15.3 分式方程应用题综合大全（含解析）
文档属性
| 名称 | 15.3 分式方程应用题综合大全（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-08 12:25:04 | ||
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文档简介
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分式方程应用题综合大全
一、行程问题（速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，根据题目找速度、时间的关系列方程）
1．自2008年8月1日中国第一条高速铁路运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展，截止2020年底，我国高速铁路运营里程稳居世界第一．高铁为居民出行带来便利，已知从相距700km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3.6h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.8倍，求普通列车的平均速度是多少km/h？
为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？
3．截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．
（1）求该长途汽车在国道上行驶的速度；
（2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？
4．2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？
二、工程问题（工作速度＝工作总量÷工作时间，工作时间＝工作总量÷工作速度，根据题目找工作速度、工作时间的关系列方程）
5．某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天就可盖成；如果由建筑一队，二队同时施工，那么30天能完成工程总量的，现若由二队单独施工，则需要多少天才能盖成？
6．某市建设地铁2号线，有一项工程原计划由甲工程队独立完成需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天完成任务．求：乙工程队独立完成这项工程需要的时间．
7．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
8．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？
三、价格问题（单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，根据题目找单价、数量、利润的关系列方程）
9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多50个，甲种月饼每个的单价是乙种月饼每个单价的1.5倍．
（1）求甲、乙两种月饼的每个的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1100元．问最多购进多少个甲种月？
10．某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
11．某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
（1）求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：
日期 A款手机（部） B款手机（部） 销售总额（元）
星期六 5 8 40100
星期日 6 7 41100
求A，B两款手机的销售单价分别是多少元？
（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．
12．某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元．
（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润．
四、效率提高问题（ 在原本的基础上进行一定效率增加，根据题目找单位为“1”的量在1的基础上增加a%的效率，列方程）
13．“绿水青山就是金山银山”，为了创造良好的生态环境，某村承接了60万平方米的荒山绿化任务，由于志愿者的加入，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成了这一任务．求原计划每天绿化的面积．
14．甘蔗富含铁、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称，是冬季热销的水果之一．为此，某水果商家12月份第一次用600元购进云南甘蔗若干千克，销售完后，他第二次又用600元购进该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了20%，所购进甘蔗的数量比第一次少了50kg．
（1）该商家第一次购进云南甘蔗的进价是每千克多少元？
（2）假设商家两次购进的云南甘蔗按同一价格销售，要使销售后获利不低于1000元，则每千克的售价至少为多少元？
15．在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要时间比规定时间早25天，乙单独完成这项工程需要时间比规定时间多20天．若由甲乙两队先合作10天，剩下的工程由乙队单独做，正好在规定时间内完成（既没提前，也没延后）．
（1）求规定时间是多少天？
（2）乙队单独施工2天后，甲队开始加入合作，合作时，甲队的人数增加了10%，每个人的效率提高了3a%，同时乙队的人数增加了a%，每个人的效率提高了40%，结果合作20天完成了任务，求a的值（假设每队每人的效率相等）．
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．自2008年8月1日中国第一条高速铁路运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展，截止2020年底，我国高速铁路运营里程稳居世界第一．高铁为居民出行带来便利，已知从相距700km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3.6h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.8倍，求普通列车的平均速度是多少km/h？
【解答】解：设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.8x千米/时，根据题意得：
﹣＝3.6，
解得x＝125，
经检验x＝125是原方程的解，
答：普通列车平均速度是125千米/时．
2．为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？
