(共18张PPT)
3.6 探索规律
《探索规律》选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师大版）七年级上册。
《 字母表示数》这一章是开启整个初中阶段代数学习大门的钥匙， 《探索规律》作为本章的最后一节，是学生初步学习数学符号语言在后面应用的升华。首先要使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型；其次使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
根据学生已有的知识基础和认知特点，将原有的一课时该为两课时，分别从直观形象和抽象符号上进行规律探索（本是第一课时）对教学内容进行了增减，突出数学的生活化。给学生提供更多机会体验学习和探索的“过程”与“经历”，使之拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验。
教材分析：
教学目标：
1、经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过运算验证规律的过程，拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验。
2、会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。
3、培养学生面对挑战勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功体验，激发学生的学习热情。
设计理念：
1、教法
2、学法
教法：
本节课的教学结合具体的教学内容采用“问题情境——建立模型——解释应用和拓展”的模式展开。以问题引导思维，内容的呈现突出以下几个特点：
1. 把知识的学习置于具体的情境中，通过丰富的例子使学生经历从自然语言到符号语言和图表语言的双向交流。关注学生能否用不同的语言表达、交流自己的想法。
2. 通过具有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，使学生初步体会数学建模的思想，激发好奇心和主动学习的欲望。
3. 根据“回想——联想——猜想”的思维过程，对难点进行层层铺垫，使学生经历探索过程与思维升华的过程，感受自我奋斗后成功的喜悦。
学法：
1. 鼓励学生自主探索和合作交流。引导学生自主地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，使学生形成对数学知识和有效的学习策略。
2. 鼓励与提倡解决问题的多样性，引导学生在与他人交流中去选择合适的策略，丰富自己的思维方式，获得成功的体验和不同的发展。
3. 引导学生体会数学知识之间的联系，感受数学的整体性。不断积累解决问题的策略，提高解决问题的能力。
教学重点与难点
重点：利用代数式表示规律
难点：探索规律的方法
教学流程：
一、问题情境
二、建立模型
三、应用解释
四、延伸拓展
五、小结
一、问题情境：
一首永远唱不完的儿歌，你能用字母表示这首儿歌吗？
1 只青蛙1 张嘴，2 只眼睛，4 条腿，1 声扑通跳下水；2 只青蛙2 张嘴，4 只眼睛，8 条腿，2 声扑通跳下水； 3 只青蛙3 张嘴，6 只眼睛，12 条腿，3 声扑通跳下水；
······
N 只青蛙N 张嘴，2N 只眼睛，4N 条腿，N 声扑通跳下水。
说明：以一首富有童趣的儿歌开始，使学生体会到现实生活的规律性，以及用数学式子表示现实规律的可行性与应用性。渗透“利用环境学习”的设计思想。
二、建立模型：
联体长方形的摆法：（填空）
1. 如图，摆N个这样联体图形需 根火柴棒。
2 如图，摆N个这样联体图形需 根火柴棒。
3 如图，摆N个这样联体图形需 根火柴棒。
说明：由学生比较熟悉的联体长方形开始，鼓励学生自主探索，合作交流，经历观察、比较、归纳、提出猜想的过程。以上的三组题目逐层递进。根据图示的颜色区别，帮助学生了解探索规律过程中变量和不变量的不同作用，可以使学生初尝成功的喜悦。通过探索变量和常量的关系，初步建立这一类有规律递增问题的数学模型。
三、应用解释：
1. 标准问题。
餐桌的摆法：（填表）
若按照上图的摆法摆放餐桌和椅子，完成下表：
椅子张数 1 2 3 … N
可坐人数
若按照上图的摆法摆放餐桌和椅子，完成下表：
