知函数 f (x) cos(2x ) ，则下列结论错误的是 ( )
4
A. f (x) 的最小正周期是 B. y f (x)
5
的图象关于 x 对称
8
C. f (x) 在 (0, ) 上单调递增 D. 把 f (x) 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到的函数是偶函数
4 8
1 1 11
12.若函数 f (x) 是定义域为 R的奇函数，且满足 f (x 2) f ( x) ，若 f ( ) ，则 f ( ) ( )
2 2 2
1 1 3 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
二、填空题（本小题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知向量 a (1,1)，b (3, 4) ，则向量 a在向量b方向上的投影为___________
14.若函数 f (x) 同时满足下列三个条件：（1） f (x) 是偶函数；（2） f (x) 在 ( ,0)单调递增；（3） f (x) 的值域是
(0, ) .则满足题意的 f (x) 的解析式可以是______________（写出一个解析式即可）
15.已知函数 f (x) ln( x 2 1 x) sin x 1 ，则 f (a) f ( a) ___________
16.已知定义在[0, ) 上的函数 f (x) 的导函数为 f '(x) ，且 f (0) 0， f '(x) cos x f (x)sin x 0 ，给出下面四个
2
结论：① f ( ) 6 f ( ) ，② f (ln ) 0 ，③ f ( ) 3 f ( ) ，④ f ( ) 2 f ( ) ，则正确结论的是序
6 2 4 3 6 3 4 3
号是_________
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，要求写出必要的过程和步骤）
17.（本小题 10 分）
已知函数 f (x) x3 3ax 2，曲线 y f (x) 在 x 1处的切线方程为 3x y m 0 ．
（1）求实数 a，m的值；
（2）求 f (x) 的极值．
18.（本小题 12 分）
已知m ( 3 sin x,sin x cos x) ， n (2cos x,sin x cos x) ， f (x) m n
（1）求 f (x) 的单调递增区间
2 2
（2）若 f ( ) ，求 cos(2 ) 的值
2 3 3
2
19.（本小题 12 分）
在锐角 ABC中，角 A,B,C 所对的边为 a,b,c，已知 2a sin B 3b 0
（1）求角 A
（2）若 AD是 BC边上的中线，且 AD 3 ，求 ABC面积的最大值
20.（本小题 12 分）
已知函数 f (x) x 2sin x， x [ , ]
（1）求 f (x) 在[ , ]上的最值
1 2
（2 2）设 g(x) x 2cos x， x [ , ]，求证： 2 g(x) 2
2 2
21．（本小题 12 分）
某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算教学大楼主楼的高度．小组准备了三种工具：
测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）.
（1）如图，在文明路的水平路面上选取 A， B两点，首先利用百度地图测距功能测出 AB长度为 2km，接着在博
爱路上选定水平路面上可直接测距的C，D两点，测得 BCA 30 ， ACD 45 ， BDC 60 ， ADB 30 ，
请根据上述条件计算出CD长度，并将其与CD的实际长度 2840m进行比较，若误差介于 20 米 ~ 20 米之间，则认
为百度地图测距是准确的．你认为百度地图测距是否准确？ ( 2 1.414)
（2）请你利用准备好的工具（可不全使用），设计一种测量教学楼的高度的方法，并给出测量报告.
注：测量报告中包括你使用的工具、测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给
出你最后的计算公式．
3
22.（本小题 12 分）
已知函数 f (x) 1 x2 (a 1)x a ln x，其中 a 0
2
（1）求函数 f (x) 的单调区间
（2）讨论函数 f (x) 在 (0, )上的零点个数.