【解答】解：设一班的平均车速是x千米/时，则二班的平均车速是1.2x千米/时，
依题意得：﹣＝，
解得：x＝44，
经检验，x＝44是原方程的解，且符合题意．
答：一班的平均车速是44千米/时．
3．截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．
（1）求该长途汽车在国道上行驶的速度；
（2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？
【解答】解：（1）设该长途汽车在国道上行驶的速度为xkm/h，
根据题意得：×＝，
解得：x＝55，
经检验：x＝55是原分式方程的解，
答：该长途汽车在国道上行驶的速度为55km/h．
（2）∵55+45＝100＞80，
∴该长途汽车从甲地到乙地超速．
4．2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？
【解答】解：设某列高铁全速行驶速度为每秒x千米，则第二宇宙速度是每秒112x千米，
由题意得：＝﹣50，
解得：x＝0.1，
经检验，x＝0.1是原方程的解，
则112x＝11.2，
答：第二宇宙速度是每秒11.2千米．
5．某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天就可盖成；如果由建筑一队，二队同时施工，那么30天能完成工程总量的，现若由二队单独施工，则需要多少天才能盖成？
【解答】解：设二队单独施工，需要x天盖成．
由题意得：+＝，
解得：x＝225，
经检验x＝225是原方程的解．
答：二队单独施工，需要225天盖成．
6．某市建设地铁2号线，有一项工程原计划由甲工程队独立完成需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天完成任务．求：乙工程队独立完成这项工程需要的时间．
【解答】解：设乙工程队独立完成这项工程需要x天，
由题意得：4×+（+）×（20﹣10﹣4）＝1，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是分式方程的解，
答：乙工程队独立完成这项工程需要12天．
7．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，
由题意得：60m+40m＝1800，
解得：m＝18，
则18×7+18×5＝216（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元．
8．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路x米，则甲工程队每天能改造道路x米，
依题意，得：﹣＝4，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是分式方程的解，且符合题意，
∴x＝45．
答：甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米．
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，
依题意，得：3m+2.4×≤63，
解得：m≥15，
答：至少安排甲队工作15天．
9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多50个，甲种月饼每个的单价是乙种月饼每个单价的1.5倍．
（1）求甲、乙两种月饼的每个的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1100元．问最多购进多少个甲种月饼？
【解答】解：（1）设乙种月饼每个的单价为x元，则甲种月饼的每个的单价为1.5x元，
依题意得：﹣＝50，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，
则1.5x＝6，
答：甲种月饼每个的单价为6元，乙种月饼每个的单价为4元．
（2）设购进甲种月饼m个，则购进乙种月饼（200﹣m）个，
依题意得：6m+4（200﹣m）≤1100，
解得：m≤150，
答：最多购进150个甲种月饼．
10．某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
【解答】解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，
依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3060，
解得：m≤20．
答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．
11．某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
（1）求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：
日期 A款手机（部） B款手机（部） 销售总额（元）
星期六 5 8 40100
星期日 6 7 41100
求A，B两款手机的销售单价分别是多少元？
（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．
【解答】解：（1）设B款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是（x+800）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝2400，
经检验，x＝2400是原方程的解，
则x+800＝2400+800＝3200，
答：A款手机的进货单价是3200元，B款手机的进货单价是2400元；
（2）设A款手机的销售单价是a元，B款手机的销售单价是b元，
根据题意得：，
解得：，
答：A款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价是2700元；
（3）设购买A款手机m部，B款手机n部，
根据题意，得3200m+2400n＝28000，
化简得，4m+3n＝35，
∵m、n都是正整数，
∴或或，
即有三种进货方案：
方案一：购买A款手机2部，B款款手机9部，利润是：（3700﹣3200）×2+（2700﹣2400）×9＝3700（元）；
方案二：购买A款手机5部，B款款手机5部，利润是：（3700﹣3200）×5+（2700﹣2400）×5＝4000（元）；
方案三：购买A款手机8部，B款款手机1部，利润是：（3700﹣3200）×8+（2700﹣2400）×1＝4300（元）；
∵3700＜4000＜4300，
∴选择方案三获得的总利润最高．
12．某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元．
（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润．
【解答】解：（1）设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为（x+100）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝400，