椅子张数 1 2 3 … N
可坐人数
2. 变式问题。
在桌数相同时，哪一种摆法容纳的人数更多？
3. 探索问题。
若你是一家餐厅的大堂经理，由你负责在一个宽敞明亮的大厅里组织一次规模盛大的西式冷餐会，你会选择哪种餐桌的摆法？
说明：新颖的问题可以立刻吸引学生的注意力，我们需要的是等待学生讨论后的完美答案。
问题2和3之间有一个“问题解决”能力的“最近发展区”，因此要一步步加大题目的开放性，不仅在探索过程中培养了学生的创造能力，也使之对数学的生活化和生活的数学化都有较好的体验。
4. 辅助练习
按规律填空，并用字母表示一般规律：
① 2，4，6，8， ，12，14，…
②2，4，8， ，32，64，…
③1，3，7， ，31，…
四、延伸拓展：
折纸问题：（填表）
① 对折次数与所得单层面积的变化关系表：
对折次数 1 2 3 4 … N
单层面积
② 对折次数与所得层数的变化关系表：
对折次数 1 2 3 4 … N
所得层数
③ 对折次数与所得折痕数的变化关系表：
对折次数 1 2 3 4 … N
折痕条数
说明：简单的道具纸可以使每一位学生都活跃起来，边折，边想，边说，可以充分享受思维带来的快乐。
以上三个问题组由浅入深。问题②③与练习中的数列有类比关系，有助于学生的联想和猜想。由数量关系上直接得出规律后，再由教师指引在实际意义上探索得出规律，从而很好地完成本节课的教学目标。
五、小结：
由学生从以下方面进行总结：
1. 在探索规律中遇到挫折，你会怎么办？
2. 对自己本节课的学习情况进行评价。（包括所学习到的探索规律的一般方法；探索规律过程中哪些量是重要的；探索规律的一般过程等）
根据学生总结写出板书：
总结
结论
猜想
问题
验 证
说明：这是一只求知的眼睛，形象地说明了探索规律的过程：问题——猜想——验证——总结——结论。如果验证不合理则进行重新探索，所以此处是一个往复过程。如果验证合理，则上升到总结并得出结论。
作业：
A组：作业本（略）。
B组（开放性作业）：有人说一张普通的报纸连续对折最多不会超过8次。利用今天在折纸问题中对折次数与单层面积以及所折层数的关系的探索，对这一论点进行论证或反驳。
谢谢各位，
再见！(共9张PPT)
北师大七年级数学课件
复习
1、一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，请用代数式表示这个两位数；
2、如何用代数式表示一个三位数？
3、代数式(1+8%)x可以表示什么？
4、用具体数值代替(1+8%)x中的x，并解释所得代数式值的意义。
5、f的11倍再加上2可以表示为_____.
6、数a的1/8与这个数的和可以表示为_____.
输入 x
×6
－3
输出
输入 x
？
？
输出
6(x-3)
输入 -2 -－ 0 0.26 － － 4.5
左图的输出
右图的输出
1
2
1
3
5
2
这是是一组数值转换机，请大家想一想，做一做。
-15
-6
-3
-1.44
-1
12
24
-30
-21
-18
-16.44
-16
-3
-9
n 1 2 3 4 5 6 7 8
5n+6
n2
填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况：
⑴ 随着n 的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
⑵ 估计一下，哪个代数式的值先超过100？
11
16
21
26
31
36
41
46
1
4
9
16
25
36
49
64
⒈ 人体的血液的质量约占人体体重的6％～7.5％。
⑴ 如果某人体重是a千克，那么他的血液质量大约在什么范围？
⑵ 亮亮体重是35千克，他的血液质量大约在什么范围内？
⑶ 估计你自己的血液质量。
⒉ 物体自由下落的高度 h (米)和下落时间 t (秒)的 关系，在地球上大约是：h＝4.9 t2，在月球上大约是： h＝0.8 t2.
⑴ 填写下表：
⑵ 物体在哪儿下落得快？
⑶ 当h＝20米时，比较物体在地球上在月球上自由下落所需的时间.
t 0 2 4 6 8 10
h＝4.9 t2
h=0.8 t2
0
19.6
78.4
176.4
313.6
490
0
3.2
12.8
28.8
51.2
80
通过表格，估计当h＝20米时，t(地球)≈2(秒)，t(月球)≈5(秒).
