人教版数学九上24.1.4圆周角课件(共74张PPT)

(共74张PPT)
圆周角
如图是圆柱形的海洋馆横截面的示意图，
学完今天的课程，你们就会知道答案了！
玻璃
弧AB 表示圆弧形玻璃窗．
他们的视角相同吗？
乙、丙分别站在其他靠墙的位置D 和E，
同学甲站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，
圆周角
你还记得圆心角的定义吗？
顶点在圆心的角，叫做圆心角．
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角．
练习
判断下列各图中的角是不是圆周角，为什么？
分别测量图中弧AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB，它们之间有什么关系？
改变C点的位置，再次测量∠ACB 和∠AOB，这个关系还成立吗？
改变B点的位置，再次测量∠ACB 和∠AOB，这个关系还成立吗？
探究
猜想
同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．
分析
为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O 任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O 和∠BAC 的顶点A．由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会出现三种情况：
在圆周角的一边上
在圆周角内
在圆周角外
证明
（1）折痕在圆周角的一边上
∵OA=OC，
∴∠A=∠C．
又∠BOC =∠A+∠C
∴∠BOC =2∠A
证明
（2）折痕在圆周角内
圆心O 在∠BAC 的内部，作直径AD，
利用（1）的结果，有
证明
（3）折痕在圆周角外
圆心O 在∠BAC 的外部，作直径AD，
利用（1）的结果，有
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
练习
如图，点A、B、C、D 在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
∠1 = ∠4
∠5 = ∠8
∠2 = ∠7
∠3 = ∠6
方法点拔：由同弧来找相等的圆周角
练习
求圆中角α 的度数．
35°
120°
练习
如图，OA、OB、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC 的大小有什么关系？为什么？
答案：∠ACB =2∠BAC．
练习
如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOD是圆心角， ∠BCD 是圆周角，若∠BCD =25°，则∠AOD = _______ ．
130°
练习
如图，AB 是⊙O 的直径，∠A=30°，点B是弧CD的中点，则∠BOD = _____．
60°
练习
在⊙O 中，∠CBD =30°，∠BDC =20°，求∠A．
提示：连接AC
答案：50°
思考题
如图，在 ⊙O 中，AB 为直径， ，弦CG⊥AB，交AB 于D，交BF 于E．求证：BE =EC．
提示：连接BC
等弧对等角
基于圆周角定理，我们很容易得到如下推理：
同弧或等弧所对的圆周角相等
练习
如图，点A、B、C、D 在⊙O上，若∠C =60°，则∠D = ____ ，∠O = ____ ．
60°
120°
练习
如图，等边△ABC 的顶点都在 ⊙O 上，点D 是 ⊙O 上一点，∠BDC = ____ ．
60°
直径对直角
如果圆周角定理中的圆弧变成了半圆，就会有如下推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角
反过来，也成立
90°的圆周角所对的弦是直径
例题
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
解：连接 OD，AD，BD，
∵　AB 是 ⊙O 的直径，
∴　∠ACB =∠ADB =90°．
在 Rt△ABC 中，
BC = 　 　 =8（cm）　
例题
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
∵　CD 平分∠ACB，
∴　∠ACD=∠BCD，
∴　∠AOD=∠BOD ．
∴　AD=BD．
在 Rt△ABD 中，
例题
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
已知：△ABC 中，CO 为AB 边上的中线，且 ，求证： △ABC 为直角三角形.
证明：
以AB 为直径作⊙O，
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C 在 ⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB= ×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
练习
如图，已知△ABC 内接于圆O，AB=AC，∠A=36°，CD 是圆O 的直径，求∠ACD 的度数．
答案：18°．
总结：看到直径就要想到直角．
知识回顾
圆周角定理及其推论是什么？
半圆（或直径）所对的圆周角是直角 90°的圆周角所对的弦是直径.
同弧或等弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
知识回顾
判断正误：
1．同弧或等弧所对的圆周角相等（　　）
2．相等的圆周角所对的弧相等（　　）
3．90°圆周角所对的弦是直径（　　）
4．直径所对的角等于90°（　 　）
圆内接多边形
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
圆内接多边形
多边形的外接圆
圆内接四边形
如图，四边形ABCD 为 ⊙O 的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆．
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
对角互补
圆内四边形对角互补
猜想：
圆内四边形对角互补
证明：
∴∠A＋∠ C＝ 180°
同理∠B＋∠D＝180°
圆的内接四边形的对角互补
如图，四边形ABCD 内接于⊙O，
则∠A+∠C =______ ，∠B+∠ADC =_______；
若∠B=80°，则∠ADC = ____．
练习
180°
180°
100°
练习
四边形ABCD 内接于 ⊙O，∠AOC =100°，则∠B = ______，∠D = ______ .