经检验，x＝400为原方程的解，
∴x+100＝500，
答：一件A型丝绸的进价为500元，一件B型丝绸的进价为400元．
（2）①根据题意得：，
解得：16≤m≤25，
∴m的取值范围为：16≤m≤25且m为整数．
②设销售这批丝绸的利润为y元，
根据题意得：y＝（800﹣500）m+（600﹣400） （50﹣m）＝100m+10000，
∵100＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m＝25时，y最大＝12500（元），
答：销售这批丝绸的最大利润为12500元．
13．“绿水青山就是金山银山”，为了创造良好的生态环境，某村承接了60万平方米的荒山绿化任务，由于志愿者的加入，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成了这一任务．求原计划每天绿化的面积．
【解答】解：设原计划每天绿化x万平方米，则实际每天绿化（1+20%）x万平方米．
由题意，得：﹣＝10，
解得，x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天绿化1万平方米．
14．甘蔗富含铁、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称，是冬季热销的水果之一．为此，某水果商家12月份第一次用600元购进云南甘蔗若干千克，销售完后，他第二次又用600元购进该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了20%，所购进甘蔗的数量比第一次少了50kg．
（1）该商家第一次购进云南甘蔗的进价是每千克多少元？
（2）假设商家两次购进的云南甘蔗按同一价格销售，要使销售后获利不低于1000元，则每千克的售价至少为多少元？
【解答】解：（1）设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克x元，
根据题意可知：＝﹣50，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
答：该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克2元；
（2）设每千克的售价为y元，
第一销售了＝300（千克）．
第二次销售了250千克，
根据题意可知：300（y﹣2）+250（y﹣2.4）≥1000，
解得：y≥16，
答：每千克的售价至少为16元．
15．在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要时间比规定时间早25天，乙单独完成这项工程需要时间比规定时间多20天．若由甲乙两队先合作10天，剩下的工程由乙队单独做，正好在规定时间内完成（既没提前，也没延后）．
（1）求规定时间是多少天？
（2）乙队单独施工2天后，甲队开始加入合作，合作时，甲队的人数增加了10%，每个人的效率提高了3a%，同时乙队的人数增加了a%，每个人的效率提高了40%，结果合作20天完成了任务，求a的值（假设每队每人的效率相等）．
【解答】解：（1）设规定时间是x天，则甲队每天完成工程的，乙队每天完成工程的，
依题意得：+＝1，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意．
答：规定时间是70天．
（2）由（1）可知：甲队每天完成工程的＝，乙队每天完成工程的＝．
依题意得：×2+[×（1+10%）（1+3a%）+×（1+40%）（1+a%）]×20＝1，
整理得：1.6a﹣16＝0，
解得：a＝10．
答：a的值为10．
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分式方程应用题综合大全
一、行程问题（速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，根据题目找速度、时间的关系列方程）
1．自2008年8月1日中国第一条高速铁路运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展，截止2020年底，我国高速铁路运营里程稳居世界第一．高铁为居民出行带来便利，已知从相距700km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3.6h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.8倍，求普通列车的平均速度是多少km/h？
为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？
3．截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．
（1）求该长途汽车在国道上行驶的速度；
（2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？
4．2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？
二、工程问题（工作速度＝工作总量÷工作时间，工作时间＝工作总量÷工作速度，根据题目找工作速度、工作时间的关系列方程）
5．某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天就可盖成；如果由建筑一队，二队同时施工，那么30天能完成工程总量的，现若由二队单独施工，则需要多少天才能盖成？
6．某市建设地铁2号线，有一项工程原计划由甲工程队独立完成需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天完成任务．求：乙工程队独立完成这项工程需要的时间．
7．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
8．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？
三、价格问题（单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，根据题目找单价、数量、利润的关系列方程）
9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多50个，甲种月饼每个的单价是乙种月饼每个单价的1.5倍．
（1）求甲、乙两种月饼的每个的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1100元．问最多购进多少个甲种月？
10．某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
11．某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
（1）求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：
日期 A款手机（部） B款手机（部） 销售总额（元）
星期六 5 8 40100