⒈ 当a＝－1，－0.5，0，0.5，1，1.5，2时，a2－a是正数还是负数？请估计一下，当|a | ＞2时，估计a2－a是正数还是负数
再 见 碑(共20张PPT)
知识梳理：
字母表示
数量关系或变化关系
运算律
公式，法则
代数式
列代数式
代数式求值
代数式运算
合并同类项、去括号
验证所探索的规律
用语言解释代数式
代数式表示的实际情境或几何背景
(3) 数字通常写在字母前面;
代数式是用基本运算符号把数字、表示数的字母连接起的式子。
注意： 1、 单独一个数或一个字母也是代数式。
2、式子不含“=”、“>”、“<”、“≤”、“≥”
(1) a×b 通常写作 a·b 或 ab ；
（运算符包括加、减、乘、除、乘方）
(2) 1÷a 通常写作 ;
如：a×3通常写作3a
(4)带分数一般写成假分数.
如： ×a 通常写作 a
代数式的规范写法：
像4+3（x-1),x+x+(x+1),a+b,ab,2(m+n),a3等式子都是代数式。
分清哪些是同类项是合并同类项的关键。
合并同类项时注意：
1、同类项合并过程中，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。不是同类项不可以合并。
2、在求代数式的值时，可先合并同类项将代数式化简，然后再代入数值计算，这样往往会简化运算过程。
（1）所含字母相同，
（2）相同字母的指数也相同。
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原来括号里各项的符号都不改变；
括号前是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉后，原来括号里各项的符号都要改变。
去括号法则：
练习：
1、某产品的成本由x元下降10%后是 元。
2、一个长方形的周长为m，宽为a，则该长方形的长为
3、若a+b=4,那么 =
a+b+14
a+b+2
4、若 是同类项，则m= ,n=
5、当x=3,y=1时，代数式 的值是
(1-10%)x
m/2-a
3
1
3/2
10.5
计算：
先化简，再求值：
1.观察一列数：3，8，13，18，23，28，……，
依次规律，在数列中第2004个数是_____.
2、下面一组按规律排列的数：2，4，8，16，
……，第2005个数应是_______.
10018
22005
用火柴棒按下图的方式搭三角形 。
③
②
①
三角形个数 1 2 3 4 5
火柴棒根数
⑴填写下表 ：
⑵照这样的规律搭下去，搭n个 这样的三角形需要多少根火柴棒？
4n+1
5
9
13
17
21
①
②
③
④
做一做：
用棋子摆出下列一组图形：
⑴摆第1个图形用_____枚棋子，摆第2个图形用_____枚棋子，摆第3个图形用______枚棋子；
⑵按照这种方式摆下去，摆第n个图形用_____枚棋子，摆第100个图形用_______枚棋子。
3
6
9
3n
300
选做题：观察下面一组式子：
⑴写出这一组式子所表达的规律；
⑵利用这一规律，计算
章节小结：
字母表示
数量关系或变化关系
运算律
公式，法则
代数式
列代数式
代数式求值
代数式运算
合并同类项、去括号
验证所探索的规律
用语言解释代数式
代数式表示的实际情境或集合背景
作业
1+1 P47-48页
一、填空：
1、a的倒数与b的相反数的差，用代数式表示是______.
2、a、b两数的平方差除a、b两数和的平方，所得商为_______.
3、一个两位数，个位上数字是x，十位上数字是个位数字的两倍，这个两位数是_______.
4、若3x 2m-1 y2与-2xy n-1是同类项，则2m-n= _______.
5、若x+y=6，则2- x-y的值是_______.
6、甲、乙两辆车同时从A、B两地相向而行，甲车速度为v千米/时，乙车速度是甲车的2倍还多2千米，若两车出发后4小时相遇，则A、B两地路程可以表示成__ _____ ；若v=40，则A、B两地路程是_____ 千米.
