(考查范围：1.2－1.3.1)
1．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是( B )
A．2，4，5 B．3，4，5
C．4，4，5 D．5，4，5
【解析】由勾股定理的逆定理可得只有B选项满足：32＋42＝52.
2.(2021·永州期末)如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( A )
A.AC＝AD B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
【解析】需要添加的条件为BC＝BD或AC＝AD，理由为：若添加的条件为BC＝BD，Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)；若添加的条件为AC＝AD，
Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).
3．下列各命题的逆命题不成立的是( C )
A．两直线平行，内错角相等
B．两个数绝对值相等，则这两个数也相等
C．对顶角相等
D．等腰三角形的两底角相等
【解析】A.两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立，不符合题意；
B．两个数绝对值相等，则这两个数也相等的逆命题是两个数相等，则这两个数的绝对值相等，成立，不符合题意；C.对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立，符合题意；D.等腰三角形的两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形成立，不符合题意．
4.(2021·唐山期末)如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5 cm，△ABD的周长为16 cm，则△ABC的周长为( A )
A．26 cm B．21 cm C．28 cm D．31 cm
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABD的周长为16，
∴AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝16，
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝16＋10＝26(cm).
5．(2021·深圳期末)下列命题中是假命题的是( D )
A．两直线平行，同旁内角互补
B．同位角相等，两直线平行
C．若a∥b，a⊥c，那么b⊥c
D．相等的角是对顶角
【解析】A.两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；B.同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；C.若a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题，不符合题意；D.相等的角不一定是对顶角，∠1和∠2是相等，但不是对顶角，是假命题，符合题意．
6.如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】①∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEH＝∠ADB＝90°.
∴∠HBD＋∠BHD＝90°，∠EAH＋∠AHE＝90°，
∵∠BHD＝∠AHE，∴∠HBD＝∠EAH.
∵DH＝DC，∴△BDH≌△ADC(AAS)，
∴BD＝AD，BH＝AC；
②∵BC＝AC，∴∠BAC＝∠ABC.
由①知，在Rt△ABD中，
∵BD＝AD，∴∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝45°，∴∠ACB＝90°.
∵∠ACB＋∠DAC＝90°，∠ACB＜90°，
∴结论②为错误结论．
③由①证明知，△BDH≌△ADC，∴BH＝AC；
④∵CE＝CD，∠ACB＝∠ACB，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△BEC≌△ADC，由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC，∴结论④为错误结论．综上所述，结论①③为正确结论，结论②④为错误结论．
7.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为( B )
A．25° B．30° C．35° D．40°
【解析】∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝50°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－50°－100°＝30°.
8.(2021·成都期末)如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于D，E，若∠CAB＝∠B＋28°，则∠CAE＝__28°__．
【解析】∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°，
∵∠CAB＝∠B＋28°，∴∠B＝31°，∠CAB＝59°，
∵DE垂直平分斜边AB，∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE＝31°，
∴∠CAE＝∠CAB－∠BAE＝59°－31°＝28°.
答案：28°
9．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝__78°__.
【解析】过O作射线BP，
∵线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＋∠ABC＝180°，
∵∠DOE＋∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A＋∠ABO，∠COP＝∠C＋∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP＋∠COP
＝∠A＋∠ABC＋∠C
＝∠ABO＋∠OBC＋∠ABC
＝2∠ABC＝2×39°＝78°.
答案：78°
10．已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是__6＋4__．
【解析】作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，∴BD＝DC，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝AB＝，
由勾股定理得，BD＝＝3，
∴BC＝2BD＝6，
∴△ABC的周长为：6＋2＋2＝6＋4.
答案：6＋4
11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝__30__°.
【解析】∵EF垂直平分BC，
∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°.
答案：30
12．如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝4，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为__13__．
【解析】根据作图过程可知：MN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴△ACD的周长＝AD＋DC＋AC＝BD＋DC＋AC＝BC＋AC＝9＋4＝13.
答案：13
13．已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC，AB分别交于点D和点E.
(1)作出边AC的垂直平分线DE；
(2)当AE＝BC时，求∠A的度数．
【解析】(1)如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线．
(2)连接CE，∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，∴∠A＝∠ACE，
∵AE＝BC，∴CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，
设∠A＝x，
则∠CEB＝∠A＋∠ACE＝x＋x＝2x，
在△BCE中，∠BCE＝180°－2×2x＝180°－4x，
∴∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝x＋180°－4x＝120°，解得x＝20°，即∠A＝20°.
14．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，点M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(1)求证：AM平分∠BAD；
(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
(3)线段CD，AB，AD间有怎样的关系？直接写出结果．
【解析】(1)作ME⊥AD于点E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME＝MC，
∵M为BC中点，∴MB＝MC，
又∵ME＝MC，∴ME＝MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠BAD.
(2)DM⊥AM，
理由：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠B＋∠C＝180°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA＋∠BAD＝180°，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠DMA＝180°－(∠1＋∠3)＝90°，
即DM⊥AM.
(3)CD＋AB＝AD.
15．(2021·茂名期末)如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB，DC交于点E.
求证：(1)AC平分∠EAF；
(2)∠FAD＝∠E.
【证明】(1)∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；
(2)∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E＋∠EAC，
∴∠E＋∠EAC＝∠FAD＋∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E.
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16．如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B.
(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
【解析】(1)∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，∴∠APC＝2∠B；
(2)根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B＋∠BAQ，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ＋∠BQA＋∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°.
PAGE(考查范围：1.2－1.3.1)
1．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是( )
A．2，4，5 B．3，4，5
C．4，4，5 D．5，4，5
2.(2021·永州期末)如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )
A.AC＝AD B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
3．下列各命题的逆命题不成立的是( )
A．两直线平行，内错角相等
B．两个数绝对值相等，则这两个数也相等
C．对顶角相等
D．等腰三角形的两底角相等
4.(2021·唐山期末)如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5 cm，△ABD的周长为16 cm，则△ABC的周长为( )
A．26 cm B．21 cm C．28 cm D．31 cm
5．(2021·深圳期末)下列命题中是假命题的是( )
A．两直线平行，同旁内角互补
B．同位角相等，两直线平行
C．若a∥b，a⊥c，那么b⊥c
D．相等的角是对顶角
6.如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
8.(2021·成都期末)如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于D，E，若∠CAB＝∠B＋28°，则∠CAE＝__ __．
9．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝__ __.
10．已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是__ __．
11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝__ __°.
12．如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝4，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为__ __．
13．已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC，AB分别交于点D和点E.
(1)作出边AC的垂直平分线DE；
(2)当AE＝BC时，求∠A的度数．
14．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，点M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(1)求证：AM平分∠BAD；
(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
(3)线段CD，AB，AD间有怎样的关系？直接写出结果．
15．(2021·茂名期末)如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB，DC交于点E.
求证：(1)AC平分∠EAF；
(2)∠FAD＝∠E.
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16．如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B.
(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
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