单元测评挑战卷(三)(第三章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在平面直角坐标系中，点P(－2，3)关于原点的成中心对称点P′的坐标是( )
A．(2，－3) B．(－2，－3) C．(3，－2) D．(－3，－2)
2．下列交通标志中，是中心对称图形的是( )
3．在平面直角坐标系中，将点P(x，y)先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点P′(1，2)，则点P的坐标为( )
A．(2，6) B．(－3，5) C．(－3，1) D．(5，－1)
4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为( )
A．(，1) B．(，－1) C．(2，1) D．(0，2)
5．在下面四幅图案中，能用平移来分析其形成过程的图案是( )
6.(2021·上海模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是( )
A．AE＝EC B．AB＝CD
C．∠B＝∠D D．∠AEF＝∠B
7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是( )
A．110° B．80° C．40° D．30°
8．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2.将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是( )
A．(－，3) B．(－3，) C．(－，2＋) D．(－1，2＋)
9．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是( )
A．(2，2) B．(1，2) C．(－1，2) D．(2，－1)
10．如图，AB＝AC，∠CAB＝90°，∠ADC＝45°，AD＝1，CD＝3，则BD的长为( )
A．3 B． C．2 D．4
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(2021·开封期末)点A(4，n)和点B(m，3)关于原点对称，则m＋n＝__ __．
12．如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为__ __．
13．(2021·长沙期末)平面直角坐标系中，将点A(3，－2)向右平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是__ __．
14．已知：在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内将△ABC绕A点旋转到△AB′C′位置，且CC′∥AB，则∠BAB′的度数是__ __．
15．如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，写出由△DEF平移到△ABC的位置的一种方法__ __．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，CD＝__ __．
17．如图，将△ABC沿着B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，BC＝20，DH＝4，平移距离是8，则阴影部分的面积是__ __．
18．(2021·乐清期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，点M是BC的中点，点P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是__ __．
三、解答题(共46分)
19．(6分)图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
(请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)
20．(8分)如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点).
(1)作点A关于点O的对称点A1；
(2)连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
(3)连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．
21．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(4，4)，C(2，1).
(1)把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
(2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
(3)观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点(________，________)中心对称．
22.(8分)如图，在平面直角坐标系中有点A(1，5)，B(2，2)，将线段AB绕P点逆时针旋转90°得到线段CD，A和C对应，B和D对应．
(1)若P为AB中点，画出线段CD，保留作图痕迹；
(2)若D(6，2)，则P点的坐标为________，C点的坐标为________；
(3)若C为直线y＝x上的动点，则P点横、纵坐标之间的关系为________．
23．(8分)如图1，已知Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝2，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，点C在DE上，点B在DF上．
(1)求重叠部分△BCD的面积．
(2)如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，DE交BC于点M，DF交AB于点N，①请说明DM＝DN；②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生变化，请说明理由．
(3)如图3，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度(0＜α＜90)，DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM＝DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？(请直接写出结论不需说明理由)
24．(8分)两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图①所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝25.保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜90°)角度，如图②所示．
(1)在图②中，求证：AC＝BD，且AC⊥BD.
(2)当BD与CD在同一直线上(如图③)时，若AC＝7，求CD的长．
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(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在平面直角坐标系中，点P(－2，3)关于原点的成中心对称点P′的坐标是(A)
A．(2，－3) B．(－2，－3) C．(3，－2) D．(－3，－2)
【解析】点P(－2，3)关于原点的对称点的坐标为(2，－3).
2．下列交通标志中，是中心对称图形的是(B)
【解析】A.不是中心对称图形，不符合题意；B.是中心对称图形，符合题意；C.不是中心对称图形，不符合题意；D.不是中心对称图形，不符合题意．
3．在平面直角坐标系中，将点P(x，y)先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点P′(1，2)，则点P的坐标为(D)
A．(2，6) B．(－3，5) C．(－3，1) D．(5，－1)
【解析】由题意知点P的坐标为(1＋4，2－3)，即(5，－1).