星期日 6 7 41100
求A，B两款手机的销售单价分别是多少元？
（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．
12．某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元．
（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润．
四、效率提高问题（ 在原本的基础上进行一定效率增加，根据题目找单位为“1”的量在1的基础上增加a%的效率，列方程）
13．“绿水青山就是金山银山”，为了创造良好的生态环境，某村承接了60万平方米的荒山绿化任务，由于志愿者的加入，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成了这一任务．求原计划每天绿化的面积．
14．甘蔗富含铁、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称，是冬季热销的水果之一．为此，某水果商家12月份第一次用600元购进云南甘蔗若干千克，销售完后，他第二次又用600元购进该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了20%，所购进甘蔗的数量比第一次少了50kg．
（1）该商家第一次购进云南甘蔗的进价是每千克多少元？
（2）假设商家两次购进的云南甘蔗按同一价格销售，要使销售后获利不低于1000元，则每千克的售价至少为多少元？
15．在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要时间比规定时间早25天，乙单独完成这项工程需要时间比规定时间多20天．若由甲乙两队先合作10天，剩下的工程由乙队单独做，正好在规定时间内完成（既没提前，也没延后）．
（1）求规定时间是多少天？
（2）乙队单独施工2天后，甲队开始加入合作，合作时，甲队的人数增加了10%，每个人的效率提高了3a%，同时乙队的人数增加了a%，每个人的效率提高了40%，结果合作20天完成了任务，求a的值（假设每队每人的效率相等）．
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．自2008年8月1日中国第一条高速铁路运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展，截止2020年底，我国高速铁路运营里程稳居世界第一．高铁为居民出行带来便利，已知从相距700km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3.6h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.8倍，求普通列车的平均速度是多少km/h？
【解答】解：设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.8x千米/时，根据题意得：
﹣＝3.6，
解得x＝125，
经检验x＝125是原方程的解，
答：普通列车平均速度是125千米/时．
2．为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？
【解答】解：设一班的平均车速是x千米/时，则二班的平均车速是1.2x千米/时，
依题意得：﹣＝，
解得：x＝44，
经检验，x＝44是原方程的解，且符合题意．
答：一班的平均车速是44千米/时．
3．截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．
（1）求该长途汽车在国道上行驶的速度；
（2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？
【解答】解：（1）设该长途汽车在国道上行驶的速度为xkm/h，
根据题意得：×＝，
解得：x＝55，
经检验：x＝55是原分式方程的解，
答：该长途汽车在国道上行驶的速度为55km/h．
（2）∵55+45＝100＞80，
∴该长途汽车从甲地到乙地超速．
4．2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？
【解答】解：设某列高铁全速行驶速度为每秒x千米，则第二宇宙速度是每秒112x千米，
由题意得：＝﹣50，
解得：x＝0.1，
经检验，x＝0.1是原方程的解，
则112x＝11.2，
答：第二宇宙速度是每秒11.2千米．
5．某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，那么180天就可盖成；如果由建筑一队，二队同时施工，那么30天能完成工程总量的，现若由二队单独施工，则需要多少天才能盖成？
【解答】解：设二队单独施工，需要x天盖成．
由题意得：+＝，
解得：x＝225，
经检验x＝225是原方程的解．
答：二队单独施工，需要225天盖成．
6．某市建设地铁2号线，有一项工程原计划由甲工程队独立完成需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天完成任务．求：乙工程队独立完成这项工程需要的时间．
【解答】解：设乙工程队独立完成这项工程需要x天，
由题意得：4×+（+）×（20﹣10﹣4）＝1，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是分式方程的解，
答：乙工程队独立完成这项工程需要12天．
7．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，
由题意得：60m+40m＝1800，
解得：m＝18，
则18×7+18×5＝216（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元．
8．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路x米，则甲工程队每天能改造道路x米，
依题意，得：﹣＝4，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是分式方程的解，且符合题意，
∴x＝45．
答：甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米．
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，
依题意，得：3m+2.4×≤63，
解得：m≥15，
答：至少安排甲队工作15天．
9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多50个，甲种月饼每个的单价是乙种月饼每个单价的1.5倍．
（1）求甲、乙两种月饼的每个的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1100元．问最多购进多少个甲种月饼？
【解答】解：（1）设乙种月饼每个的单价为x元，则甲种月饼的每个的单价为1.5x元，
依题意得：﹣＝50，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，
