(考查范围：1.3.2－1.4)
1．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为( )
A.5 B．6 C．3 D．4
2．(2021·郑州期末)如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为( )
A.16厘米 B．18厘米
C．26厘米 D．28厘米
3．(2021·青海中考)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A．8 B．7.5
C．15 D．无法确定
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，与AC交于点O，连接AD.下列结论不正确的是( )
A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90°
C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°
5.(2021·西安期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8 cm，DF＝3 cm，则△CDB的面积为( )
A.12 cm2 B．8 cm2 C．6 cm2 D．4 cm2
6.如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与A点在直线l的同一侧，点P是直线l上的任意点，连接AP，BC，CP，则BC与AP＋PC的大小关系是( )
A．＞ B．＜ C．≥ D．≤
7.(2021·武汉期末)如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC，BC的垂直平分线的交点，连接AO，BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为( )
A．α B．4α－360°
C．α＋90° D．180°－α
8.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__ __．
9．如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E＝20°，且AB＝CE，则∠BAE的度数为__ __．
10．(2021·镇江期末)如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是__ __．
11．如图，已知AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，若∠A＝38°，则∠BDE
＝__ __．
12．(2021·昆明模拟)已知∠AOB＝60°，在∠AOB的边OA，OB上分别截取OM＝ON＝6，点P在∠AOB的内部，且点P到直线OA，OB，MN的距离均为m，则m＝__ __．
13.如图，△ABC中，∠B＞∠A，CD⊥AB于点D，∠ACB的平分线CE交AB于点E.
(1)若∠A＝55°，∠B＝75°，求∠DCE的度数；
(2)直接写出∠DCE，∠A，∠B之间的等量关系．
14．(2021·宜昌中考)如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°.
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的________，射线AE是∠DAC的________；
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．
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15．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F，求证：FE＝FD.
PAGE(考查范围：1.3.2－1.4)
1．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为( B )
A.5 B．6 C．3 D．4
【解析】如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，
∴PE＝PD＝6，
∴点P到边OB的距离为6.
2．(2021·郑州期末)如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为( B )
A.16厘米 B．18厘米
C．26厘米 D．28厘米
【解析】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴△EBC的周长＝BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10＋8＝18(厘米).
3．(2021·青海中考)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( B )
A．8 B．7.5
C．15 D．无法确定
【解析】过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5.
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，与AC交于点O，连接AD.下列结论不正确的是( B )
A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90°
C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°
【解析】∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝70°，
∴A正确；
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝25°，
∴∠BOC＝180°－∠DBC－∠ACB＝95°，
∴∠DOC＝180°－∠BOC＝85°，故B错误；
∵∠ACE＝180°－∠ACB＝120°，CD平分∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACE＝60°，
∴∠BDC＝∠DCE－∠DBC＝35°，C正确；
∵点D在∠ABC和∠ACE的角平分线上，
∴点D到AB，BC，AC的距离相等，
∴点D在∠BAC外角的平分线上，
∴∠DAC＝×(180°－∠BAC)
＝×(180°－70°)＝55°，D正确．
5.(2021·西安期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8 cm，DF＝3 cm，则△CDB的面积为( A )
A.12 cm2 B．8 cm2 C．6 cm2 D．4 cm2
【解析】作DH⊥BC与BC交于点H，如图：
∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC.
∴DH＝DF.∵DF＝3 cm.∴DH＝3 cm.
∵BC＝8 cm.
∴△CDB的面积为：BC·DH＝12 cm2.
6.如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与A点在直线l的同一侧，点P是直线l上的任意点，连接AP，BC，CP，则BC与AP＋PC的大小关系是( D )
A．＞ B．＜ C．≥ D．≤
【解析】连接BP，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴AP＋PC＝BP＋PC，
当点P在BC与l的交点处时，AP＋PC＝CB，
当点P不在BC与l的交点处时，AP＋PC＝BP＋PC＞BC，
∴BC≤AP＋PC.