4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为(A)
A．(，1) B．(，－1) C．(2，1) D．(0，2)
【解析】如图，
作AE⊥y轴于点E，A′F⊥x轴于点F.
∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°
∴∠AOE＝∠A′OF，
∵OA＝OA′，∴△AOE≌△A′OF(AAS)，
∴OF＝OE＝，A′F＝AE＝1，
∴A′(，1).
5．在下面四幅图案中，能用平移来分析其形成过程的图案是(D)
【解析】A.可以由基本图形通过旋转得出，故此选项不合题意；B.可以由基本图形通过旋转得出，故此选项不合题意；C.可以由基本图形通过旋转得出，故此选项不合题意；D.可看成是由基本图形通过平移得到，故此选项符合题意．
6.(2021·上海模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是(D)
A．AE＝EC B．AB＝CD
C．∠B＝∠D D．∠AEF＝∠B
【解析】∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠CED，∠A＝∠D，
∴∠AEF＝∠CED＝∠B.
7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C，若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是(B)
A．110° B．80° C．40° D．30°
【解析】根据旋转的性质，对应角相等，可以得到∠ABC＝∠B′＝110°，因为△ABC的内角和为180°，得到∠ACB＝30°，所以∠BCA′＝80°.
8．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2.将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是(A)
A．(－，3) B．(－3，) C．(－，2＋) D．(－1，2＋)
【解析】
如图，过点B′作B′H⊥y轴于点H.在Rt△A′B′H中，
∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′＝1，B′H＝，
∴OH＝2＋1＝3，
∴B′(－，3).
9．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是(A)
A．(2，2) B．(1，2) C．(－1，2) D．(2，－1)
【解析】如答图所示，先根据题意画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A1B1C.因为C的坐标为(－1，0)，A1C＝AC＝2，所以点A1的坐标为(－1，2)；再画出将△A1B1C向右平移3个单位长度后的图形△A2B2C2，所以点A2的坐标为(2，2).
10．如图，AB＝AC，∠CAB＝90°，∠ADC＝45°，AD＝1，CD＝3，则BD的长为(B)
A．3 B． C．2 D．4
【解析】如图，过点A作AE⊥AD交CD于点E，连接BE.
∵∠DAE＝90°，∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AE＝AD＝1，DE＝，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴CD＝BE＝3，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BED＝90°，
∴BD＝＝＝.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(2021·开封期末)点A(4，n)和点B(m，3)关于原点对称，则m＋n＝__－7__．
【解析】∵点A(4，n)和点B(m，3)关于原点对称，
∴m＝－4，n＝－3，则m＋n＝－4－3＝－7.
12．如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为__1__．
【解析】∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．∴BE＝CF，
∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1.
13．(2021·长沙期末)平面直角坐标系中，将点A(3，－2)向右平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是__(5，－2)__．
【解析】根据题意，从点A平移到点A′，点A′的纵坐标不变，横坐标是3＋2＝5，故点A′的坐标是(5，－2).
14．已知：在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内将△ABC绕A点旋转到△AB′C′位置，且CC′∥AB，则∠BAB′的度数是__40°__．
【解析】∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
又∵C，C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°－2∠C′CA＝40°.
15．如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，写出由△DEF平移到△ABC的位置的一种方法__先把△DEF向右平移5个单位，再向上平移2个单位__．
【解析】根据网格结构，观察对应点A与D，点D向右平移5个单位，再向上平移2个单位即可到达点A的位置，所以由△DEF平移到△ABC的位置的一种方法是：先把△DEF向右平移5个单位，再向上平移2个单位．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，AB′与BC相交于点D，当B′C′∥AB时，CD＝____．
【解析】设CD＝x，∵B′C′∥AB，∴∠BAD＝∠B′，
由旋转的性质，得∠B＝∠B′，AC＝AC′＝3，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD＝4－x，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理，得(4－x)2＝x2＋32，解得x＝.
