(考查范围：1.1)
1．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于( B )
A．10 B．5 C．4 D．3
【解析】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝( D )
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝×(180°－∠A)＝70°，
∵CD∥AB，
∴∠BCD＝∠ABC＝70°.
3．△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，若AB＝6，则AC＝( A )
A．6 B．8 C．5 D．13
【解析】∵△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－50°＝50°，
∴∠C＝∠B，∴AC＝AB＝6.
4．已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为( C )
A．2 B．3 C．4 D．4
【解析】根据等边三角形：三线合一，
设它的边长为x，可得：x2＝＋(2)2，
解得：x＝4，x＝－4(舍去).
5．如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝( C )
A． B． C．a－b D．b－a
【解析】∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°＝∠A，∴BD＝AD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，∴AD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b，
∴CD＝AC－AD＝a－b.
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是( D )
A．50° B．40° C．30° D．20°
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝(180°－40°)＝70°，∴∠ACD＝90°－70°＝20°.
7．(易错警示题)等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是( D )
A．55° B．70°
C．40°或70° D．55°或70°
【解析】①当这个角是顶角时，底角＝(180°－70°)÷2＝55°；②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°.
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为__9__.
【解析】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝9.
答案：9
9．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为__80°__．
【解析】∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠A＝180°－2×50°＝80°.
答案：80°
10.已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝__40__度．
【解析】∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝35°，
∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝70°.
∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－70°－70°＝40°.
答案：40
11．(2021·武汉模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝37°，则∠BAC＝__32°__．
【解析】∵AE∥BD，∴∠DBC＝∠E＝37°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBC＝74°，
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝74°，
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝32°.
答案：32°
12．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝__40°__.
【解析】如图，延长CB交l1于点D，
∵AB＝BC，∠C＝30°，∴∠C＝∠4＝30°，
∵l1∥l2，∠1＝80°，∴∠1＝∠3＝80°，
∵∠C＋∠3＋∠2＋∠4＝180°，
即30°＋80°＋∠2＋30°＝180°，∴∠2＝40°.
答案：40°
13.如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为__4__．
【解析】延长BD到F，使得DF＝BD，
∵CD⊥BF，∴△BCF是等腰三角形，
∴BC＝CF，∴∠F＝∠CBD，
∵EB＝EA，
∴∠ABD＝∠A＝2∠CBE，
过点C作CH∥AB，交BF于点H，
∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，
∵∠CHD＝∠F＋∠HCF
∴∠HCF＝∠F，∴HF＝HC，
∵CH∥AB，EB＝EA，
∴EC∶EH＝AE∶BE＝1，
∴EC＝EH，
∴BH＝EB＋EH＝EA＋EC＝AC，
∵BD＝8，AC＝11，
∴DH＝BH－BD＝AC－BD＝3，
∴HF＝HC＝8－3＝5，
在Rt△CDH中，
∴由勾股定理可知：CD＝4，
在Rt△BCD中，
∴BC＝＝4.
答案：4
14．(2021·西安期末)如图，△ABC中，AB＝AC，D点在BC上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°，BD＝3，求CD.
【解析】∵∠ADC＝60°，∠BAD＝30°，
∴∠B＝∠ADC－∠BAD＝60°－30°＝30°＝∠BAD，
∴BD＝AD＝3，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝120°－30°＝90°，
∴CD＝2AD＝6.
15．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形．
(2)若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
【解析】(1)∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE.
∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE.
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)∵F是AC的中点，∴AF＝CF.
∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE.
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC.
∴△AFE≌△CFG.∴AE＝GC＝8.
∵GC＝2BG，∴BG＝4.∴BC＝12.
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32.
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16．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
【解析】(1)∠DAC的度数不会改变；
∵EA＝EC，∴∠AED＝2∠C，∠CAE＝∠C，①
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝[180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C，
∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝45°；
(2)设∠ABC＝m°，
则∠BAD＝(180°－m°)＝90°－m°，
∠AEB＝180°－n°－m°，
∴∠DAE＝n°－∠BAD＝n°－90°＋m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAE＝∠AEB＝90°－n°－m°，
∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝n°－90°＋m°＋90°－n°－m°＝n°.
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1．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于( )
A．10 B．5 C．4 D．3
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，若AB＝6，则AC＝( )
A．6 B．8 C．5 D．13
4．已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为( )
A．2 B．3 C．4 D．4
5．如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝( )
A． B． C．a－b D．b－a
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是( )
A．50° B．40° C．30° D．20°
7．(易错警示题)等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是( )
A．55° B．70°
C．40°或70° D．55°或70°
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为__ __.
9．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为__ __．
10.已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝__ __度．
11．(2021·武汉模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝37°，则∠BAC＝__ __．
12．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝__ __.
13.如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为__ __．
14．(2021·西安期末)如图，△ABC中，AB＝AC，D点在BC上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°，BD＝3，求CD.
15．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形．
(2)若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
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16．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
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