高考试题中复数问题的类型与解法 学案

高考试题中复数问题的类型与解法
大家知道，复数问题是近几年高考的热点问题之一，基本每卷必有一个五分小题。从题型来看是，属于选择题或填空题，难度系数都比较低。纵观近几年高考试题，复数问题归结起来主要包括：①复数概念问题；②复数运算问题；③复数几何意义问题；④给定一定的条件，求参数的值（或潜在范围）的问题等几种类型。各种类型结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在解答复数问题时，如何抓住问题的特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知Z=3+2i，则Z=（ ）（2021全国高考甲卷）
A -1- i B -1+i C +i D -i
【解析】
【考点】①复数的定义与性质；②复数运算的法则；③复数运算的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质，运用复数运算法则和运算的基本方法，得到算得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，从而求出复数Z的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】设Z=a+bi，Z=（-2i）（a+bi）=-2ai-2b=2b-2ai=3+2i，2b=3①，
-2a=2②，联立①②解得：a=-1，b=，Z=-1+i，B正确，选B。
2、（理）设2（Z+）+3（Z-）=4+6i，则Z=（ ）
A 1-2 i B 1+2i C 1+i D 1-i
（文）设iZ=4+3i，则Z=（ ）（2021全国高考乙卷）
A -3-4 i B -3+4i C 3-4i D 3+4i
【解析】
【考点】①复数的定义与性质；②共轭复数定义与性质；③复数运算的法则；④复数运算的基本方法。
【解题思路】（理）根据复数和共轭复数的性质，运用复数运算法则和运算的基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，从而求出复数Z的代数表示式就可得出选项。（文）根据复数的性质，运用复数运算法则和运算的基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，从而求出复数Z的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】（理）设Z=a+bi，则= a-bi，2（Z+）+3（Z-）=5Z-=4a+6bi=4+6i，4a=4①，6b=6②，联立①②解得：a=1，b=1，Z=1+i，C正确，选C。（文）设Z=a+bi， iZ=-b+ai=4+3i，-b=4①，a=3②，联立①②解得：a=3，b=-4，Z=3-4i，C正确，选C。
3、复数Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数是（ ）（成都市2021高三一诊）
A -2-i B -2+i C 2-i D 2+i
【解析】
【考点】①复数的定义与性质；②复数代数表示的基本方法；③复数运算的基本方法；④共轭复数的定义与性质。
【解题思路】根据复数的性质和复数运算的基本方法，得到复数Z的代数表示式，运用共轭复数的性质求出复数Z的共轭复数就可得出选项。
【详细解答】 Z== =2-i，=2+i，D正确，选D。
4、已知i为虚数单位，则复数Z=(1+i) (2-i)的虚部为（ ）（成都市2021高三二诊）
A -i B i C -1 D 1
【解析】
【考点】①复数的定义与性质；②复数的运算法及运用；③复数运算的基本方法。
【解题思路】根据复数运算法则和基本方法，通过运算将复数Z化成复数代数表达式的基本式子，运用复数虚部的性质和确定的基本方法确定出复数Z的虚部就可得出选项。
【详细解答】 Z=(1+i) (2-i)=2-i+2i- =3+i，复数Z的虚部为1，D正确，选D。
5、已知复数Z=（i为虚数单位），则|Z|=（ ）（成都市2021高三三诊）
A 1 B C 2 D
【解析】
【考点】①复数的定义与性质；②复数运算的法则和基本方法；③复数模的定义与性质；④已知复数的代数表示式求复数模的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质和复数运算的法则与基本方法，结合问题条件得到复数的代数表示式，运用复数模的性质和已知复数代数表示式求复数模的基本方法求出复数Z的模就可得出选项。
【详细解答】 Z== = = 2- i，|Z|==，D正确，选D。
6、（理）若Z=1+i，则|-2Z|=（ ）
A 0 B 1 C D 2
（文）已知复数Z满足（Z-1）i=1+i，则Z=（ ）（2020全国高考新课标I）
A -2-i B -2+i C 2-i D 2+i
【解析】
【考点】①复数的定义与性质；②复数运算的法则和基本方法；③复数模的定义与性质；④已知复数的代数表示式求复数模的基本方法。
【解题思路】（理）根据复数的性质和复数运算的法则与基本方法，得到复数的代数表示式，运用复数模的性质和已知复数代数表示式求复数模的基本方法求出复数-2Z的模就可得出选项。（文）根据复数的性质，运用复数运算的法则和基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，从而得到复数Z的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】（理） Z=1+i，|-2Z|=|1+2i+-2-2i|=|-2|=2，D正确，选D。（文）设Z=a+bi，（Z-1）i=(a-1+bi)i=-b+(a-1)i=1+i，-b=1①，a-1=1②，联立①②解得：a=2，b=-1， Z=2-i，C正确，选C。
