单元测评挑战卷(四)(第四章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．y2－2y＋4＝(y－2)2 B．a(x＋y)＝ax＋ay
C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．t2－16＋3t＝(t＋4)(t－4)＋3t
2．下列分解因式正确的一项是( )
A．x2－9＝(x＋3)(x－3) B．2xy＋4x＝2(xy＋2x)
C．x2－2x－1＝(x－1)2 D．x2＋y2＝(x＋y)2
3．(2021·温州期中)下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是( )
A．－a2－4b2 B．－1＋25a2 C．－9a2 D．1－a4
4．(2021·天津期末)若a的值使x2＋4x＋a＝(x＋2)2成立，则a的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
5．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )
A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8
6．(2021·厦门期末)运用公式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2直接对整式4x2＋4x＋1进行因式分解，公式中的a可以是( )
A．2x2 B．4x2 C．2x D．4x
7．(2021·广州期末)下列结论正确的是( )
A．(a＋b)2＝a2＋b2 B．(a－b)2＝a2－ab＋b2
C．a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b) D．a2－2b2＝(a＋2b)(a－2b)
8．(2021·内江期末)用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是( )
A．3a2＋3ab＋b2＝(a＋b)(b＋3a) B．3a2－3ab＋b2＝(a－b)(3a＋b)
C．3a2＋4ab＋b2＝(a＋b)(3a＋b) D．3a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(3a＋b)
9．(2021·株洲期末)已知a，b，c是△ABC的三条边，且三角形两边之和大于第三边，则代数式(a－c)2－b2的值是( )
A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定
10．(2021·上海期中)已知x2＋x＝1，那么x4＋2x3－x2－2x＋2021的值为( )
A．2 019 B．2 020 C．2 021 D．2 022
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．因式分解：x2－9＝__ __．
12．因式分解：m3n2－m＝__ __．
13．分解因式：a3－2a2＋a＝__ __．
14．因式分解：12a2－3b2＝__ __．
15．当x＝56，y＝44时，则代数式x2＋xy＋y2的值为__ __ __．
16．对于非零的两个实数a，b，规定ab＝a3－ab，那么将a16进行分解因式的结果为__ __．
17．若a＋b－2＝0，则代数式a2－b2＋4b的值等于__ __．
18．已知a－b＝5，ab＝－1，则3a－3(ab＋b)的值是__ __．
三、解答题(共46分)
19．(6分)如图所示，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R＝6.8 dm，r＝1.6 dm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗？请写出求解过程(结果保留π).
20．(6分)(2021·唐山期末)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).
(1)探究：上述操作能验证的等式是：__ __；(请选择正确的一个)
A．a2－2ab＋b2＝(a－b)2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．a2＋ab＝a(a＋b)
(2)应用：利用所选(1)中等式两边的等量关系，完成下面题目：
若x＋4y＝6，x－4y＝5，则x2－16y2＋64的值为________．
21．(8分)把下列各式进行分解因式：
(1)x2－36；(2)x3－2x2y＋xy2；(3)3ax2－6axy＋3ay2；(4)x2(x－2)－16(x－2).
22．(8分)观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2
＝(x＋a)2－4a2(分成两组)
＝(x＋a)2－(2a)2
＝(x＋3a)(x－a)(平方差公式)
乙：a2－b2－c2＋2bc
＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组)
＝a2－(b－c)2(直接运用公式)
＝(a＋b－c)(a－b＋c)(再用平方差公式)
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1)x2－4x＋3；
(2)x2－2xy－9＋y2.
23．(8分)阅读下列题目的解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足c2a2－c2b2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
∵c2a2－c2b2＝a4－b4，
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)……( )
∴c2＝a2＋b2……( )
∴△ABC是直角三角形……( )
问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：________；
(2)错误的原因为：________；
(3)从错误的那一步起写出正确完整过程．
24．(10分)我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n(m，n是正整数，且m≤n)，在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f(x)＝.
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的最佳分解，所以f(18)＝＝.
(1)填空：f(6)＝________；f(9)＝________；
(2)一个两位正整数t(t＝10a＋b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数)，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f(t)的最大值；
(3)填空：
①f(22×3×5×7)＝________；②f(23×3×5×7)＝________；③f(24×3×5×7)＝________；④f(25×3×5×7)＝________．
PAGE单元测评挑战卷(四)(第四章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(C)
A．y2－2y＋4＝(y－2)2 B．a(x＋y)＝ax＋ay
C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．t2－16＋3t＝(t＋4)(t－4)＋3t
【解析】A.y2－4y＋4＝(y－2)2，故本选项不符合题意；B.a(x＋y)＝ax＋ay，是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C.10x2－5x＝5x(2x－1)，把一个多项式化成几个整式的积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；D.t2－16＋3t＝(t＋4)(t－4)＋3t，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
2．下列分解因式正确的一项是(A)
A．x2－9＝(x＋3)(x－3) B．2xy＋4x＝2(xy＋2x)
C．x2－2x－1＝(x－1)2 D．x2＋y2＝(x＋y)2
【解析】A.原式＝(x＋3)(x－3)，符合题意；B.原式＝2x(y＋2)，不符合题意；C.原式不能分解，不符合题意；D.原式不能分解，不符合题意．
3．(2021·温州期中)下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是(A)
A．－a2－4b2 B．－1＋25a2 C．－9a2 D．1－a4
【解析】不能用平方差公式分解的是－a2－4b2.
