2021-2022学年北师版数学九年级下册《第三章 圆》单元检测A卷
一、单选题
1．（2021·武威）如图，点 在 上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海）如图，已知长方形 中， ，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点 与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
3．（2021·泰安）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
4．（2021·贵港）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是 的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
5．（2021·黄石）如图， 、 是 上的两点， ， 交 于点 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·内江）如图， 是 的外接圆， ，若 的半径 为2，则弦 的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
7．（2021·贵州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝ ，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的☉O交AB于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．5
8．（2021·荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2021·娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙ 与直线 只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·贺州）如图，在 中， ， ，点 在 上， ，以 为半径的 与 相切于点 ，交 于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．1
11．（2021·绍兴）如图，正方形ABCD内接于 ，点P在 上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·广元）如图，在边长为2的正方形 中， 是以 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
13．（2021·青海）点 是非圆上一点，若点 到 上的点的最小距离是 ，最大距离是 ，则 的半径是 ．
14．（2020·凉山州）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为 ，则半圆的半径OA的长为 ．
15．（2021·宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在 上，边AB、AC分别交 于D、E两点﹐点B是 的中点，则∠ABE= .
16．（2021·贵州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在园的半径为 cm.
17．（2021·泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B.若∠APB＝30°，则点P的坐标为 .
18．（2021·河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 ， ， 均在小正方形的顶点上，且点 ， 在 上， ，则 的长为 .
三、解答题
19．（2021·湘西）如图，
为⊙
的直径，
为⊙O上一点，
和过点
的切线互相垂直，垂足为
.
（1）求证：
平分
；
（2）若
，
，求：边
及
的长.
20．（2021·贵州）如图，PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交☉O于点B.
（1）求证：PB是☉O的切线；
（2）若AB＝6， ，求PO的长.
21．（2021·资阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F.
（1）
求证：DE是⊙O的切线；
（2）
若AC＝6，tanE＝ ，求AF的长.
22．（2021·南县）如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G.
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE EG.
23．（2021·安顺）如图，在
中，AC为
的直径， AB为
的弦，点 E 是
的中点，过点 E 作 AB 的垂线，交 AB 于点 M ，交
于点 N ，分别连接 EB ， CN .
（1） 与
的数量关系是 ；
（2）求证：
；
（3）若
，
，求阴影部分图形的面积.
24．（2021·宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝ ，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE.求sin∠DBE的值.
25．（2021·江西）如图1，四边形 内接于 ， 为直径，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 是 的切线， ，连接 ，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与 围成阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解： 点 在 上， ，
故答案为：D
【分析】在 上，由得出从而可得，据此即得结论.
2．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】
∵圆A与圆B内切， ，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5
∵ <5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上
故答案为：C
【分析】根据两圆内切，可得圆A的半径为5，由点与圆的位置关系可得点D在圆A内，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=5，利用点与圆的位置关系可得点C在圆A上，据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
如图所示，连接DG和AD
∵BC为圆的切线
∴AD⊥BC
∵AD=AE，∠CDE=18°，∠ADC=90°
∴∠ADE=∠AED=90°-18°=72°
∴∠DAC=180°-72°-72°=36°
∵AB=6，AG=3
∴G为AB的中点
∴GD为直角三角形ABD斜边AB上的中线
∴GD=AG=AD
∴△AGD为等边三角形
∴∠GAD=60°
∴∠GAC=60°+36°=96°
∴∠GFE=96°÷2=48°
故答案为：B.
【分析】根据题意，由切线的性质结合圆的半径相等，计算得到∠DAC的度数，继而由直角三角形斜边上的中线的性质，证明△AGD为等边三角形，由等边三角形的性质求出∠GAD，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得到∠GFE的度数。
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，
，
，
点 关于 对称的点为 ，
，
，
点 是 的中点，
，
，
， ，
， ，
直径 ，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，根据圆内接四边形对角互补求出∠DAE=80°，根据轴对称的性质及圆周角定理，可得，由点是 的中点，可得从而可得，根据等腰三角形的性质及直角三角形的性质求解即可.
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形，
∵
∴
∴
故答案为：C
【分析】利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△AOB是等边三角形，利用垂径定理及圆周角定理可求出∠BOF的度数，然后利用圆周角定理可求出∠BAF的度数.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点 作 ，交 于点 ，
是 的外接圆， ，
，
又 ， ，
， ，
在 中， ，
， ，
，
故答案为：B.