7、（理）设复数，满足||=||=2，+=+i，则|-|= 。
（文）=（ ）（2020全国高考新课标II）
A -4 B 4 C -4i D 4i
【解析】
【考点】①复数的定义与性质；②复数运算法则和基本方法；③复数模的定义与性质；④已知复数的代数表示式求复数模的基本方法。
【解题思路】（理）根据复数的性质和复数运算的法则与基本方法，得到复数，的代数表示式，运用复数模的性质和已知复数代数表示式求复数模的基本方法求出复数-的模就可得出选项。（文）根据复数的性质，运用复数运算的法则和基本方法，求出就可得出选项。
【详细解答】（理）设=a+bi，=c+di，||=||=2，+=a+c+(b+d)i=+i，
+=4①，+=4②，a+c=③，b+d=1④，联立①②③④解得：a=0，b=2，c=，d=-1，或a=，b=-1，c=0，d=2，=2i，=-i，或=-i，=2i，当=2i，=-i时，-=-+3i，|-|==2；当=-i ，=2i时，-=-3i，|-|==2，综上所述， |-|=2。（文）
=1-2i+=-2i，=.=-2i.(-2i)=4=-4，A正确，选A。
8、（理）复数的虚部是（ ）
A - B - C D
（文）若（1+i）=1-i，则Z=（ ）（2020全国高考新课标III）
A 1-i B 1+i C -i D i
【解析】
【考点】①复数的定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法。
【解题思路】（理）根据复数的性质，运用复数运算的法则和基本方法，得到复数的代数表示式，确定出复数的虚部就可得出选项。（文）根据复数的性质，运用复数运算的法则和基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，从而得到复数Z的等式表示式就可得出选项。
【详细解答】（理）===+i，复数的虚部为，
D正确，选D。（文）设Z=a+bi,则= a-bi, （1+i）=a+ai-bi-b=a+b+(a-b)i=1-i，
a+b=1①，a-b=-1②，联立①②解得：a=0，b=1，Z=i，D正确，选D。
9、复数z=（i为虚数单位）的虚部是（ ）（成都市2020高三零诊）
A B - C i D -i
【解析】
【考点】①复数的定义与代数表示法；②虚数单位的定义与性质；③复数运算的法则与基本方法；④复数虚部的定义与确定的基本方法。
【解题思路】运用复数运算的法则与基本方法，虚数单位的性质，结合问题条件通过运算得到复数z的代数表示式，利用复数虚部确定的基本方法求出复数z的虚部就可得出选项。
【详细解答】 z== = = = + i，复数z的虚部为，
A正确，选A。
10、若复数与=-3-i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则=（ ）（成都市2020高三一诊）
A -3-i B -3+i C 3+i D 3-i
【解析】
【考点】①复数的定义与性质；②复数的几何意义；③轴对称的定义与性质。
【解题思路】根据复数的表示与几何意义，得到复数在复平面上的坐标为（-3，-1），由复数在复平面上的点与复数在复平面上的点关于实轴对称可知，复数在复平面上点的坐标为（-3，1），从而得到复数的代数形式表示式。
【详细解答】复数=-3-i，在复平面上的坐标为（-3，-1），复数在复平面上的点与复数在复平面上的点关于实轴对称， 复数在复平面上对应点为（-3，1），=-3+i，B正确，选B。
11、复数Z满足Z（1+i）=2(i为虚数单位)，则Z的虚部为（ ）（成都市2020高三二诊）
A i B -i C -1 D 1
【解析】
【考点】①复数的定义与性质；②复数运算法则及运用；③复数运算的基本方法。
【解题思路】设Z=a+bi(a,bR)，运用复数的运算法则和基本方法，结合问题条件单调关于a，b等式，利用复数的性质得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，从而求出复数Z就可得出选项。
【详细解答】设Z=a+bi(a,bR)， Z（1+i）=( a+bi) （1+i）=a-b+(a+b)i=2，
a-b=2 ①，a+b=0②，联立①②解得：a=1，b=-1，Z=1-i，Z的虚部为-1，C正确，选C。
12、已知复数Z=（i为虚数单位），则|Z|=（ ）（成都市2020高三三诊）
A 1 B C 2 D
【解析】
【考点】①复数的定义与性质；②复数运算的法则和基本方法；③复数模的定义与性质；④已知复数的代数表示式求复数模的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质和复数运算的法则与基本方法，结合问题条件得到复数的代数表示式，运用复数模的性质和已知复数代数表示式求复数模的基本方法求出复数Z的模就可得出选项。
【详细解答】 Z== = = 2- i，|Z|==，D正确，选D。
13、复数Z=（2+i）（1+i）的共轭复数为（ ）（成都市2019高三三诊）
A 3-3i B 3+3i C 1+3i D 1-3i
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②共轭复数定义与性质；③复数运算法则；④复数运算的基本方法。