二、化简：
1、6x2-[x2+（5x2-2x）-2（x2-3x）]；
2、—a2b - [—a2b -（3abc - a2c）- 4a2c ] - 3abc；
3、2（2x-y）-3（2x+y）-8（2x-y）+8（2x+y）
1
2
3
2
三、求代数式3a2b - [2a2b -（2abc - a2c）- 4a2c ] – abc的值，其中a=-2，b=-3，c=1.
四、下列各题去括号对不对？若不对,找出错误，并订正.
1、x-（3a - 2b + c）=x - 3a -2b +c； （ ）
2、-（x - y）+（a - b）=-x + y – a + b；（ ）
3、3 - 2（a-b）= 3 - 2a + b. （ ）
×
×
×
五、1、对于代数式-|x-y|，下列叙述正确的是（ ）
A.x与y差的相反数 B. x与y差的绝对值的倒数 C. x与y差的绝对值 D. x与y差的绝对值的相反 数
2、化简（a + —）-（2a - —）的结果是（ ）
A.-a - — B.-a + — C.3a - — D.a + —
3
1
3
4
4
4
4
1
2
1
4
1
D
B
六、1、按规律填数：
（1）2，7，12，17，（ ），（ ），……
（2）1，2，4，8，16，（ ），（ ），……
2、观察下列算式：22 – 02 =1 ×4，42 – 22 =12=3 ×4，62- 42 =20=5 ×4，82 – 62 =28=7 ×4， ……
（1）第5个等式是_______ _______；
（2）第n个等式是_______ _______.(共16张PPT)
1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水；
2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水；
3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水；
………….
你觉得这首歌唱得完吗？
想一个数
×5
－9
×2
＋18
得到的数的个位数字一定是0
程序加工机
Index
搭1个 正方体需要4根小棒
搭2个正方形需要 根小棒，
搭10个这样的正方形需要多少根小棒？
搭3个正方形需要 根小棒；
7
10
100个呢？自己想一想。你是怎么得到的？
如果要搭x个正方形的话，要多少小棒呢？
skip
1
X个
搭x个正方形就需要[4+3(x-1)]根小棒
2
X个
搭x个正方形就需要[x+x+(x+1)]根小棒
3
X个
搭x个正方形就需要(1+3x)根小棒
4
X个
搭x个正方形就需要[4x-(x-1)]根小棒
如果要搭200个这样的正方形，
需要多少根小棒呢？
4+3(x-1)
x+x+(x+1)
1+3x
4x-(x-1)
字母可以用来表示数的运算定律
字母可以用来计算一些图形的周长
和面积
想一想：你见过或学过哪些用字母
表示的式子？
m
n
p
q
如图：
用字母表示图中的阴影部分的面积
A= x + y + z
成功
艰苦的劳动
正确的方法
少说空话
再 见(共15张PPT)
合并同类项
(一)
-f+5v
2/5a-by3
3x2y-4xy3 -2x+y
一、复习提问：
1、下列代数式分别是哪几项的和？
每项系数分别是什么？
二、新课；
1、同类项定义：
所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项。
几个常数项也叫同类项。
条件：字母相同，相同字母的次数也相同，两者缺一不可。
练习一：说出下列各题的两项是不
是同类项？为什么？
（1）-4x2y与1/4xy2 （ ）
（2）a2b2与-a2b2 （ ）
（3）3.5a2b与1/2a2c （ ）
（4）-64和43 （ ）
（5）0.2x2y与0.2xy2 （ ）
（6）4abc与4ac （ ）
（7）mn与-mn （ ）
（8）-125与12 （ ）
×
×
×
×
√
√
√
√
2、合并同类项:
（1）定义：把同类项合并成一项。
例如：8n+5n=13n,
-7a b+2a b=-5a b