7.(2021·武汉期末)如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC，BC的垂直平分线的交点，连接AO，BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为( B )
A．α B．4α－360°
C．α＋90° D．180°－α
【解析】连接CO并延长至D，
∵∠AIB＝α，
∴∠IAB＋∠IBA＝180°－α，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠CAB＋∠CBA＝2(∠IAB＋∠IBA)＝360°－2α，∴∠ACB＝180°－(∠CAB＋∠CBA)＝2α－180°，
∵点O是AC，BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA＋∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝2∠OCA＋2∠OCB＝2∠ACB＝4α－360°.
8.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上__．
【解析】如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把长方形直尺完全相同，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上).
答案：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
9．如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E＝20°，且AB＝CE，则∠BAE的度数为__105°__．
【解析】∵MN是AE的垂直平分线，∴CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝25°，
∴∠ACB＝∠E＋∠CAE＝50°，
∵CE＝CA，AB＝CE，
∴AC＝AB，∴∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BAE＝180°－25°－50°＝105°.
答案：105°
10．(2021·镇江期末)如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是__120__．
【解析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，
＝AB·DE＋BC·CD＝×12×8＋×18×8＝120.
答案：120
11．如图，已知AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，若∠A＝38°，则∠BDE
＝__52°__．
【解析】∵AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，∴AD＝BD，∠BED＝90°，
∴∠ABD＝∠A＝38°，
∴∠BDE＝90°－38°＝52°.
答案：52°
12．(2021·昆明模拟)已知∠AOB＝60°，在∠AOB的边OA，OB上分别截取OM＝ON＝6，点P在∠AOB的内部，且点P到直线OA，OB，MN的距离均为m，则m＝__或3__．
【解析】∵∠AOB＝60°，OM＝ON＝6，
∴△MON是等边三角形．
∵点P到直线OA，OB，MN的距离均为m，
∴点P是△MON的角平分线的交点．
①当点P在△MON的内部时，如图：过点P作PC⊥OB于C，
∵点P是△MON的角平分线的交点，
∴∠POB＝30°，OC＝3，
∴PC＝OP.
由勾股定理得PC＝.∴m＝.
②当点P在△MON的外部时，如图：过点P作PC′⊥OB于C′，则OC′＝6＋3＝9，
∴PC′＝3，∴m＝3.
答案：或3
13.如图，△ABC中，∠B＞∠A，CD⊥AB于点D，∠ACB的平分线CE交AB于点E.
(1)若∠A＝55°，∠B＝75°，求∠DCE的度数；
(2)直接写出∠DCE，∠A，∠B之间的等量关系．
【解析】(1)∵∠A＝55°，∠B＝75°，
∴∠ACB＝50°，
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝25°，
∵∠B＝75°，CD⊥AB，∴∠BCD＝15°，
∠DCE＝∠ECB－∠BCD＝25°－15°＝10°，
即∠DCE的度数是10°；
(2)∠DCE＝(∠B－∠A)，
理由：
∵∠ACB＝180°－∠A－∠B，CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝(180°－∠A－∠B)，
∵CD⊥AB，∴∠BCD＝90°－∠B，
∴∠DCE＝∠ECB－∠BCD＝(180°－∠A－∠B)－(90°－∠B)＝(∠B－∠A).
14．(2021·宜昌中考)如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°.
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的________，射线AE是∠DAC的________；
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．
【解析】(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线．
答案：垂直平分线 角平分线
(2)∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝40°，
∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝50°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAD＝25°.
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15．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F，求证：FE＝FD.
【证明】∵∠B＝60°，
∴∠BAC＋∠BCA＝180°－60°＝120°，
∵AD，CE分别平分∠BAC与∠BCA，
∴∠FAC＋∠FCA＝(∠BAC＋∠BCA)＝×120°＝60°，
∴∠AFE＝60°，∠AFC＝120°，如图，
在AC上截取AG＝AE，
则在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴∠AFG＝∠AFE＝60°，FE＝FG，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
在△CDF和△CGF中，
∴△CDF≌△CGF(ASA)，
∴FD＝FG，∴FE＝FD.
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