【解题思路】根据复数和共轭复数的性质；运用复数运算法则和基本方法对Z复数进行运算，从而求出共轭复数就可得出选项。
【详细解答】Z=（2+i）（1+i）=2+2i+i+=1+3i，=1-3i，D正确，选D。
14、已知复数Z=2+i，则Z. =（ ）（2019全国高考北京）
A B C 3 D 5
【解析】
【知识点】①复数定义与性质②共轭复数定义与性质；③复数运算法则；④复数运算的基本方法。
【解题思路】根据复数和共轭复数的性质，得到复数Z的共轭复数，运用复数的运算法则和基本方法求出Z. 就可得出选项。
【详细解答】Z=2+i，=2-i， Z. =（2+i）（2-i）=4-=4+1=5，D正确，选D。,
15、设复数Z满足i（Z+1）=-3+2i(i是虚数单位),则Z的实部是 。（2019全国高考江苏）
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法。
【解题思路】设Z=a+bi,根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，得到复数Z的代数表示式，确定出复数的实部就可得出选项。
【详细解答】设Z=a+bi, i（Z+1）= i（a+bi +1）=ai+b+i=-b+（a+1）i=-3+2i，
-b=-3，a+1=2，a=1，b=3， Z=1+3i, Z的实部是1。
16、复数Z=-i（1+2i）的共轭复数为（ ）（2018成都市高三零诊）
A 2+i B 2-i C -2+i D -2-i
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②共轭复数定义与性质；③复数运算法则；④复数运算的基本方法。
【解题思路】根据复数和共轭复数的性质；运用复数运算法则和基本方法对Z复数进行运算，从而求出共轭复数就可得出选项。
【详细解答】Z=i（1+2i）=i+2=-2+i，=-2-i，D正确，选D。
17、（理）若复数Z=（其中a R，i为虚数单位）的虚部为-1，则a= ；
（文）复数Z=（i为虚数单位）的虚部为 （2017成都市高三一珍）。
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法。
【解题思路】（理）根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到复数Z的代数表示式，从而得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。（2）根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法得到复数Z的代数表示式，从而就可求出复数Z虚部。
【详细解答】（理） Z== = = + i的虚部为-1，=-1，
a=-2。（文） Z====1+i，复数Z的虚部为1。
18、（理）设有下列四个命题：：若复数Z满足R，则ZR；：若复数Z满足R，则ZR；：若复数，满足R，则=；：若复数ZR，则R。其中的真命题为（ ）
A ， B ， C ， D ，
（文）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）（2017全国高考新课标I卷）
A i B （1-i） C D i(1+i)
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②共轭复数定义与性质；③复数运算法则；④复数运算的基本方法；⑤判断命题真假的基本方法。
【解题思路】（理）根据复数和共轭复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，利用判断命题真假的基本方法，分别对各命题的真假进行判断就可得出选项。（文）根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法对各选项通过运算，得到复数的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】（理）对，设Z=a+bi, ===
=-iR，=0，b=0，ZR，是真命题，可以排除C，D；对，复数，满足R，复数，互为共轭复数，=正确，为真命题，A正确，选A。（文） i =i（1+2i+）=2=-2是实数，A错误；（1-i）=+i=-1+i不是纯虚数，B错误； =1+2i+=2i是纯虚数，C正确，选C。
19、设复数Z满足（1+i）Z=2i，则|Z|=（ ）（2017全国高考新课标III理）
A B C D 2
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②共轭复数定义与性质；③复数运算法则；④复数运算的基本方法。
【解题思路】根据复数和共轭复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，得到复数Z的代数表示式，从而求出复数Z的模就可得出选项。
【详细解答】设Z=a+bi, （1+i）Z=（1+i）（a+bi）=a+bi+i+b=（a-b）+(1+b)i=2i，
a-b=0，1+b=2，a=b=1，Z=1+i， |Z|==，C正确，选C。
20、已知复数Z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则Z的模是 （2017全国高考江苏卷）
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到复数Z的代数表示式，从而就可求出复数Z的模。