【分析】过点O作OM⊥BC于点M，利用圆周角定理可求出∠AOC的度数，利用等腰三角形的性质可求出∠COM的度数，利用垂径定理可证得MB=MC，利用勾股定理求出OM，CM的长；然后根据BC=2CM，代入计算求出BC的长.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中， ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AB=10，由 为 的直径，可得，根据，即可求出CD.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解： PA，PB是⊙O的切线，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得PA=PB，利用等边对等角可得，利用三角形内角和求出∠PBA=55°，根据垂直的定义可得∠OBP=90°，利用∠ABO=∠OBP-∠PBA即可求出结论.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如下图所示，连接 ，过 点作 ，
此时 点坐标可表示为 ，
∴ ， ，
在 中， ，
又∵ 半径为5，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为 ，
故答案为：D.
【分析】连接 ，过 点作 ，此时 点坐标可表示为 ，从而求出OC、BC、OB，证明 ，可得，代入相应数据可求出OA，由于左右两侧都有相切的可能，据此求出点A坐标.
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接OD，EF，
∵ 与 相切于点 ，BF是 的直径，
∴OD⊥AC，FE⊥BC，
∵ ，
∴OD∥BC，EF∥AC，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=2×2=4，
∴ ， ，
∴BC= ，BE= ，
∴CE= - = .
故答案为：B.
【分析】连接OD，EF，先证明OD∥BC，EF∥AC，利用平行线分线段成比例可得 ， ，据此求出BC、BE，利用CE=BC-BE计算即得结论.
11．【答案】B
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，OC，如图，
∵正方形ABCD内接于 ，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可知∠BOC为90°，然后根据同圆中圆周角和圆心角的关系求∠P即可.
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵ 是以 为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】设AE与⊙O的相切的切点为F， 由切线的性质可得EC=EF、AB=AF，设CE=x，则AE=2+x，DE=2-x，由勾股定理可得CE的长度，由扇形的面积公式和三角形面积公式可得结果.
13．【答案】6.5cm或2.5cm
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】设 的半径为
当点 在 外时，根据题意得：
∴
当点 在 内时，根据题意得：
∴
故答案为：6.5cm或2.5cm
【分析】分类讨论，计算求解即可。
14．【答案】3
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接
点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，
为等边三角形，
解得： （负根舍去），
故答案为：3
【分析】如图，连接 证明 再证明 从而可以列方程求解半径．
15．【答案】13°
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接
是 的中点，
故答案为：
【分析】 连接 由 ∠ABC=90°可得CD一定经过圆心O，由B是 的中点可得 可得△BCD为等腰直角三角形，根据同弧所对圆周角相等可得由三角形外角性质可得∠A+∠ACD=∠CDB=45°可得结果.
16．【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】如图，
连接OA，
∵CD是弦AB的垂直平分线，
∴ ，
设圆的半径是r.在直角△ADO中， .
根据勾股定理得， ，
∴
故答案为：4
【分析】连接OA，有垂径定理可得，设圆的半径是r.在直角△ADO中， AO=r，，由勾股定理得 ，解出r值即可.
17．【答案】（0，11）
【知识点】点的坐标；勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】如下图所示，连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，
∵PB与⊙A相切于点B
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，AB⊥PB，
∴PA=2AB= .
∵
∴四边形ACOD是矩形，
点A的坐标为（8，5），
所以AC=OD=8，CO=AD=5，
在 中， .
如图，当点P在C点上方时，
∴ ，
∴点P的坐标为（0，11）.
【分析】连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，可证四边形ACOD是矩形，由点A（8，5），可得AC=OD=8，CO=AD=5，利用勾股定理可求出PC=6，当点P在C点上方时，由OP=OC+CP计算即可.
18．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为 的圆心O，
从图中可得： 的半径为OB=5，
连接OC，
∵∠BAC=22.5°，
∴∠BOC=2 22.5°=45°，
的长为 .
故答案为：
【分析】连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为的圆心O，根据已知条件结合圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式计算即可.
19．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴ ，
∵AD⊥CD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分
（2）解：连接BC，如图所示：
由（1）可得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为⊙ 的直径，
∴ ，
∴
【知识点】平行线的性质；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【分析】（1） 连接OC，根据切线的性质及AD⊥CD，可求出 ，结合OA=OC，可得，即可求出结论；
（2）连接BC，由（1）知，即得
，据此求出CD，利用勾股定理求出AC，由
为⊙
的直径，可得
， 可得
，从而求出AB.