（2）合并法则：
同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
练习二、快速回答：
合并下列各式同类项。
（1）5x+4x =
（2）-7ab+6ab =
（3）-5x-7x =
（4）mn+mn =
（5）-0.7x2y2+0.2x2y2 =
（6）-0.9ac+0.9ac =
9x
-ab
-12x
2mn
-0.5x2y2
0
例2、合并同类项：
(1) 4x2-8x+5-3x2+6x-2
(2) 4a2+3b2+2ab-4a2-3b2
解：(1) 原式= (4-3)x2+(-8+6)x+(5-2)
= x2-2x+3
(2) 原式 = (4-4)a2+(3-3)b2+2ab
= 2ab
注意：代数式中，
（1）标出同类项时，连同符号一起标。
（2）如果有两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，这两项就相互抵消，结果为0。
练习三：求代数式-3x +5x-0.5x +x-1的值，其中x=2，说说你是怎么算的。
解： -3x +5x-0.5x +x-1
=(-3-0.5) x +(5+1)x-1
= -3.5 x +6x-1
当x= 2时，原式= -3.5×2 +6×2-1= -3
随堂练习：
2、求代数式的值：
8p -7q+6q-7p -7,其中p=3,q=3.
答案：-1
练习四、
（1）已知4xmyn与-3x6y2是同类项，则
m= ，n= 。
（2）已知25a6bn-1与53a2mb2是同类项，
则m= ，n= .
（3）-2(x-y )与3(x-y) 是同类项吗？为什么？
4(a+b)与-4(a+b)呢？如果是同类项，
它们的和是多少
2
6
3
3
练习五、训练提高题：
1、合并下列各式的同类项：
（1）、2(a-b)+4(a+b)+3(a+b)-3(a-b)
（2）、3(y-x)2-7(y-x)+8(y-x)2+6(y-x)
2、 已知：-1/2a2x-1b4和7a8b4是同类项，
求代数式(1-x)100(x-59/14)100的值。
3、如果代数式2axmy与5bx2m-3y是关于x、y的代数式，并且它们是同类项
求：（1）(9m-28)101的值；
（2）若2axmy+5bx2m-3y=0，并且
xy≠0, 求(2a+5b)1001的值。
解：由题意得：m=2m-3, m=3,
(9m-28)101=(27-28)101=(-1)101
=-1
三、小结：
1、本节课学习了同类项的定义：
（1）字母相同；
（2）相同字母的指数也相同。
2、合并同类项的概念；
3、合并同类项的法则：
（1）系数相加；
（2）字母及字母的指数不变。
四、作业：
1、 1 、2
2、选做题：
（1） 已知：2a2n-1b与-a3b|m|是
同类项，求m、n；
（2） 当x= -3时,
求:5x2+4-3x2-5x- 2x2-5+6x的值。
（3） 已知：|a+2|=0,求代数式
-5(a+1)2n+7(a+2)n+1-3(a+3)2n+1的
值（其中n为正整数） 。(共10张PPT)
引 例
1）一只青蛙一张嘴，二只眼睛四条腿，一声扑通跳下水
二只青蛙二张嘴，四只眼睛八条腿，二声扑通跳下水
………..
你能否用字母表示这首儿歌？
2）
按以上方式摆正方形，第n个图形需要
多少根火柴棒？
1 2 3
3）课本的长为a厘米，宽为b厘米，它
的周长和面积是多少
一辆小汽车用t秒行驶了s米，则
它的行驶速度是多少
像a+b、2（m+n）、ab、x+x+(x+1) 、
等式子都是代数式
单独的一个数或一个字母也是代数式
3.2 代 数 式
学习目标：
1）在具体情景中，进一步理解字母表示数
的意义
2）能理解一些简单代数式的实际背景或几
何意义，发展符号感。
3）在具体情景中，能求出代数式的值，并
理解它的实际意义
例1：在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数
与温度之间有如下的近似关系：用蟋蟀
1分钟叫的次数除以7，然后再加上3，就
近似地得到该地当时的温度.