【详细解答】 Z=（1+i）（1+2i）=1+2i+i+2=-1+3i， |Z|==。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与复数基本概念相关的问题，复数的基本概念主要包括：①复数的定义；②复数实部，虚部的定义；③复数的分类；④复数相等的充分必要条件；⑤复数的模；⑥共轭复数定义与性质等问题。解答这类问题的基本方法：①根据复数基本概念，运用复数运算法则和基本方法通过运算；②得到复数的代数表示式；③求出问题结果。
（2）处理有关复数基本概念的问题，注意应用复数标准的代数表示式，如果复数不是标准的代数表示式，则应根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法通过运算把复数化成标准的代数表示式，然后根据复数基本概念得出结果。
〔练习1〕解答下列问题：
1、i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为 ；（答案：复数Z的实部为1。）
2、若（1+i）+（2-3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（ ）（答案：A）
A 3， -2 B 3，2 C 3，-3 D -1，4
3、若复数Z满足：（3-4i）Z=|4+3i|，则Z的虚部为（）（答案：D）
A -4 B - C 4 D
4、若=（+m+1）+（+m-4）i（m∈R），=3-2i，则“m=1”是“=”的（ ）（答案：A）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
5、已知aR，复数=2+ai，=1-2i，若为纯虚数，则复数的虚部为（ ）（答案：A）
A 1 B i C D 0
6、如果复数是实数，则实数m等于（ ）（答案：A）
A -1 B 1 C - D
7、 设a、bR，且b≠0，若复数是实数，则（ ）（答案：A）
A =3 B =3 C =9 D =9
8、设是复数，=-i（其中表示的共轭复数），已知的实部是-1，则的虚部为 ；（答案：的虚部为-1）
9、复数的虚部为 ；（答案：复数的虚部为2）
10、复数Z=a+bi，a，bR，且b≠0，若-4bZ是实数，则有序实数对（a，b）可以是
，（写出一个有序实数对即可）（答案：有序实数对（a，b）可以是（1，2））
11、若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（ ）（答案：D）
A -2 B - C D 2
【典例2】解答下列问题：
1、已知Z=2-i，则Z(+i)=（ ）（2021全国高考新高考I）
A 6-2i B 4-2i C 6+2i D 4+2i
【解析】
【考点】①复数定义与性质；②共轭复数定义与性质；③复数运算法则；④复数运算的基本方法。
【解题思路】根据复数和共轭复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，通过运算求出Z(+i)就考得出选项。
【详细解答】 Z=2-i, =2+i, Z(+i)=（2-i）（2+i+i）=（2-i）（2+2i）=4+4i-2i-2
=6+2i, C正确，选C。
2、=（ ）（2020全国高考新高考I）
A 1 B -1 C i D -i
【解析】
【考点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，通过运算求出就可得出选项。
【详细解答】==== -i，D正确，选D。
3、若Z（1+i）=2i，则Z=（ ）（2019全国高考新课标III）
A -1-i B -1+i C 1-i D 1+i
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法。
【解题思路】设Z=a+bi,根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，从而得到复数Z的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】设Z=a+bi, （1+i）Z=（1+i）（a+bi）=a+bi+i+b=（a-b）+(1+b)i=2i，
a-b=0，1+b=2，a=b=1，Z=1+i，D正确，选D。
4、（理）=（ ）
A 1+2i B 1-2i C 2+i D 2-i
（文）（1+i）（2+i）=（ ）（2017全国高考新课标II卷）
A 1-i B 1+3i C 3+i D 3+3i
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法。
【解题思路】（理）根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，求出复数的代数表示式就可得出选项；（2）根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，求出复数（1+i）（2+i）的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】（理）===2-i，D正确，选D；（文）
（1+i）（2+i）=2+i+2i+=1+3i，B正确，选B。
5、设i为虚数单位，则复数等于（ ）（2016全国高考四川卷）
A 0 B 2 C 2i D 2+2i
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到复数的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】=1+2i+=2i，C正确，选C。