20．【答案】（1）证明：连接OB，
∵PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，
∴∠PAO＝ ，
∵OA＝OB，AB⊥OP，
∴∠POA＝∠POB，
又OP＝OP，
∴△PAO △PBO ，
∴∠PBO＝∠PAO＝ ，
即OB⊥PB，
∴PB是☉O的切线
（2）解：设OP与AB交于点D.
∵AB⊥OP，AB＝6，
∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝ ，
∵ ，
∴PA＝5，∴PD＝ ，
在Rt△APD和Rt△APO中，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OB， 由切线的性质可得∠PAO＝ ，证明△PAO △PBO ，可得∠PBO＝∠PAO＝ ，根据切线的判定定理即证；
（2）设OP与AB交于点D. 由垂径定理可得DA＝DB＝3∠PDA＝∠PDB＝ ，由cos∠PAB
，可求出PA=5，利用勾股定理求出PD=4，由，可得 ，据此即可求出结论.
21．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴AC∥OD，
∴∠DFC＝∠ODF，
∵DE⊥AC，
∴∠DFC＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AC＝6＝AB，
∴AO＝OB＝3＝OD，
∵OD⊥DE，tanE＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝4，
∴OE＝ ＝ ＝5，
∴AE＝OE﹣OA＝2，
∵AC∥OD，
∴△AEF∽△OED，
∴ ，
∴ ，
∴AF＝ .
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）连接OD，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠ODB，则∠ODB＝∠ACB，推出AC∥OD，得到∠DFC＝∠ODF，由垂直的概念可得∠DFC＝∠ODF＝90°，据此证明；
（2）由已知条件可得AO=OB=OD=3，根据∠B的正切函数可得DE的值，由勾股定理可得OE的值，进而求得AE的值，根据AC∥OD可得△AEF∽△OED，然后根据相似三角形的性质求解即可.
22．【答案】（1）解：EA平分∠DEF，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB
∵∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠AEF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴EA平分∠DEF
（2）证明：①由（1）知：EA平分∠DEF，
∵BD⊥AC，AF⊥CE，
∴AD＝AF，
在Rt△ABD和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL），
∴BD＝CF，
②由△ADE≌△AFE可知：DE＝FE，
∴BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BE（CF﹣EF）＝BE CE，
∵∠BAE+∠BCE＝180°，∠BCE+∠ECG＝180°，
∴∠BAE＝∠ECG，
∴△AEB∽△CEG，
∴ ，
∴BE CE＝AE EG，
∴BD2﹣DE2＝AE EG，
即BD2＝DE2+AE EG.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，由圆周角定理可得∠ACB＝∠AEB，则∠ABC＝∠AEB，根据同角的补角相等可得∠ABC＝∠AEF，推出∠AEB＝∠AEF，据此判断；
（2）①由（1）知：EA平分∠DEF，根据角平分线的性质可得AD＝AF，证明Rt△ABD≌Rt△ACF，据此可得结论；
②由全等三角形的性质可得DE＝FE，则BD2-DE2＝(BD+DE)(BD-DE)＝BE·CE，根据等角的补角相等可得∠BAE＝∠ECG，证明△AEB∽△CEG，由相似三角形的性质可得BE·CE＝AE·EG，据此证明.
23．【答案】（1）
（2）证明：连接 ，
∵ 是 的直径， 是 的中点，
∴ ，∴ ，
∵ ，垂足为点 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ .
（3）解：连接 ， ， ，
∵ ，垂足为点 ，∴ ，
∵ ，由（2）得 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ≌ ，
又∵ ， ，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）连接
，
∵ 是
的直径，
是
的中点，
∴ ，∴ ，
∵ ，垂足为点
，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
故答案为：
.
【分析】（1）连接
，证明
是等腰直角三角形，可得
；
（2）连接 ，根据圆周角定理可得， 进而证得
，
可得 ，利用已知可得 ，从而求出 ；
（3）先求出∠EAB=30°，从而求出∠EOB=60°，可证是等边三角形，可得 ，再证 ≌ ，由 ，利用扇形及三角形的面积公式计算即可.