4．(2021·天津期末)若a的值使x2＋4x＋a＝(x＋2)2成立，则a的值为(B)
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】∵x2＋4x＋a＝(x＋2)2成立，∴a＝22＝4.
5．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是(B)
A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8
【解析】由(x2＋4)(x＋2)(x－▲)得出▲＝2，则(x2＋4)(x＋2)(x－2)＝(x2＋4)(x2－4)＝x4－16，则■＝16.
6．(2021·厦门期末)运用公式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2直接对整式4x2＋4x＋1进行因式分解，公式中的a可以是(C)
A．2x2 B．4x2 C．2x D．4x
【解析】∵4x2＋4x＋1＝(2x)2＋2×2x＋1＝(2x＋1)2，
∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：2x.
7．(2021·广州期末)下列结论正确的是(C)
A．(a＋b)2＝a2＋b2 B．(a－b)2＝a2－ab＋b2
C．a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b) D．a2－2b2＝(a＋2b)(a－2b)
【解析】A.原式＝a2＋b2＋2ab，不符合题意；B.原式＝a2－2ab＋b2，不符合题意；C.原式＝(a＋3b)(a－3b)，符合题意；D.不能在实数范围内分解．
8．(2021·内江期末)用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是(C)
A．3a2＋3ab＋b2＝(a＋b)(b＋3a) B．3a2－3ab＋b2＝(a－b)(3a＋b)
C．3a2＋4ab＋b2＝(a＋b)(3a＋b) D．3a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(3a＋b)
【解析】根据图形得：3a2＋4ab＋b2＝(a＋b)(b＋3a).
9．(2021·株洲期末)已知a，b，c是△ABC的三条边，且三角形两边之和大于第三边，则代数式(a－c)2－b2的值是(B)
A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定
【解析】∵(a－c)2－b2
＝(a－c＋b)(a－c－b)
＝(a＋b－c)[a－(c＋b)]，
又∵a，b，c是△ABC的三条边，且三角形两边之和大于第三边，
∴a＋b－c＞0，a－(c＋b)＜0，
∴(a＋b－c)[a－(c＋b)]＜0，
即(a－c)2－b2＜0.
10．(2021·上海期中)已知x2＋x＝1，那么x4＋2x3－x2－2x＋2021的值为(B)
A．2 019 B．2 020 C．2 021 D．2 022
【解析】∵x2＋x＝1，
∴x4＋2x3－x2－2x＋2 021＝x4＋x3＋x3－x2－2x＋2 021
＝x2(x2＋x)＋x3－x2－2x＋2 021
＝x2＋x3－x2－2x＋2 021
＝x(x2＋x)－x2－2x＋2 021
＝x－x2－2x＋2 021
＝－x2－x＋2 021
＝－(x2＋x)＋2 021
＝－1＋2 021
＝2 020.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．因式分解：x2－9＝__(x＋3)(x－3)__．
【解析】原式＝(x＋3)(x－3).
12．因式分解：m3n2－m＝__m(mn＋1)(mn－1)__．
【解析】m3n2－m＝m(m2n2－1)＝m(mn＋1)(mn－1).
13．分解因式：a3－2a2＋a＝__a(a－1)2__．
【解析】a3－2a2＋a＝a(a2－2a＋1)＝a(a－1)2.
14．因式分解：12a2－3b2＝__3(2a＋b)(2a－b)__．
【解析】原式＝3(4a2－b2)＝3(2a＋b)(2a－b).
15．当x＝56，y＝44时，则代数式x2＋xy＋y2的值为__5__000__．
【解析】∵x＝56，y＝44，
∴原式＝(x＋y)2＝×10 000＝5 000.
16．对于非零的两个实数a，b，规定ab＝a3－ab，那么将a16进行分解因式的结果为__a(a＋4)(a－4)__．
【解析】a16＝a3－16a＝a(a2－16)＝a(a＋4)(a－4).
17．若a＋b－2＝0，则代数式a2－b2＋4b的值等于__4__．
【解析】∵a＋b－2＝0，∴a＋b＝2.
∴a2－b2＋4b＝(a＋b)(a－b)＋4b＝2(a－b)＋4b＝2a－2b＋4b＝2a＋2b＝2(a＋b)＝2×2＝4.