50°
130°
练习
四边形ABCD 内接于 ⊙O， ∠A:∠C =1:3，则∠A= _____．
45°
练习
若ABCD 为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）
A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4
B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶4∶3
C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
B
练习
如图，等边三角形ABC 内接于⊙O，P 是 上的一点，则∠APB = ________．
120°
练习
如图，四边形ABCD 内接于 ⊙O，如果∠BOD=130°，则∠BCD 的度数是 ______．
115°
练习
如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD及∠BCD 的度数．
答案：50°，130°
练习
如图，已知四边形ABCD 内接于圆O，点O 在∠A 内部，∠OBA +
∠ODA =50°，则∠C = ______ ．
130°
提示：连接AO
练习
如下图左，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，∠ABD =30°，则∠BCD 的度数为多少？
答案：120°
练习
如图，圆内接四边形ABCD 的两组对边的延长线分别相交于E、F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F = ______．　
40°
练习
梯形ABCD 内接于⊙O，AD∥BC， ∠B =75°，则∠C =_____．
75°
圆的内接梯形一定是 ______ 梯形．
等腰
练习
已知：如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形并且ABCD 是平行四边形．求证：四边形ABCD 是矩形．
提示：证明∠A=∠B 即可．
练习
1.判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：
练习
2.如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC，BD 把它的4个内角分成8个角，这些角中哪些相等？为什么
练习
3.如图，OA,OB,OC,都是 O 的半径，∠AOB=2∠BOC .求证：∠ACB =2∠BAC .
练习
4.如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下.
练习
5.如图，四边形ABCD 内接于 O，E 为CD 延长线一点 .若∠B =110°，∠ADE 的度数 .
思考题
已知：△ABC 中，AB=AC，D 是△ABC 外接圆上的点（不与 A，C 重合），延长 BD 到 E．求证：AD 的延长线平分∠CDE．
提示：
圆内接四边形的外角等于内对角；
同弧所对圆周角相等．
思考题
如图⊙O 与⊙O 都经过A、B 两点，经过点A 的直线CD 与⊙O 交于点C，与⊙O 交于点D．经过点B 的直线EF 与⊙O 交于点E，与⊙O 交于点F．求证：CE∥DF．
1
2
1
2
1
2
提示1：连接AB．
提示2：圆内接四边形的外角等于其内角的对角．
思考题
如图，在⊙O 中，AB 为直径，直线 l 与⊙O 交于点 C、D，BE⊥l 于点 E，连接 BD、BC．求证：∠CBE =∠ABD．
提示：连接AD．
多解问题
如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O上一点，且∠AOC =80°，点D 在⊙O上（不与B、C 重合），则∠BDC 的度数是 __________．
50°或130°
提示：D 可能在劣弧BC 上，也可能在优弧BC 上．
如图，AD、BE 是△ABC 的两条高．求证：∠CED =∠ABC．
利用共圆证明
提示：取AB 中点M，连接EM，DM，证明ABDE 四点共圆．
圆的性质综合
如图，已知AE 是圆O 的直径，△ABC 内接于圆O，AD⊥BC 于 D 交圆O于F．
（1）求证：∠BAE =∠CAF．
（2） 若∠ACB =60°，CF =2，求圆O 的半径．
（1）提示：连接EC
（2）提示：连接OF，OC
总结
半圆（或直径）所对的圆周角是直角 90°的圆周角所对的弦是直径.
同弧或等弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
这节课我们学会了什么？
总结
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
这节课我们还学会了什么？
圆的内接四边形的对角互补
复习巩固
1.求证：直径是圆中最长的弦 .
复习巩固
2.如图，在半径为 50mm 的 ⊙O 中，弦AB长50mm . 求：
（1）∠AOB 的度数；
（2）点O 到AB 的距离.
复习巩固
3.如图，⊙O 中， ，∠C =75°.求∠A的度数 .
复习巩固
4.如图，AD =BC ，比较 ，并证明你的结论 .
复习巩固
5.如图，⊙O 中， ，∠AOB =50°.求∠ADC 的度数 .
复习巩固
6.如图，用直角曲尺检查圆形的工件，哪个是合格的？为什么？
复习巩固
7.求证：圆内接平行四边形是矩形.
综合运用
8.如下页图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分.如果M 是 ⊙O 中CD 的中点，EM 经过圆心O 交圆O 于点E，并且CD =4m.EM =6m.求⊙O 的半径.
综合运用
9.如图，两个圆都以点O 为圆心，大圆的弦AB 交小圆于C , D 两点.求证：AC =BD.
综合运用
10.⊙O 的半径为13cm，AB，CD 是 ⊙O 的两条弦， ，AB =24cm，CD =10cm . 求AB 和CD 之间的距离.
综合运用
11.如图，AB，CD 是 ⊙O 的两条平行弦，MN 是AB 的垂直平行线 . 求证：MN 垂直平分CD .
综合运用
12.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点O是这段弧所在圆的圆心.AB =300m，C 是 上一点，垂足为D，CD =45m.求这段弯路的半径.
综合运用
13.如图，A,B 是⊙O上的两点，∠AOB =120°，C 是 的中点.求证：四边形OACB 是菱形.
综合运用
14.如图，A，P，B，C 是 ⊙O上的四个点，∠APC =∠CPB=60°，判断△ABC 的形状，并证明你的结论.
拓广探索
15.如图，AB 和CD 分别 是 ⊙O上的两条弦，圆心到它们的距离分别是OM 和ON . 如果AB >CD，OM 和ON 的大小有什么关系？为什么？
拓广探索
16.如图，铁路MN和公路PQ 在点O 处交会，∠QON =30°，在点A处有一栋居民楼，AO =200m.如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为72km/h . 居民楼受噪声影响的时间约为多少秒（结果保留小数点后一位）？
拓广探索
17.如图，一个海港在 范围内是浅滩，为了使深水船只不进入浅滩，需要测量船所在的位置与两个灯塔的视角∠XPY，并把它与已知的危险角∠XZY（ 上任意一点Z与两个灯塔所成的角）相较，航行中保持∠XPY <∠XZY . 你知道这样做的道理吗？