24．【答案】（1）解：CD与⊙O相切，理由：
如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADO＋∠ODB＝90°，
∴∠CDA＋∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切
（2）解：由（1）知，∠CBD＝∠ADC，
∵tan∠ADC＝ ，
∴tan∠CBD＝ ，
在Rt△ADB中，tan∠CBD＝ ＝ ，
∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴ ，
∴CD＝2CA＝4，
∴CB＝2CD＝8，
∴AB＝CB CA＝8 2＝6，
∴OA＝OB＝ AB＝3
（3）解：如图2，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，
∴BE＝ =3 ，
在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2＝62，
∵ ＝ ，
∴AD＝ ，BD＝ ，
∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，
∴∠DEG＝∠BDE＝45°，
∴DG＝EG，
设DG＝EG＝x，则BG＝BD DG＝ x，
在Rt△BEG中，EG2＋BG2＝BE2＝（3 ）2＝18，
∴x2＋（ x）2＝18，
∴x＝ 或x＝ （舍），
∴EG＝ ，
∴sin∠DBE＝
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质结合已知条件可得∠CDA＝∠ODB，由圆周角定理可得∠ADB＝90°，推出∠CDO＝90°，据此判断；
（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，则tan∠ADC=tan∠CBD＝，证明△CAD∽△CDB，由相似三角形的性质可得CD、CB的值，进而求出AB、OA的值；
（3）连接OE，过点E作EG⊥BD于G，由角平分线的概念可得∠ADE＝∠BDE＝45°，则∠BOE＝90°，由勾股定理求出BE、AD、BD的值，设DG＝EG＝x，则BG＝ x，然后在Rt△BEG中，应用勾股定理求出x的值，进而得到sin∠DBE的值.
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC= ，
∵∠EBC+∠ABC= ，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD= ，
∴∠D+∠CAD= ，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC= ，
∴∠CAD=∠ECB
（2）解：①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E= ，
∴∠OCE+∠E=18 ，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD= AD=2，AC=2 ，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF= ，
∴ ，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴ ，
∴阴影部分的面积为
【知识点】菱形的判定；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）先求出 ∠D=∠EBC， 再求出 ∠ECB+∠EBC= ， 最后证明求解即可；
（2）①先求出 ∠OCE=∠E= ， 再求出四边形ABCO是平行四边形， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
②先求出 AO=AB=2，AD=4， 再利用三角形的面积公式和扇形的面积公式计算求解即可。
1 / 12021-2022学年北师版数学九年级下册《第三章 圆》单元检测A卷
一、单选题
1．（2021·武威）如图，点 在 上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解： 点 在 上， ，
故答案为：D
【分析】在 上，由得出从而可得，据此即得结论.
2．（2021·上海）如图，已知长方形 中， ，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点 与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】
∵圆A与圆B内切， ，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5
∵ <5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上
故答案为：C
【分析】根据两圆内切，可得圆A的半径为5，由点与圆的位置关系可得点D在圆A内，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=5，利用点与圆的位置关系可得点C在圆A上，据此判断即可.
3．（2021·泰安）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
如图所示，连接DG和AD
∵BC为圆的切线
∴AD⊥BC
∵AD=AE，∠CDE=18°，∠ADC=90°
∴∠ADE=∠AED=90°-18°=72°
∴∠DAC=180°-72°-72°=36°
∵AB=6，AG=3
∴G为AB的中点
∴GD为直角三角形ABD斜边AB上的中线
∴GD=AG=AD
∴△AGD为等边三角形
∴∠GAD=60°
∴∠GAC=60°+36°=96°
∴∠GFE=96°÷2=48°
故答案为：B.
【分析】根据题意，由切线的性质结合圆的半径相等，计算得到∠DAC的度数，继而由直角三角形斜边上的中线的性质，证明△AGD为等边三角形，由等边三角形的性质求出∠GAD，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得到∠GFE的度数。
4．（2021·贵港）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是 的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，
，
，
点 关于 对称的点为 ，
，
，
点 是 的中点，
，
，
， ，
， ，
直径 ，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，根据圆内接四边形对角互补求出∠DAE=80°，根据轴对称的性质及圆周角定理，可得，由点是 的中点，可得从而可得，根据等腰三角形的性质及直角三角形的性质求解即可.
5．（2021·黄石）如图， 、 是 上的两点， ， 交 于点 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形，
∵
∴
∴
故答案为：C
【分析】利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△AOB是等边三角形，利用垂径定理及圆周角定理可求出∠BOF的度数，然后利用圆周角定理可求出∠BAF的度数.