6、设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|等于（ ）（2016全国高考新课标II卷）
A 1 B C D 2
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法；④复数模的定义与性质。
【解题思路】根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到关于x，y的方程组，求解方程组求出x，y的值，从而得到复数x+yi的代数表示式，利用复数模的性质求出复数x+yi的模就可得出选项。
【详细解答】（1+i）x=x+xi=1+yi，x=1，x=y，x=y=1，|x+yi|=|1+i|==，
B正确，选B。
7、若z=1+2i，则等于（ ）（2016全国高考新课标III卷）
A 1 B -1 C i D -i
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②共轭复数定义与性质；③复数运算法则；④复数运算的基本方法。
【解题思路】根据复数和共轭复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，求出复数的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】 z=1+2i，===i，C正确，选C。
8、+ = （2016全国高考北京卷）
【解析】
【知识点】①复数定义与性质，②复数运算法则；③复数运算的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，就可求出+ 。
【详细解答】+ =+
=+=-1+i，+ =-1+i。
9、若复数z满足2z+=3-2i，其中i为虚数单位，则z等于（ ）（2016全国高考山东卷）
A 1+2i B 1-2i C -1+2 i D -1 -2i
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②共轭复数定义与性质；③复数运算法则；④复数运算的基本方法。
【解题思路】设Z=a+bi,根据复数和共轭复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，求出复数Z的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】设Z=a+bi, 2z+=2（a+bi）+ a-bi=3a+bi=3-2i，3a=3，b=-2，a=1，b=-2，Z=1-2i，B正确，选B。
10、若z=4+3i，则等于（ ）（2016全国高考新课标III卷）
A 1 B -1 C + i D - i
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②共轭复数定义与性质；③复数运算法则；④复数运算的基本方法；⑤复数模定义与性质。
【解题思路】根据复数，共轭复数和复数模的性质，运用复数运算法则和方法，求出复数的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】 z=4+3i，== - i，D正确，选D。
11、（理）设复数Z满足=i，则|Z|=（ ）
A 1 B C D 2
（文）已知复数Z满足（Z-1）i=i+1，则Z=（ ）（2016全国高考新课标I卷）
A -2-i B -2+i C 2-i D 2+i
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②共轭复数定义与性质；③复数运算法则；④复数运算的基本方法；⑤复数模定义与性质。
【解题思路】（理）设Z=a+bi,根据复数，共轭复数和复数模的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，得到复数Z的代数表示式，从而求出复数Z的模就可得出选项。（文）设Z=a+bi,根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，得到复数z的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】（1）设Z=a+bi, ===
==i，=0，
=1，a=0，b=1，或a=1，b=0，Z=i或Z=1，|Z|=1，A正确，选A；（2）设Z=a+bi, （Z-1）i=(a-1+bi)i=（a-1）i+b=-b+（a-1）i= i+1，a-1=1，-b=1，a=2，b=-1，Z=2-i，C正确，选C。
『思考问题2』
（1）【典例2】是复数运算的问题，解答这类问题需要理解复数运算的定义，掌握复数运算的法则和基本方法；
（2）复数乘法法则类似于多项式与多项式的乘法法则，除法法则实质上就是分母实数化，即分子，分母同乘以分母的共轭复数，类似于分母有理化的法则。在具体进行复数运算时应该注意两点：①出现时必须用-1代替；②复数实数化类似分母有理化，但又有一定的区别；
（3）复数问题实数化是解决复数问题的基本方法之一，其理论依据是复数相等的充分必要条件和共轭复数的性质；运用复数的实数化还可以解答求复数方程的实数解，求复平面上动点的轨迹问题。
〔练习2〕按要求解答下列问题：
1、若复数满足=i，其中i为虚数单位，则Z=（ ）（答案：A）
A 1-i B 1+i C -1-i D -1+i
2、= ；（答案：=i）
3、+ = ；（答案：+ =+i）