18．已知a－b＝5，ab＝－1，则3a－3(ab＋b)的值是__18__．
【解析】3a－3(ab＋b)＝3a－3ab－3b＝3(a－b)－3ab
∵a－b＝5，ab＝－1，∴原式＝3×5－3×(－1)＝18.
三、解答题(共46分)
19．(6分)如图所示，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R＝6.8 dm，r＝1.6 dm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗？请写出求解过程(结果保留π).
【解析】根据题意有：剩余部分的面积＝圆形板材的面积－四个小圆的面积．
剩余部分的面积＝πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)
将R＝6.8 dm，r＝1.6 dm代入上式，得
剩余部分的面积＝π(R＋2r)(R－2r)＝π(6.8＋3.2)(6.8－3.2)＝36π.
答：剩余部分的面积为36π dm2.
20．(6分)(2021·唐山期末)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).
(1)探究：上述操作能验证的等式是：__B__；(请选择正确的一个)
A．a2－2ab＋b2＝(a－b)2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．a2＋ab＝a(a＋b)
(2)应用：利用所选(1)中等式两边的等量关系，完成下面题目：
若x＋4y＝6，x－4y＝5，则x2－16y2＋64的值为________．
【解析】(1)图1剩余部分面积＝a2－b2，图2的面积＝(a＋b)(a－b)，
故有：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(2)∵x＋4y＝6，x－4y＝5.
∴x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y)＝30.
∴x2－16y2＋64的值为94.
答案：94
21．(8分)把下列各式进行分解因式：
(1)x2－36；(2)x3－2x2y＋xy2；(3)3ax2－6axy＋3ay2；(4)x2(x－2)－16(x－2).
【解析】(1)x2－36＝(x＋6)(x－6)；
(2)x3－2x2y＋xy2
＝x(x2－2xy＋y2)
＝x(x－y)2.
(3)3ax2－6axy＋3ay2
＝3a(x2－2xy＋y2)
＝3a(x－y)2；
(4)x2(x－2)－16(x－2)
＝(x－2)(x2－16)
＝(x－2)(x－4)(x＋4).
22．(8分)观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2
＝(x＋a)2－4a2(分成两组)
＝(x＋a)2－(2a)2
＝(x＋3a)(x－a)(平方差公式)
乙：a2－b2－c2＋2bc
＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组)
＝a2－(b－c)2(直接运用公式)
＝(a＋b－c)(a－b＋c)(再用平方差公式)
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1)x2－4x＋3；
(2)x2－2xy－9＋y2.
【解析】(1)x2－4x＋3
＝x2－4x＋4＋3－4
＝(x－2)2－1
＝(x－2＋1)(x－2－1)
＝(x－1)(x－3)；
(2)x2－2xy－9＋y2
＝(x2－2xy＋y2)－9
＝(x－y)2－32
＝(x－y＋3)(x－y－3).
23．(8分)阅读下列题目的解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足c2a2－c2b2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
∵c2a2－c2b2＝a4－b4，
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)……(A)
∴c2＝a2＋b2……(B)
∴△ABC是直角三角形……(C)
问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：________；
(2)错误的原因为：________；
(3)从错误的那一步起写出正确完整过程．
【解析】(1)由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：B，
答案：B
(2)错误的原因为：没有考虑a＝b的情况；
答案：没有考虑a＝b的情况
(3)∴(a2－b2)[c2－(a2＋b2)]＝0，∴a2－b2＝0或c2－(a2＋b2)＝0，
∴a＝±b(－b舍去)或c2＝a2＋b2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
24．(10分)我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n(m，n是正整数，且m≤n)，在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f(x)＝.
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的最佳分解，所以f(18)＝＝.
(1)填空：f(6)＝________；f(9)＝________；
(2)一个两位正整数t(t＝10a＋b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数)，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f(t)的最大值；
(3)填空：
①f(22×3×5×7)＝________；②f(23×3×5×7)＝________；③f(24×3×5×7)＝________；④f(25×3×5×7)＝________．
【解析】(1)6可分解成1×6，2×3，∵6－1＞3－2，∴2×3是6的最佳分解，
∴f(6)＝，9可分解成1×9，3×3，
∵9－1＞3－3，∴3×3是9的最佳分解，∴f(9)＝＝1，
答案： 1
(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b＋a，
根据题意得，t′－t＝(10b＋a)－(10a＋b)＝9(b－a)＝54，∴b＝a＋6，
∵1≤a≤b≤9，a，b为正整数，∴满足条件的t为：17，28，39；
∵F(17)＝，F(28)＝，F(39)＝，
∵>>，∴F(t)的最大值为；
(3)①∵22×3×5×7的最佳分解为20×21，∴f(22×3×5×7)＝.
答案：
②∵23×3×5×7的最佳分解为24×35，∴f(23×3×5×7)＝，
答案：
③∵24×3×5×7的最佳分解为35×48，∴f(24×3×5×7)＝，
答案：
④∵25×3×5×7的最佳分解是48×70，∴f(25×3×5×7)＝＝.
答案：
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