6．（2021·内江）如图， 是 的外接圆， ，若 的半径 为2，则弦 的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点 作 ，交 于点 ，
是 的外接圆， ，
，
又 ， ，
， ，
在 中， ，
， ，
，
故答案为：B.
【分析】过点O作OM⊥BC于点M，利用圆周角定理可求出∠AOC的度数，利用等腰三角形的性质可求出∠COM的度数，利用垂径定理可证得MB=MC，利用勾股定理求出OM，CM的长；然后根据BC=2CM，代入计算求出BC的长.
7．（2021·贵州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝ ，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的☉O交AB于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中， ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AB=10，由 为 的直径，可得，根据，即可求出CD.
8．（2021·荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解： PA，PB是⊙O的切线，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得PA=PB，利用等边对等角可得，利用三角形内角和求出∠PBA=55°，根据垂直的定义可得∠OBP=90°，利用∠ABO=∠OBP-∠PBA即可求出结论.
9．（2021·娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙ 与直线 只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如下图所示，连接 ，过 点作 ，
此时 点坐标可表示为 ，
∴ ， ，
在 中， ，
又∵ 半径为5，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为 ，
故答案为：D.
【分析】连接 ，过 点作 ，此时 点坐标可表示为 ，从而求出OC、BC、OB，证明 ，可得，代入相应数据可求出OA，由于左右两侧都有相切的可能，据此求出点A坐标.
10．（2021·贺州）如图，在 中， ， ，点 在 上， ，以 为半径的 与 相切于点 ，交 于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接OD，EF，
∵ 与 相切于点 ，BF是 的直径，
∴OD⊥AC，FE⊥BC，
∵ ，
∴OD∥BC，EF∥AC，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=2×2=4，
∴ ， ，
∴BC= ，BE= ，
∴CE= - = .
故答案为：B.
【分析】连接OD，EF，先证明OD∥BC，EF∥AC，利用平行线分线段成比例可得 ， ，据此求出BC、BE，利用CE=BC-BE计算即得结论.
11．（2021·绍兴）如图，正方形ABCD内接于 ，点P在 上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，OC，如图，
∵正方形ABCD内接于 ，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可知∠BOC为90°，然后根据同圆中圆周角和圆心角的关系求∠P即可.
12．（2021·广元）如图，在边长为2的正方形 中， 是以 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵ 是以 为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】设AE与⊙O的相切的切点为F， 由切线的性质可得EC=EF、AB=AF，设CE=x，则AE=2+x，DE=2-x，由勾股定理可得CE的长度，由扇形的面积公式和三角形面积公式可得结果.
二、填空题
13．（2021·青海）点 是非圆上一点，若点 到 上的点的最小距离是 ，最大距离是 ，则 的半径是 ．
【答案】6.5cm或2.5cm
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】设 的半径为
当点 在 外时，根据题意得：
∴
当点 在 内时，根据题意得：
∴
故答案为：6.5cm或2.5cm
【分析】分类讨论，计算求解即可。
14．（2020·凉山州）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为 ，则半圆的半径OA的长为 ．
【答案】3
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接
点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，
为等边三角形，
解得： （负根舍去），
故答案为：3
【分析】如图，连接 证明 再证明 从而可以列方程求解半径．
15．（2021·宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在 上，边AB、AC分别交 于D、E两点﹐点B是 的中点，则∠ABE= .
【答案】13°
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接
是 的中点，
故答案为：
【分析】 连接 由 ∠ABC=90°可得CD一定经过圆心O，由B是 的中点可得 可得△BCD为等腰直角三角形，根据同弧所对圆周角相等可得由三角形外角性质可得∠A+∠ACD=∠CDB=45°可得结果.
16．（2021·贵州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在园的半径为 cm.
【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】如图，
连接OA，
∵CD是弦AB的垂直平分线，
∴ ，
设圆的半径是r.在直角△ADO中， .
根据勾股定理得， ，
∴
故答案为：4
【分析】连接OA，有垂径定理可得，设圆的半径是r.在直角△ADO中， AO=r，，由勾股定理得 ，解出r值即可.
17．（2021·泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B.若∠APB＝30°，则点P的坐标为 .
【答案】（0，11）
【知识点】点的坐标；勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】如下图所示，连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，
∵PB与⊙A相切于点B
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，AB⊥PB，
∴PA=2AB= .
∵
∴四边形ACOD是矩形，
点A的坐标为（8，5），
所以AC=OD=8，CO=AD=5，
在 中， .