17．如图，将△ABC沿着B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，BC＝20，DH＝4，平移距离是8，则阴影部分的面积是__64__．
【解析】∵△ABC沿着B到C的方向平移到△DEF的位置，平移距离是8，
∴S△ABC＝S△DEF，DE＝AB＝10，BE＝8，∴HE＝DE－DH＝10－4＝6，
∵S梯形ABEH＋S△HEC＝S△HEC＋S阴影部分，
∴S阴影部分＝S梯形ABEH＝×(6＋10)×8＝64.
18．(2021·乐清期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，点M是BC的中点，点P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是__3__．
【解析】如图，连接PC.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC＋CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3(此时P，C，M共线).
三、解答题(共46分)
19．(6分)图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
(请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)
【解析】(1)轴对称图形如图1所示．
(2)中心对称图形如图2所示．
20．(8分)如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点).
(1)作点A关于点O的对称点A1；
(2)连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
(3)连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．
【解析】(1)如图所示，点A1即为所求；
(2)如图所示，线段A1B1即为所求；
(3)如图，连接BB1，过点A作AE⊥BB1，过点A1作A1F⊥BB1，
则四边形ABA1B1的面积＝S△ABB1＋S△A1BB1＝×8×2＋×8×4＝24.
21．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(4，4)，C(2，1).
(1)把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
(2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
(3)观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点(________，________)中心对称．
【解析】(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点(－2，0)中心对称．
答案：－2 0
22.(8分)如图，在平面直角坐标系中有点A(1，5)，B(2，2)，将线段AB绕P点逆时针旋转90°得到线段CD，A和C对应，B和D对应．
(1)若P为AB中点，画出线段CD，保留作图痕迹；
(2)若D(6，2)，则P点的坐标为________，C点的坐标为________；
(3)若C为直线y＝x上的动点，则P点横、纵坐标之间的关系为________．
【解析】(1)如图1中，线段CD即为所求．
(2)如图2中，观察图象可知P(4，4)，C(3，1)
答案：(4，4) (3，1)
(3)如图3中，因为点C的运动轨迹是直线y＝x，所以点P的运动轨迹也是直线，
当C(3，1)时，P(4，4)，当C(0，0)时，P′(3，2)，
设直线PP′的解析式为y＝kx＋b，则有，解得，
∴P点横、纵坐标之间的关系为y＝2x－4.
答案：y＝2x－4
23．(8分)如图1，已知Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝2，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，点C在DE上，点B在DF上．
(1)求重叠部分△BCD的面积．
(2)如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，DE交BC于点M，DF交AB于点N，①请说明DM＝DN；②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生变化，请说明理由．
(3)如图3，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度(0＜α＜90)，DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM＝DN的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？(请直接写出结论不需说明理由)
【解析】(1)∵AB＝BC，AC＝2，D是AC的中点，∴CD＝BD＝AC＝1，BD⊥AC.
∴S△BCD＝CD·BD＝×1×1＝.
(2)①连接BD，则BD垂直平分AC.∴BD＝CD，∠C＝∠NBD＝45°，
又∵∠CDM＝∠BDN，∴△CDM≌△BDN(ASA).∴DM＝DN.
②由①知△CDM≌△BDN，∴S四边形BNDM＝S△BCD＝，即此条件下重叠部分的面积不变，为.
(3)DM＝DN的结论仍成立，重叠部分的面积不会变．
24．(8分)两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图①所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝25.保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜90°)角度，如图②所示．
(1)在图②中，求证：AC＝BD，且AC⊥BD.
(2)当BD与CD在同一直线上(如图③)时，若AC＝7，求CD的长．
【解析】(1)如图②中，延长BD交OA于G，交AC于E.∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠DOB，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，
∵∠DBO＋∠OGB＝90°，
∵∠OGB＝∠AGE，∴∠CAO＋∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝90°，∴BD⊥AC.
(2)由题意知△AOC≌△BOD，∴BD＝AC＝7.
∵BD，CD在同一直线上，BD⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴72＋BC2＝252.
解得BC＝24，∴CD＝BC－BD＝24－7＝17.
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