24.1.4圆周角

(共40张PPT)
1、复习回顾:
(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理是什么？
(1)什么是圆心角？
2.∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？
你能给∠ACB这一类的角取个名字吗？
顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。
圆周角的概念 ：
B
A
C
O
3.判断下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由．
一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；
②两边都和圆相交.
24.1.4 圆周角
在这个圆柱形海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗 观看窗内的海洋动物．
如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？
如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角（∠ACB)相同吗？
实际问题可转化为数学问题：
同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？
同弧（弧AB）所对的圆周角∠ADB ，∠ACB，∠AEB的大小关系又是怎样的？
A
B
C
O
E
D
O
A
C
B
问题：圆周角的度数与相应的圆心角 度数有什么关系？
探究一：
画一个圆心角,然后再画同弧所对的圆周角.
再用量角器量出圆心角和圆周角的度数,你有何发现
发现:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半.
A
B
O
A
B
O
A
B
O
问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？
(1)当圆心在圆周角的一边上时,
探究一：
证明:
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
C
O
B
A
（2）圆心在∠BAC的内部时.
O
A
B
C
1
2
1
2
证明:作直径AD.
∵∠BAD= ∠BOD
∠DAC= ∠DOC
∵∠BAD+∠DAC= （∠ BOD+∠DOC）
即: ∠BAC= ∠BOC
1
2
1
2
D
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
（3）圆心在∠BAC的外部时.
证明:作直径AD.
∵∠DAB= ∠DOB
∠DAC= ∠DOC
∴ ∠DAC-∠DAB= （∠DOC-∠DOB）
即: ∠BAC= ∠BOC
1
2
1
2
1
2
1
2
O
A
B
C
D
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
同弧 所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半.
同弧 所对的圆周角相等
或等弧
或等弧
圆周角定理：
等于这条弧所对的圆心角的一半.
或等弧
同弧 所对的圆周角相等，都
圆周角定理：
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
同学丙、丁的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角（∠ACB)相同,且都等于同学甲的视角(∠AOB)的一半
如果∠A=44°,则∠BOC=____.
如果∠BOC=44°,则∠A=____.
如果∠A=35°,则∠BDC=____.
O
A
B
C
D
5
6
7
8
1
2
4
3
如图，你会找出几对相等的圆周角？
方法点拔：由同弧来找相等的圆周角
例1 如图OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC．
求证：∠ABC=∠BAC．
C
B
O
A
　　在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等吗？为什么？
小结:
在同圆或等圆中,如果
①两个圆心角,
②两个圆周角，
③两条弧,
④两条弦,
⑤两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
探究二：
O
A
B
C
2.90°的圆周角所对的弦是否是直径？
小结
本节课你学会了什么
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
3.在同圆(或等圆)中，五组量…………
2.半圆或直径所对的圆周角等于90°
90°的圆周角所对的弦是直径
小结:
24.1.4 圆周角
在同圆或等圆中,如果
①两个圆心角,
②两个圆周角，
③两条弧,
④两条弦,
⑤两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
复习回顾:
一.判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（　　）
2.相等的圆周角所对的弧相等（　　）
3.90°角所对的弦是直径（　　）
4.直径所对的角等于90°（　 　）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
×
√
×
×
×
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系 .
B
A
C
D
E
E
●O
B
D
C
A
AC所对角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？
⌒
生活实践
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系 .
B
A
C
D
E
生活实践
E
●O
B
D
C
A
都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？
⌒
同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
思考：
同弧所对的圆内角与圆周角，圆外角与圆周角之间有什么关系？
1.如图:在圆O中，已知AC=BD，
试说明： AE= BF
︵
︵
2.如图，点O在∠CAE的平分线上，以O为圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C和D、E。则AB与AD有怎样的大小关系？试证明。
O
A
B
C
D
E
如图，已知AB、CD是⊙O中互相垂直的两条直径，又两条弦AE、CF垂直相交与点G，
证明：AE=CF
P
. O
A
B
C
D
┌
┐
G
E
F
例题1
3.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
4.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列条件的图案:
(1)是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)即是轴对称图形又是中心对称图形.
⌒
AB
菱形
5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
D
A
B
C
O
O
O
·
方法一
方法二
方法三
方法四
A
B
使用帮助
圆内接四边形的对角互补
圆内接多边形
多边形的外接圆
圆内接四边形
A
C
B
D
O
四边形外接圆
例2 如图⊙o的直径AB为10cm,弦AC为6cm,
∠ACB的平分线交⊙o与D,求BC,AD,BD的长.
A
C
B
D
O
例 3 如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB，问：
（1） BD与CD有什么关系.为什么
A
B
C
D
（2） 若AC交⊙O于点E,求证:CD=DE=BD
A
B
C
D
E
小结
本节课你学会了什么
探 究
.
O
A
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C 观察得到的∠ACB有什么特征？
C
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
B