如图，当点P在C点上方时，
∴ ，
∴点P的坐标为（0，11）.
【分析】连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，可证四边形ACOD是矩形，由点A（8，5），可得AC=OD=8，CO=AD=5，利用勾股定理可求出PC=6，当点P在C点上方时，由OP=OC+CP计算即可.
18．（2021·河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 ， ， 均在小正方形的顶点上，且点 ， 在 上， ，则 的长为 .
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为 的圆心O，
从图中可得： 的半径为OB=5，
连接OC，
∵∠BAC=22.5°，
∴∠BOC=2 22.5°=45°，
的长为 .
故答案为：
【分析】连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为的圆心O，根据已知条件结合圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式计算即可.
三、解答题
19．（2021·湘西）如图，
为⊙
的直径，
为⊙O上一点，
和过点
的切线互相垂直，垂足为
.
（1）求证：
平分
；
（2）若
，
，求：边
及
的长.
【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴ ，
∵AD⊥CD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分
（2）解：连接BC，如图所示：
由（1）可得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为⊙ 的直径，
∴ ，
∴
【知识点】平行线的性质；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【分析】（1） 连接OC，根据切线的性质及AD⊥CD，可求出 ，结合OA=OC，可得，即可求出结论；
（2）连接BC，由（1）知，即得
，据此求出CD，利用勾股定理求出AC，由
为⊙
的直径，可得
， 可得
，从而求出AB.
20．（2021·贵州）如图，PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交☉O于点B.
（1）求证：PB是☉O的切线；
（2）若AB＝6， ，求PO的长.
【答案】（1）证明：连接OB，
∵PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，
∴∠PAO＝ ，
∵OA＝OB，AB⊥OP，
∴∠POA＝∠POB，
又OP＝OP，
∴△PAO △PBO ，
∴∠PBO＝∠PAO＝ ，
即OB⊥PB，
∴PB是☉O的切线
（2）解：设OP与AB交于点D.
∵AB⊥OP，AB＝6，
∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝ ，
∵ ，
∴PA＝5，∴PD＝ ，
在Rt△APD和Rt△APO中，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OB， 由切线的性质可得∠PAO＝ ，证明△PAO △PBO ，可得∠PBO＝∠PAO＝ ，根据切线的判定定理即证；
（2）设OP与AB交于点D. 由垂径定理可得DA＝DB＝3∠PDA＝∠PDB＝ ，由cos∠PAB
，可求出PA=5，利用勾股定理求出PD=4，由，可得 ，据此即可求出结论.
21．（2021·资阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F.
（1）
求证：DE是⊙O的切线；
（2）
若AC＝6，tanE＝ ，求AF的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴AC∥OD，
∴∠DFC＝∠ODF，
∵DE⊥AC，
∴∠DFC＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AC＝6＝AB，
∴AO＝OB＝3＝OD，
∵OD⊥DE，tanE＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝4，
∴OE＝ ＝ ＝5，
∴AE＝OE﹣OA＝2，
∵AC∥OD，
∴△AEF∽△OED，
∴ ，
∴ ，
∴AF＝ .
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）连接OD，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠ODB，则∠ODB＝∠ACB，推出AC∥OD，得到∠DFC＝∠ODF，由垂直的概念可得∠DFC＝∠ODF＝90°，据此证明；
（2）由已知条件可得AO=OB=OD=3，根据∠B的正切函数可得DE的值，由勾股定理可得OE的值，进而求得AE的值，根据AC∥OD可得△AEF∽△OED，然后根据相似三角形的性质求解即可.
22．（2021·南县）如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G.
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE EG.
【答案】（1）解：EA平分∠DEF，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB
∵∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠AEF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴EA平分∠DEF
（2）证明：①由（1）知：EA平分∠DEF，
∵BD⊥AC，AF⊥CE，
∴AD＝AF，
在Rt△ABD和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL），
∴BD＝CF，
②由△ADE≌△AFE可知：DE＝FE，
∴BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BE（CF﹣EF）＝BE CE，
∵∠BAE+∠BCE＝180°，∠BCE+∠ECG＝180°，
∴∠BAE＝∠ECG，
∴△AEB∽△CEG，
∴ ，
∴BE CE＝AE EG，
∴BD2﹣DE2＝AE EG，
即BD2＝DE2+AE EG.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，由圆周角定理可得∠ACB＝∠AEB，则∠ABC＝∠AEB，根据同角的补角相等可得∠ABC＝∠AEF，推出∠AEB＝∠AEF，据此判断；
（2）①由（1）知：EA平分∠DEF，根据角平分线的性质可得AD＝AF，证明Rt△ABD≌Rt△ACF，据此可得结论；
②由全等三角形的性质可得DE＝FE，则BD2-DE2＝(BD+DE)(BD-DE)＝BE·CE，根据等角的补角相等可得∠BAE＝∠ECG，证明△AEB∽△CEG，由相似三角形的性质可得BE·CE＝AE·EG，据此证明.