4文科数学答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B A D C A C D B C B C B
1 1 1
二、填空题 13. ；14. f (x) 1 ； f (x) 4 f (x)
5 x2 x
， f (x) x x 3 答案不唯一；
15. 2； 16. ①
1.【B】解析： N ( 2,3)， N ( , 2] [3, )， M N ( 4, 2]，故选 B
5
2.【A】解析：当 , 时，命题 p成立，所以 p真命题；由图象易知命题 q为假命题，故选 A
6 6
1
3.【D】解析：因为 a / /b， 1 1 2 m 0则m ，故选 D2
1 1 1
4.【C】解析：由图易知在 x 1处的切线方程为 y x 1，所以 f '(1) f (1) ( ) 1，故选 C
2 2 2
2
5.【A】解析：由题意知 ，所以H 55sin( t ) 65把 t 5代入解得H 37.5m，故选 A
30 15 15 2
6.【C】解析： a 21.1 2，又 8b 5, b log85 log88 1，而 2 ln e2 c ln 3 ln e 1
故选 C
7.【D】解析：因为 cos 3 4 4 1 tan ，解得 sin ， tan ， tan( ) 7，故选 D
5 5 3 4 1 tan
8.【B】解析： AP 1 AB AC 3， AB 3AD AP AD AC ，又因为C,P,D三点共线，2 2
3 1
所以 1， ，故选 B
2 2
3 n
9.【C】解析：设 2019 年起 n 年后快递业产生的包装垃圾超过 4000 万吨，则 400 4000
2
1
得 n 5.68，所以 6 年后，即 2025 年快递业产生的包装垃圾超过 4000 万吨，故选 C.
lg3 lg 2
AG 2 AD 2 1
10.【B】解析：取BC中点D，因为G为重心，所以 (AB AC )
1
(2AG GB GC )
3 3 2 3
所以GC (GA GB)，由 a GA b GB c GC 0得: (a c) GA (b c) GB 0
因为GA,GB不共线，所以 a c b c 0，即 ABC是等边三角形，故选 B
5
11.【C】.解析：易知 A 正确；又 f ( ) 1，B 正确；当 x (0, )时，2x ( , )， f (x)不是单调递
8 4 4 4 4
增，C 错误；把 f (x)的图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到的函数是 y cos 2x，故 D正确.故选 C
8
12.【B】解析：因为 f (x)是奇函数， f (x 2) f ( x) f (x)， f (x 4) f (x 2) ( f (x)) f (x)
11 11
所以 f (x)的周期为 4， f ( ) f ( 4) 3 3 f ( ) ，又因为 f ( ) f (2 1 ) f (1) 1 ，故选 B
2 2 2 2 2 2 2
1 a
13.【 】解析：投影
b 1
1
5 ，故填 5 b 5
1 1 1 1
14.【 f (x) 2 】解析： f (x) 2 ； f (x) x ， f (x) x
4 , f (x)
x 3 答案不唯一x x
15.【2】解析： f (a) f ( a) ln( a 2 1 a) ln( a 2 1 a) sin a sin( a) 2 2 ，故填 2
f (x) x 0, f g(x) g (x) (x) cos x f (x)sin x16【. ①】解析：令 ， ，则 ，因为 f (x) cos x f (x)sin x 0，cos x 2 cos2 x
f g (x) (x) cos x f (x)sin x 0 0,
g(x) f (x)
所以 2 在 上恒成立，因此函数 在 0, 上单调递减，因此cos x 2 cos x 2
g g
f 6
f 4 6 f (0)
，即 ，即 f f ，故①正确；又 f 0 0，所以 g(0) 0，
6 4 cos cos 6 2 4 cos0
6 4
g(x) f (x) 0 0, ln 0, f ln
所以 在 上恒成立，因为 ，所以 0，故②错；又 gcos x 2 3 2 3 6
g ，
3
f f f 6
f
3
所以
4 3
，即 f 3 f ，故③错误；又 g g ，所以 ，即
cos cos 6 3 4 3 cos cos
6 3 4 3
f 2 f
4 3
，故④错误；故填①
三、解答题
17.【解】（1） f (x) 3x2 3a，----------------------------------------------------------------------------1 分
曲线 f (x) x3 3ax 2在 x 1处的切线方程为 3x y m 0，
3 3a 3
，---------------------------------------------------------------------------------3 分
3 1 (3 3a) m 0
解得 a 2，m 0．---------------------------------------------------------------------------------------5 分
（2）由（1）知 f (x) x3 6x 2．---------------------------------------------------------------------6 分
f (x) 3x2 6，令 f '(x) 0，得 x 2．-----------------------------------------------------------7 分
令 f '(x) 0，得 2 x 2；令 f '(x) 0，得 x 2或x 2 ------------------------------8 分
即 f (x)在 , 2 单调递增， 2, 2 上单调递减，在 2, 单调递增．--------------9分
所以 f (x) f ( 2) 2 4 2 ， f (x) f ( 2) 2 4 2极大值 极小值 -----------------------------------10 分