4、设复数Z满足=i，则Z=（ ）（答案：C）
A -2+i B -2-i C 2-i D 2+i
5、= ；（答案：=-i）
6、复数等于（ ）（答案：C）
A 4i B -4i C 2i D -2i
7、已知复数=1-i，. =1+i，则复数= ；（答案：=i）
8、i是虚数单位，= ；（答案：=1+2i）
【典例3】解答下列问题：
1、复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）（2021全国高考新高考I）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【知识点】①复数运算法则；②复数运算的基本方法；③复数在复平面坐标定义与性质；④确定复数在复平面内对应点所在象限的基本方法。
【解题思路】根据复数运算法则和基本方法通过运算，得到复数的代数表示式，运用复数坐标的性质和确定复数在复平面内的对应点所在象限的基本方法，确定复数在复平面内对应的点所在的象限就可得出选项。
【详细解答】 z= ====+i，复数Z的坐标为（，），即复数在复平面内对应的点在第一象限，A正确，选A。
2、复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）（成都市2021高三零诊）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【考点】①复数运算的法则与基本方法；②复数的定义与代数表示法；③复平面的定义与性质；④确定复数在复平面内对应点坐标的基本方法。
【解题思路】根据复数运算的法则与基本方法，结合问题条件把复数Z化为代数表示式，运用复平面的性质和确定复数在复平面内对应点坐标的基本方法得到复数Z在复平面内的坐标就可得出选项。
【详细解答】 z== = = =- + i，复数z在复平面内的坐标为（- ， ），即复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，B正确，选B。
3、复数z= （i是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）（成都市2019高三一诊）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法；④复数在复平面坐标定义与性质；⑤确定复数在复平面坐标的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到复数Z的代数表示式，利用复数在复平面坐标的性质和确定复数在复平面内坐标的基本方法得到复数Z的坐标就可得出选项。
【详细解答】 z= = =1-2i， z=（1，-2），即复数z在复平面内对应的点位于第四象限，D正确，选D。
4、（理）设复数Z满足|Z-i|=1,Z在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A + =1 B + =1 C + =1 D + =1
（文）设Z=，则|Z|=（ ）（2019全国高考新课标I）
A 2 B C D 1
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法；④复数在复平面坐标定义与性质；⑤确定复数在复平面坐标的基本方法；⑥复数模定义与性质。
【解题思路】（理）设Z=x+yi，根据复数和复数模的性质，运用复数运算法则和基本方法，求出|Z-i|，结合问题条件得到关于x，y的等式就可得出选项；（2）根据复数的性质，运用复数运算法则和方法，关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，得到复数Z的代数表示式，利用复数模的性质求出|Z|就可得出选项。
【详细解答】（理）由题意设Z=x+yi， |z-i|=|x+（y-1）i|= =1，
=1，C正确，选C；（文） Z== = = - i，
|Z|==，C正确，选C。
5、（理）设Z=-3+2i，则在复平面内其对应的点位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
（文）设Z=i（2+i），则=（ ）（2019全国高考新课标II）
A 1+2i B -1+2i C 1-2i D -1-2i
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②共轭复数定义与性质；③复数运算法则；④复数运算的基本方法；⑤复数在复平面坐标定义与性质；⑥确定复数在复平面坐标的基本方法。
【解题思路】（理）根据复数在复平面坐标定义与性质，运用确定复数在复平面的坐标的基本方法求出复数Z的坐标就可得出选项。（文）根据复数和共轭复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到复数Z的代数表示式，从而求出共轭复数的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】（理）Z=-3+2i，复数Z在复平面内对应的坐标为（-3，2），即复数Z在复平面内对应的点位于第二象限，B正确，选B；（文）Z= i（2+i）=2i+=-1+2i，
=-1-2i，D正确，选D。
6、复数Z=在复平面内对应的点位于（ ）（2018成都市高三一诊）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法；④复数在复平面坐标定义与性质；⑤确定复数在复平面坐标的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到复数Z的代数表示式，利用复数在复平面坐标的性质和确定复数在复平面内坐标的基本方法得到复数Z的坐标就可得出选项。
