7.5三角形内角和定理（第2课时） 课件（共13张PPT）

(共13张PPT)
5. 三角形内角和定理
北师大版 八年级 上册（第七章）
第2课时
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其它角有什么关系
证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),
∠1+∠4=1800(平角的意义),
∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换).
∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
A
B
C
D
1
2
3
4
能证明你的结论吗
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
A
B
C
D
1
2
3
4
在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论.
推论可以当作定理使用.
三角形内角和定理的推论:
推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
△ABC中:
∠1=∠2+∠3;
∠1>∠2,∠1>∠3.
A
B
C
D
1
2
3
4
这个结论以后可以直接运用.
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C.
求证:AD∥BC.
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
∠B=∠C (已知),
∴∠DAC=∠C(等量代换).
A
C
D
B
E
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠C= ∠EAC(等式性质).
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).
·
·
例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.
还有其它方法吗？
方法一
A
C
D
B
E
·
·
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C.
求证:AD∥BC.
∠B=∠C (已知),
∴∠B= ∠EAC(等式性质).
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAE=∠B(等量代换).
∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
这里是运用了公理“同位角相等,两直线平行”得到了证实.
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
方法二
A
C
D
B
E
·
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C.
求证:AD∥BC.
∠DAC=∠C (已证),
∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理).
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换).
∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.
证明:由证法1可得:
·
方法三
例2 已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.
求证: ∠1>∠2.
证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知),
∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角).
∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义).
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任 何一个和 它不相邻的内角).
∴ ∠1>∠2(不等式的性质).
C
A
B
F
1
3
4
5
E
D
2
已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.
求:∠B和∠ACB的大小.
A
B
C
D
解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知),
∠DCA=100°(已知),
∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义).
∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
∠A=45°(已知),
已知:如图所示.
求证:(1)∠BDC>∠A;
(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明(1):延长BD与AC相交于E
∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角定义),
∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).
∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).
∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义),
B
C
A
D
E
已知:如图所示.
求证:(1)∠BDC>∠A;
(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角定义),
∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和).
∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等式的性质).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义),
B
C
A
D
E
已知:国旗上的正五角星形如图所示.
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义),
∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理).
又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的定义),
A
B
C
D
E
F
1
H
2
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质).
三角形内角和定理 ：
三角形三个内角的和等于1800。
推论1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
推论3:
直角三角形的两锐角互余.