18.【解】：（1） f (x) m n 2 3 sin x cos x sin 2 x cos 2 x -------------------------------2 分
3 sin 2x cos 2x 2sin(2x
) --------------------------------------4 分
6
由 2k 2x 2k ，解得 k x k ,k Z ---------------------------6分
2 6 2 6 3
所以 f (x)单调递增区间为[ k , k ], k Z -------------------------------------------------------8分
6 3
（2）因为 f ( ) 2 ，即 sin( 1 ) ，---------------------------------------------------------------------9 分
2 3 6 3
2
所以 cos(2 ) cos[2( ) ] cos 2( ) 2sin2( ) 7 1 ------------12 分
3 6 6 6 9
a b
19.【解】：（1）在 ABC中，由正弦定理得： , bsin A asin B ---------------1 分
sin A sin B
又因为 2a sin B 3b 0，所以 2a sin B 3b 2bsin A 3b 0，---------------------------3分
3
所以 sin A --------------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
2
又因为 ABC是锐角三角形，所以 A -------------------------------------------------------------------6 分
3
1
（2）解法 1：因为 AD是 BC边上中线，所以 AD (AB AC)，---------------------------------7分
2
2 1 2 2
两边平方得： AD (AB 1 2AB AC AC )，即3 (c2 bc b2) ，-----------------------9 分
4 4
即12 c2 bc b2 3bc，所以bc 4，当且仅当b c 2等号成立------------------------------11 分
所以 S 1 ABC bc sin A 3，即三角形 ABC面积的最大值为 3 ----------------------------------12 分2
解法 2：延长 AD至 E，使得 AD DE ,连接CE，易知，四边形 ABEC是平行四边形------------------7分
则在三角形 ACE中， AC b,CE a, ACE
2
3
在三角形 ACE中由余弦定理得： AE 2 AC 2 CE 2 2AC CE cos ACE ，--------------------------9分
(2 3)2 b2 c2 2bccos 2 即12 c2 bc b2，--------------------------------------------------------------10 分
3
即12 c2 bc b2 3bc，所以bc 4，当且仅当b c 2等号成立-------------------------------------11分
S 1所以 ABC bc sin A 3，即三角形 ABC面积的最大值为 3 ------------------------------------------12分2
20.解析：（1） f '(x) 1 2cos x，----------------------------------------------------------------------------1 分
令 f '(x) 0 2 2 得： x ；--------------------------------------------------------------------------------2分
3 3
令 f '(x) 0 2 2 得 x 或 x ，---------------------------------------------------------------3 分
3 3
则 f (x) 2 2 2 2 的单调递增区间为（- ， ），单调递减区间为（- ,- ）,( , )，-----------4 分
3 3 3 3
而 f ( ) ， f ( 2 ) 2 2 2 3， f ( ) 3 ， f ( ) -----------------------5分
3 3 3 3
f (x) f ( 2 ) 2 2 2 所以 min 3 ， f (x)3 3 max
f ( ) 3 -------------------------------6 分
3 3
1 2
（2）因为 g(x) x 2cos x是偶函数，所以只需考虑 x [0, ]即可.--------------------7 分
2
解法 1：当 x [0, ]时 g '(x) x 2sin x f (x)，---------------------------------------------------8 分
由（1）知当 x [0, ]时 f (x) 0恒成立，---------------------------------------------------------------9 分
即 g '(x) 0(g '(0) 0)恒成立，即 x [0, ]时 g(x)单调递增，--------------------------------10分
2
所以 2 g(0) g(x) g( ) 2 ，即证-------------------------------------------------------------12 分
2
1
解法 2：因为 y x2在 x [0, ]单调递增，------------------------------------------------------------8 分
