河北省石家庄市藁城新冀明中学2021-2022学年高二上学期第一次阶段性测试数学试题（Word含答案解析）

2021-2022学年度（上）高二第一次阶段测试
数 学
考试时间：120分钟 满分：120分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）
1. 已知复数满足，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的导函数是（ ）
A. B. C. D.
3. 在的展开式中，常数项为（ ）
A. 145 B. 105 C. 30 D. 135
4. 甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）
A. 240种 B. 320种 C. 180种 D. 120种
7. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的偶函数，其导函数为；当时，恒有当，若，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）
9. 设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. 是实数 D. 是纯虚数
10. 若是函数的极值点，则下列结论不正确的是（ ）
A. 有极大值-1 B. 有极小值-1
C. 有极大值0 D. 有极小值0
11. 下列等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养的要求逐渐提高.据了解，烧烤食品含有强致癌物，因此吃烧烤的人数日益减少，烧烤店也随之减少.某市对2014年至2018年这五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表所示：
年份 2014 2015 2016 2017 2018
年份代码 1 2 3 4 5
盈利店铺的个数 260 240 215 200 180
根据所给数据，得出关于的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 该市2014年至2018年全市烧烤店盈利店铺个数的平均数
B. 关于的回归直线方程为
C. 估计该市2020年烧烤店盈利店铺的个数为147
D. 预测从2025年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100
三、填空题（本小题共4小题，满分20分）
13. 在复平面内，复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围__________.
14. 若，则的值为__________.
15. 已知随机变量服从正态分布，，则__________.
16. 已知，则__________.
四、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数在定义域内存在单调递减区间，求实数的取值范围.
18. 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品，顾客乙从10张奖券中任意抽取2张.
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为元，求的分布列.
19. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）﹔
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”﹔若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
人次 人次
空气质量好
空气质量不好
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20. 已知函数.
（1）若是的极值点，确定的值；
（2）当时，，求实数的取值范围.
参考答案
1. 答案：B
解析：由，得，所以.故选B.
2. 答案：B
解析：.
3. 答案：D
4. 答案：A
5. 答案：B
解析：由题意知，，所以，解得，
所以，所以.
6. 答案：C
解析：本题考查排列组合，涉及分组分配问题.若要求每组至少3人，且每组均有男干部，则从人数上分组有两种方案，3人一组，5人一组或每组4人.第一种：3人一组，5人一组，若女干部单独成组，则只有1种派遣方案，故女干部不单独成组的有种派遣方案，分配到甲、乙两个县共有派遣方案（种）；
第二种：每组4人，因为女干部只有3人，所以不存在女干部单独成组的情况，则有派遣方案（种）.
故共有不同的派遣方案（种）.故选C.
7. 答案：A
解析：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种，
所以小赵独自去一个景点的可能性为种，
因为4个人去的景点不相同的可能性为种，
所以.
故选：A.
8. 答案：A
解析：∵是定义在上的偶函数，
∴，
∵时，恒有，
两边同乘以得：.
∵，
∴，
∴在为减函数.
∵为偶函数，
∴为偶函数.
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
故选A.
9. 答案：ABC
解析：设（，为虚数单位），则（，为虚数单位）.
解法一：，，所以A选项正确.
，所以B选项正确.
，为实数，所以C选项正确.
，当时，为实数，当时，为纯虚数，故D选项错误.
解法二：，，所以A，B选项都正确.
，为实数，所以C选项正确.
，当时，为实数，当时，为纯虚数，故D选项错误.故选ABC.
10. 答案：BCD
11. 答案：ABD
解析：选项A，左边右边，正确；
选项B，右边左边，正确；
选项C，右边左边，错误；
选项D，右边左边，正确.
故选：ABD.
12. 答案：ABC
解析：由已知数据得，，因为关于的回归直线过点，所以，所以，所以关于的回归直线方程为.2020年的年份代码为7，故2020年该市烧烤店盈利店铺的个数约为.令，由，得，，故从2023年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100.故选ABC.
13. 答案：
解析：根据题意得出，.
14. 答案：125
15. 答案：0.16
16. 答案：-8
解析：.
17. 答案：
解析：∵函数在定义域内存在单调递减区间，
∴在上能成立，
∴.
令，即为.
∵的最大值为，∴，
∴实数的取值范围为.
18. 答案：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故的取值只有0和1两种情况.
，
则.
因此随机变量的分布列为
0 1
（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率
.
②随机变量的所有可能取值为0，10，20，50，60，且
，，
，，
.
因此随机变量的分布列为
0 10 20 50 60
19. 答案：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
.
（3）根据所给数据，可得列联表：
人次 人次
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
根据列联表得.
由于，故有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
20. 答案：（1）的定义域为.
，由题意.
若，则，当时，；当时，，
所以是极大值点，故.
（2）∵.
①若，则，在上单调递增；
∴，满足题意.
②若，则
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
此时当时，，不合题意.
③若，则时，，单调递减.
∴，不合题意.
综上可知，当，时，，故.