【详细解答】 z===1-i，复数Z在复平面内的坐标为（1，-1），即复数z在复平面内对应的点位于第四象限，D正确，选D。
7、若复数=a+i（a R），=1-i，且为纯虚数，则在复平面内所对应的点位于（ ）（2017成都市高三二诊）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法；④复数在复平面坐标定义与性质；⑤确定复数在复平面内坐标的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法方法，得到复数的代数表示式，利用复数在复平面内坐标的性质和确定复数在复平面的坐标的确定方法，求出复数的坐标就可得出选项。
【详细解答】复数=a+i（a R），=1-i，===
=为纯虚数，a-1=0，a=1，=1+i，即 在复平面内所对应的点位于第一象限，A正确，选A。
8、如图所示，平行四边形OABC，顶点O， y B
A，C分别表示0，3+2i，-2+4i，试求：
（1），所表示的复数； C A
（2）对角线所表示的复数；
（3）B点对应的复数。 O x
【解析】
【知识点】①复数对于与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法；④复数在复平面内坐标定义与性质；⑤确定复数在复平面内坐标的基本方法；⑥向量坐标定义与性质；⑦向量坐标运算法则和基本方法；⑧平行四边形定义与性质。
【解题思路】（1）根据复数，平行四边形和复数在复平面内坐标的性质，结合问题条件得到点O，A，B，C的坐标，运用向量坐标运算法则和基本方法，就可求出， 的坐标，从而求出，所表示的复数；（2）运用向量坐标运算的法则和基本方法，得到向量的坐标，就可求出对角线所表示的复数；（3）设B（x，y），由（1），根据平行四边形的性质求出x，y的值，得到点B的坐标，就可求出B点对应的复数。
【详细解答】（1） O，A，C分别表示0，3+2i，-2+4i， O（0，0），A（3，2），C（-2，4），=（-3，-2），四边形OABC是平行四边形，==（-3，-2），，所表示的复数为Z=-3-2i；（2）=（5，-2），对角线所表示的复数为Z=5-2i；
（3）设B（x，y），=（-3，-2），=（-2-x，4-y），四边形OABC是平行四边形，
=-2-x=-3，4-y=-2，x=1，y=6， B（1，6）， B点对应的复数为Z=1+6i。
『思考问题3』
（1）【典例3】是复数在复平面内对应点的坐标问题，解答这类问题需要理解：①复数z= a+bi（a，bR）C与复平面内的点是一一对应的，从而复数的几何问题可以转化为平面直角坐标系内点的坐标问题；②复数z= a+bi（a，bR）C与复平面内所有以原点为起点的向量组成的集合是一一对应的，所以复数的几何问题也可以转化为平面向量的问题；
（2）运用复数在复平面内对应点的坐标解答相关问题的基本方法是：①分辨清楚问题是与复平面内的点相关，还是与复平面内的向量相关；②结合相应的图形，从图形上去寻找突破口，使问题得到解答。
〔练习3〕解答下列问题：
1、设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）（答案：B）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
2、复数Z= （i是虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）（答案：D）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
3、在复平面内，复数对应的点的坐标为 ；（答案：复数对应的点的坐标为（-1，1）） y
4、若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z， 2 ----------|E
则表示复数是（ ）（答案：D） F|---------1 ---------|-------| Z
A E B F C G D H | | |
5、在复平面内，复数Z=i(1+2i)对应的点位于（ ） -3 -2 -1 0 1 2| 3 x
（答案：B） G |--------1 ----------|H
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
6、在复平面内，复数Z=sin2+icos2对应的点位于（ ）（答案：D）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
7、在复平面内，复数Z= 对应的点位于（ ）（答案：D）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【典例4】按要求解答下列问题：
1、（理）已知复数Z= ，aR，若Z为纯虚数，则a= ；
（文）已知复数Z= ，则|Z|= ；（成都市2019高三二诊）
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法；④复数模定义与性质。
【解题思路】（理）根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。（文）根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到复数Z的代数表示式，利用复数模的性质就可求出|Z|。