则1.5x＝6，
答：甲种月饼每个的单价为6元，乙种月饼每个的单价为4元．
（2）设购进甲种月饼m个，则购进乙种月饼（200﹣m）个，
依题意得：6m+4（200﹣m）≤1100，
解得：m≤150，
答：最多购进150个甲种月饼．
10．某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
【解答】解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，
依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3060，
解得：m≤20．
答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．
11．某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
（1）求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：
日期 A款手机（部） B款手机（部） 销售总额（元）
星期六 5 8 40100
星期日 6 7 41100
求A，B两款手机的销售单价分别是多少元？
（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．
【解答】解：（1）设B款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是（x+800）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝2400，
经检验，x＝2400是原方程的解，
则x+800＝2400+800＝3200，
答：A款手机的进货单价是3200元，B款手机的进货单价是2400元；
（2）设A款手机的销售单价是a元，B款手机的销售单价是b元，
根据题意得：，
解得：，
答：A款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价是2700元；
（3）设购买A款手机m部，B款手机n部，
根据题意，得3200m+2400n＝28000，
化简得，4m+3n＝35，
∵m、n都是正整数，
∴或或，
即有三种进货方案：
方案一：购买A款手机2部，B款款手机9部，利润是：（3700﹣3200）×2+（2700﹣2400）×9＝3700（元）；
方案二：购买A款手机5部，B款款手机5部，利润是：（3700﹣3200）×5+（2700﹣2400）×5＝4000（元）；
方案三：购买A款手机8部，B款款手机1部，利润是：（3700﹣3200）×8+（2700﹣2400）×1＝4300（元）；
∵3700＜4000＜4300，
∴选择方案三获得的总利润最高．
12．某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元．
（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润．
【解答】解：（1）设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为（x+100）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝400，
经检验，x＝400为原方程的解，
∴x+100＝500，
答：一件A型丝绸的进价为500元，一件B型丝绸的进价为400元．
（2）①根据题意得：，
解得：16≤m≤25，
∴m的取值范围为：16≤m≤25且m为整数．
②设销售这批丝绸的利润为y元，
根据题意得：y＝（800﹣500）m+（600﹣400） （50﹣m）＝100m+10000，
∵100＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m＝25时，y最大＝12500（元），
答：销售这批丝绸的最大利润为12500元．
13．“绿水青山就是金山银山”，为了创造良好的生态环境，某村承接了60万平方米的荒山绿化任务，由于志愿者的加入，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成了这一任务．求原计划每天绿化的面积．
【解答】解：设原计划每天绿化x万平方米，则实际每天绿化（1+20%）x万平方米．
由题意，得：﹣＝10，
解得，x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天绿化1万平方米．
14．甘蔗富含铁、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称，是冬季热销的水果之一．为此，某水果商家12月份第一次用600元购进云南甘蔗若干千克，销售完后，他第二次又用600元购进该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了20%，所购进甘蔗的数量比第一次少了50kg．
（1）该商家第一次购进云南甘蔗的进价是每千克多少元？
（2）假设商家两次购进的云南甘蔗按同一价格销售，要使销售后获利不低于1000元，则每千克的售价至少为多少元？
【解答】解：（1）设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克x元，
根据题意可知：＝﹣50，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
答：该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克2元；
（2）设每千克的售价为y元，
第一销售了＝300（千克）．
第二次销售了250千克，
根据题意可知：300（y﹣2）+250（y﹣2.4）≥1000，
解得：y≥16，
答：每千克的售价至少为16元．
15．在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要时间比规定时间早25天，乙单独完成这项工程需要时间比规定时间多20天．若由甲乙两队先合作10天，剩下的工程由乙队单独做，正好在规定时间内完成（既没提前，也没延后）．
（1）求规定时间是多少天？
（2）乙队单独施工2天后，甲队开始加入合作，合作时，甲队的人数增加了10%，每个人的效率提高了3a%，同时乙队的人数增加了a%，每个人的效率提高了40%，结果合作20天完成了任务，求a的值（假设每队每人的效率相等）．
【解答】解：（1）设规定时间是x天，则甲队每天完成工程的，乙队每天完成工程的，
依题意得：+＝1，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意．
答：规定时间是70天．
（2）由（1）可知：甲队每天完成工程的＝，乙队每天完成工程的＝．
依题意得：×2+[×（1+10%）（1+3a%）+×（1+40%）（1+a%）]×20＝1，
整理得：1.6a﹣16＝0，
解得：a＝10．
答：a的值为10．
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