2
y 2cos x在 x [0, ]单调递减，-------------------------------------------------------------------------9 分
所以 g(x) 1 x2 2cos x在 x [0, ]单调递增，----------------------------------------------------10 分
2
2
所以 2 g(0) g(x) g( ) 2 ，即证-------------------------------------------------------------12 分
2
21.【解】（1）设CD am，在等腰 Rt ACD中， AC 2am；---------------------------------1分
在 BCD中， BCA 30 ， ACD 45 ， BDC 60 ，可得 CBD 45 ------------------2分，
BC a 6
由正弦定理得 ，解得 BC a；-----------------------------------------------------------3 分
sin 60 sin 45 2
在 ABC 中，由余弦定理得
AB ( 2a)2 ( 6 a)2 2 2a 6 a cos30 2 a；---------------------------------------------------5 分
2 2 2
因为 AB 2km，所以 a 2 2km 2828m，-------------------------------------------------------------------6分
又因为 | 2828 2840 | 20（m），所以百度地图测距是准确的．----------------------------------------7 分
（2）解法一：选用测角仪与米尺即可，如图所示：-----------------------------8 分
-----------------------9分
①在楼顶与楼底分别选取两点 A，B，使得 AB 与地面垂直，在地面上取一点 C；------------10 分
②在 C 处测得 A 点的仰角为 ， BC a，测得测角仪的高度是 h；------------------------------11 分
③计算得楼高 AB a tan h .----------------------------------------------------------------------------------12 分
解法二：选用测角仪与米尺即可，如图所示：-------------------------------------------------8 分
-------------------------9 分
①在楼顶与楼底分别选取两点 A，B，使得 AB 与地面垂直，选择一条水平基线 HG ，使 H 、G 、 B三点在同一条
直线上；------------------------------------------------------10 分
②在G 、H两点用测角仪测得 A的仰角分别为 、 ，GH a，测得测角仪的高度是 h；-----------11 分
a sin sin a tan tan
③经计算得建筑物 AB h h)sin( ) （或 tan tan .-------------------------------------------------------12 分
f (x) (0, ) f '(x) x (a 1) a (x a)(x 1)22.【解】：（1） 的定义域为 ， ----------------1分
x x
①当0 a 1时，因为 x (a,1)时， f '(x) 0， x (0,a) (1, )时， f '(x) 0
所以 f (x)的单调递减区间为 (a,1)，单调递增区间为 (0,a), (1, ) -------------------------------------3分
②当 a 1时， x (1,a)时， f '(x) 0， x (0,1) (a, )时， f '(x) 0
所以 f (x)的单调递减区间为 (1,a)，单调递增区间为 (0,1), (a, ) ------------------------------------5分
③当 a 1时 f '(x) 0（当且仅当 f '(1) 0），所以 f (x)单调递增区间为 (0, ) --------------------6 分
（2）①当0 a 1时，由（1）知， f (x)在 (0,a)上单调递增，在 (a,1)上单调递减，
在 (1, ) 1上单调递增， ln a 0， f (a) a 2 a a ln a 0，
2
1
又因为 f (1) a 0，即 f (x)在 (0,1)上 f (x) 0，没有零点，
2
又因为 2a 2 1， f (2a 2) a ln(2a 2) 0，
由零点存在定理知 f (x)在 (1, 2a 2)有且仅有一个零点--------------------------------------------------------8 分
1
②当 a 1时，由（1）知， f (x)在 (0, )单调递增， f (1) a 0， 2a 2 1，
2
f (2a 2) a ln(2a 2) 0，由零点存在定理知 f (x)在 (1, 2a 2)有且仅有一个零点-------------10 分
③当 a 1时，由（1）知， f (x)在 (0,1)单调递增，在 (1,a)单调递减，在 (a, )单调递增，
而 f (1) a 1 0，所以 f (a) 0，即 f (x)在 (0,a)上 f (x) 0，没有零点，
2
又因为 2a 2 a 1， f (2a 2) a ln(2a 2) 0，
由零点存在定理知 f (x)在 (a, 2a 2)有且仅有一个零点
综上：当 a 0时， f (x)在 (0, )上有且仅有一个零点-------------------------------------12 分