【详细解答】（理） Z= ===为纯虚数，
a+1=0，即 a=-1。（文） Z= = =2-i，|Z|==。
2、若复数（1-i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）（2017全国高考北京卷）
A （- ，1） B （- ，-1） C （1，+ ） D （-1，,+ ）
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法；④复数在复平面对应点坐标定义与性质；⑤求解一元一次不等式组的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到复数（1-i）（a+i）的代数表示式，利用复数在复平面对应点坐标的性质和求解一元一次不等式组的基本方法，得到关于a的一元一次不等式组，求解一元一次不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】Z=（1-i）（a+i）=a+i-ai-=（a+1）-(a-1)i，复数Z的坐标为（a+1，1- a），复数Z在复平面内对应的点在第二象限，a+1<0且1-a>0，即 a<-1，B正确，选B。
3、已知Z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）（2016全国高考新课标II卷）
A （-3，1） B （-1，3） C （1，+ ） D （- ，-3）
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法；④复数在复平面对应点坐标定义与性质；⑤求解一元一次不等式组的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质，运用复数运算法则和基本方法，得到复数Z的代数表示式，利用复数在复平面对应点坐标的性质和求解一元一次不等式组的基本方法，得到关于m的一元一次不等式组，求解一元一次不等式组就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】Z=（m+3）+（m-1）i ，复数Z的坐标为（m+3，m- 1），复数Z在复平面内对应的点在第四象限，m+3>0且m-1<0，即 -34、若a为实数，且=3+i，则a=（ ）（2016全国高考天津卷）
A -4 B -3 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法；④求解方程的基本方法。
【解题思路】根据复数的性质，运用复数运算的法则和基本方法，得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】====3+i，1+=3，且-1+=1，即 a=4，D正确，选D。
5、（理）若a为实数，且（2+ai）(a-2i)=-4i，则a=（ ）
A -1 B 0 C 1 D 2
（文）若a为实数，且=3+i，则a=（ ）（2016全国高考新课标II卷）
A -4 B -3 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①复数定义与性质；②复数运算法则；③复数运算的基本方法；④求解方程的基本方法。
【解题思路】（理）根据复数的性质，运用复数运算的法则和基本方法，得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。（文）根据复数的性质，运用复数运算的法则和基本方法，得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】（理）Z=（2+ai）(a-2i)=2a-4i+i-2a=4a+(-4)i=-4i，4a=0，且-4=-4，即a=0，B正确，选B。（文）Z===
==3+i1+=3，且-1=1，即a=4，D正确，选D。
『思考问题4』
（1）【典例4】是已知复数满足某个条件，求其中的参数（实数）的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要先通过复数的运算，再结合复数的基本概念，得到关于参数的方程（或方程组）或不等式（或不等式组），然后求解方程（或方程组）或不等式（或不等式组）就可求出参数的值（或取值范围）；
（2）两个复数相等的充充分必要条件是：①实部与实部相等；②虚部与虚部相等；
（3）一个复数是实数的充分必要条件是虚部等于零；一个复数是虚数的充分必要条件是虚部不等于零；一个复数是纯虚数的充分必要条件条件是实部等于零，虚部不等于零。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知=2i，其中i是虚数单位，那么实数= ；（答案：实数=1）
2、若复数（-3a+2）+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为（ ）（答案：B）
A 1 B 2 C 1或2 D - 1
3、设a是实数，且是实数，则a=（ ）（答案：B）
A B 1 C D 2
4、若a为实数，，则a等于（ ）（答案：B）
A B - C 2 D - 2
5、设aR，且i为正实数，则a=（ ）（答案：D）
A 2 B 1 C 0 D -1
6、若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（ ）（答案：D）
A -2 B - C D 2