23．（2021·安顺）如图，在
中，AC为
的直径， AB为
的弦，点 E 是
的中点，过点 E 作 AB 的垂线，交 AB 于点 M ，交
于点 N ，分别连接 EB ， CN .
（1） 与
的数量关系是 ；
（2）求证：
；
（3）若
，
，求阴影部分图形的面积.
【答案】（1）
（2）证明：连接 ，
∵ 是 的直径， 是 的中点，
∴ ，∴ ，
∵ ，垂足为点 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ .
（3）解：连接 ， ， ，
∵ ，垂足为点 ，∴ ，
∵ ，由（2）得 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ≌ ，
又∵ ， ，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）连接
，
∵ 是
的直径，
是
的中点，
∴ ，∴ ，
∵ ，垂足为点
，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
故答案为：
.
【分析】（1）连接
，证明
是等腰直角三角形，可得
；
（2）连接 ，根据圆周角定理可得， 进而证得
，
可得 ，利用已知可得 ，从而求出 ；
（3）先求出∠EAB=30°，从而求出∠EOB=60°，可证是等边三角形，可得 ，再证 ≌ ，由 ，利用扇形及三角形的面积公式计算即可.
24．（2021·宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝ ，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE.求sin∠DBE的值.
【答案】（1）解：CD与⊙O相切，理由：
如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADO＋∠ODB＝90°，
∴∠CDA＋∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切
（2）解：由（1）知，∠CBD＝∠ADC，
∵tan∠ADC＝ ，
∴tan∠CBD＝ ，
在Rt△ADB中，tan∠CBD＝ ＝ ，
∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴ ，
∴CD＝2CA＝4，
∴CB＝2CD＝8，
∴AB＝CB CA＝8 2＝6，
∴OA＝OB＝ AB＝3
（3）解：如图2，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，
∴BE＝ =3 ，
在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2＝62，
∵ ＝ ，
∴AD＝ ，BD＝ ，
∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，
∴∠DEG＝∠BDE＝45°，
∴DG＝EG，
设DG＝EG＝x，则BG＝BD DG＝ x，
在Rt△BEG中，EG2＋BG2＝BE2＝（3 ）2＝18，
∴x2＋（ x）2＝18，
∴x＝ 或x＝ （舍），
∴EG＝ ，
∴sin∠DBE＝
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质结合已知条件可得∠CDA＝∠ODB，由圆周角定理可得∠ADB＝90°，推出∠CDO＝90°，据此判断；
（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，则tan∠ADC=tan∠CBD＝，证明△CAD∽△CDB，由相似三角形的性质可得CD、CB的值，进而求出AB、OA的值；
（3）连接OE，过点E作EG⊥BD于G，由角平分线的概念可得∠ADE＝∠BDE＝45°，则∠BOE＝90°，由勾股定理求出BE、AD、BD的值，设DG＝EG＝x，则BG＝ x，然后在Rt△BEG中，应用勾股定理求出x的值，进而得到sin∠DBE的值.
25．（2021·江西）如图1，四边形 内接于 ， 为直径，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 是 的切线， ，连接 ，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与 围成阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC= ，
∵∠EBC+∠ABC= ，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD= ，
∴∠D+∠CAD= ，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC= ，
∴∠CAD=∠ECB
（2）解：①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E= ，
∴∠OCE+∠E=18 ，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD= AD=2，AC=2 ，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF= ，
∴ ，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴ ，
∴阴影部分的面积为
【知识点】菱形的判定；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）先求出 ∠D=∠EBC， 再求出 ∠ECB+∠EBC= ， 最后证明求解即可；
（2）①先求出 ∠OCE=∠E= ， 再求出四边形ABCO是平行四边形， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
②先求出 AO=AB=2，AD=4， 再利用三角形的面积公式和扇形的面积公式计算求解即可。
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