1)用代数式表示该地当时的温度;
2)当蟋蟀1分钟叫的次数分别是80，100，
和120时，该地当时的温度约是多少？
问题
解：1）用c表示蟋蟀1分钟叫的次数，则该地的温
度为
2) 把c = 80, 100, 和120 分别代入
得
答:当蟋蟀1分叫的次数分别是80，100，和120时，该地当时的温度约是
该地当时的温度大约分别是14
，
如图:这棵树的高度是1.2米,在某时刻测得它影子
的长度是2米，此时这棵树的高度是它影子的多少倍？
如果用L表示物体影子的长度，如何用代数式表
示此时此地物体的高度？
该地某建筑物的影长为5.5米，那么此时它的高
度是多少？
一个旅游团有成人x人，学生y人，那么
该旅游团应付多少门票费？
若该旅游团有成人37人，学生15人，那么
该旅游团应付多少门票费？
售票处
成 人 票 价 10 元
学 生 票 价 5 元
1）甲种日记本每本x元，乙种日记本每本y元，
用代数式表示购买10本甲种日记本和5本乙
种日记本的总钱数是多少？
2）甲乙两人加工同一种产品，甲每天加工x
只产品，乙每天加工y只产品，甲加工了
10天，乙加工了5天，试用代数式表示加
工产品的总数？
1、代数式6P可以表示什么？
2、一个两位数的个位数字是a，十位数字
是b,请用代数式表示这个两位数；
通过本节课的学习你对代数式有了哪些认识
小结(共16张PPT)
做一做
a b c a+（－b+c） a－b+c
5 2 －1
－6 －4 3
2
2
1
1
你发现了什么？
a b c a-（-b+c） a+b-c
5 2 -1
-6 -4 3
8
8
-13
-13
把你的高见与同桌交流一下！
a b c a+（-b+c） a-b+c
5 2 -1
-6 -4 3
a b c a-（-b+c） a+b-c
5 2 -1
-6 -4 3
学会归纳
2
2
1
1
8
8
-13
-13
a+（－b+c）=a－b+c.
去括号法则
括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不改变.
a－(－b+c）=a+b－c.
去括号法则
括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都改变.
（2）x+2y－（－2x－y）
例1.计算：
（1） 4a－ (3a+4b）
解：(1) 原式=４a-3a-4b
(2)原式=x+2y+2x+y
例题精讲
=a-4b
=3x+3y
例２：计算
(1) 3(2xy-y)-2xy
(2) -6m-3(4-2m)
解：原式＝6xy-3y-2xy
=4xy-3y
原式＝－６m-12+6m
= -6m+6m-12
= -12
（1）a+2（－b+c）= a－2b+c（ ）
（2）a－2（－b－c）=a－2b－2c（ ）
×
×
漏乘系数
漏变符号
注：
（１）当括号前是“－”号时，去掉后括号内的各项都要改变符号．
（２）若括号前有数字因数时，应先利用乘法分配律先将该数与括号内的没一项相乘再去括号，以免发生错误．
1.下列各式一定能成立吗？
3(x+8)=3x+8; 7x2 -(2x2+6)= 5x2 -6;
3(x+8)=3x+24; a-2(b-c)=a-2b-2c;
-(a-b-c)=a-b-c; 6x+5=6(x+5);
-(a-b-c)=-a+b+c. 2-3x=-(3x-2).
随堂练习
随堂练习
比一比，看哪个小组快又准 ！
（1）(x+1)+(3x-2)
（2）(2a+b)-(3a+2b)
（4）4(x-2)-2(x+3)
（3）(3x-2)-(5x-1)
2 、化 简下列各式：（带★的为选做）
★（5）9a－{3a－[4a－(7a－3)]}
引入
教学小结
1.本节课你学到了什么？
2.你认为去括号最容易出错
的地方有哪些？
