2021-2022学年北师版数学九年级下册《第三章 圆》单元检测B卷
一、单选题
1．（2021·嘉兴）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵r=2，∴OA=3>r，∴A点在圆外，
∵OB=2=r，∴B点在圆上，
∴当OB⊥AB时，AB与 ⊙O 相切，当OB与AB不垂直时，AB与 ⊙O相交，
故答案为：D.
【分析】先根据点与圆的位置关系判断出A在圆外，B在圆上，然后根据直线与圆的位置关系分两种情况分析即可.
2．（2021·柳州）往水平放置的半径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度 ，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB= AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，由垂径定理可得AC=CB= AB=12，然后在Rt△AOC中，由勾股定理可求得OC的值，最后根据CD=OD-OC进行计算.
3．（2021·巴中）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E，
∵C是弧AB的中点，AB=6，
∴OC⊥AB，AE=BE=3，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∵OC⊥AB，
∴ ， ，
∴
∴
∴圆心O到弦AB的距离为 ，
故答案为：C.
【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，易得OC⊥AB，AE=BE=3，由圆周角定理可得∠AOC=2∠ADC=60°，推出△OAC是等边三角形，由等边三角形的性质以及勾股定理可得OE的值，据此解答.
4．（2021·西藏）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交 O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）
A．40° B．55° C．70° D．110°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA ，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA （180°﹣70°）＝55°，
故答案为：B.
【分析】连接OB，OC，由圆周角定理可得∠BOC＝2∠D＝140°，由等腰三角形的性质可得∠COA的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解.
5．（2021·遵义）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC.若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于H.
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ，
∴OC＝ AB＝ ，
∵ ＝ AB CH＝ AC BC，
∴CH＝ ，
∴sin∠BOC＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】过点C作CH⊥AB于H，利用圆周角定理可证得∠ACB=90°，利用勾股定理求出AB的长，即可得到OC的长；利用直角三角形的两个面积公式可求出CH的长，然后利用锐角三角函数的定义可求出sin∠BOC的值.
6．（2021·阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若 ，则 的度数是（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ ，
∴ =
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠C的度数即可。
7．（2021·鞍山）如图，AB为 的直径，C，D为 上的两点，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AD，如图，
AB为 的直径，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ADB=90°，再利用三角形的内角和求出∠A，最后利用同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可以得到∠C=∠A=36°。
8．（2021·安顺）如图， 与正五边形 的两边 相切于 两点，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540° 90° 90° 108° 108°＝144°，
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，利用正五边形的性质求出∠E=∠C=108°，由五边形内角和等于540°即可求出∠AOC的度数.
9．（2021·镇江）如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27° B．29° C．35° D．37°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】连接OD，根据切线的性质得出∠ADO＝90°，然后根据直角三角形的性质求出∠AOD，最后利用三角形的外角性质求∠AFD即可.
10．（2020·徐州）如图， 是 的弦，点 在过点 的切线上， ， 交 于点 .若 ，则 的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠APO=70°，
∵ ，
∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=20°，
又∵点C在过点B的切线上，
∴∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠OBC ∠ABO=90° 20°=70°，
故答案为：B.
【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.
11．（2018·资阳）如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．（ ）a2
C．2 D．（ ）a2
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形的边长为a，
∴⊙O的半径为a，
∴⊙O的面积为π×a2=πa2，
∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形，
∴每个三角形面积为 ×a×a×sin60°= a2，
∴正六边形面积为 a2，
∴阴影面积为（πa2﹣ a2）× =（ ﹣ ）a2，
故答案为：B．
【分析】根据正六边形与其外接圆的关系，⊙O的半径为a，根据圆的面积公式即可算出圆的面积，空白正六边形为六个边长为a的正三角形，根据三角形的面积等于两邻边积与其夹角正弦值的积的一半，得出一个证三角形的面积，从而用圆的面积减去正六边形的面积再除以6，即可得出阴影部分的面积。
12．（2021·阜新）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在 ．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为 时，圆心的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算；探索数与式的规律
【解析】【解答】如图，圆心在 ，可得r=2
∴OA= ，AB=2r=4，BC= ， = =
∴一个周期圆心经过的路径长为OA+ +BC=4 ，
∴C（4+2 ，0），
故当圆心经过的路径长为 时，
÷4 =505…1
∴圆心的横坐标是505×（4+2 ）+ =
故答案为：D．
【分析】根据题意，计算得到一个周期圆心经过的路径长，求出横坐标即可。
二、填空题
13．（2021·徐州）如图， 是 的直径，点 在 上，若 ，则 °.
【答案】32
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
又∵AB是直径，
∴ ，
∴ .
故答案为：32.
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可得，由AB是直径，可得 ，利用三角形内角和即可求出∠BAC的度数.
14．（2021·张家界）如图， 内接于 ， ，点 是 的中点，连接 ， ， ，则 .
【答案】50°
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，
，
，
，
为等腰三角形，
又 点 是 的中点，根据等腰三角形三线合一，
为 的角平分线，
，
故答案是：50°.
【分析】根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A=100°，根据等腰三角形三线合一，可得∠BOD=∠BOC，据此即得结论.
15．（2021·德阳）如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝ 度.
【答案】70
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，
∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，
∴∠B=540°-430°=110°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠CDA=180°，
∴∠CDA=180°-110°=70°.
故答案为70.
【分析】由五边形的内角和可得∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，结合已知条件可得∠B的度数，由圆内接四边形的性质可得∠B+∠CDA=180°，据此可求得∠CDA的度数.
16．（2021·盘锦）如图，在平面直角坐标系 中，点A在 轴负半轴上，点B在 轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是
【答案】（ ，1）
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO＋∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180° 120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，
∴OB＝ AB＝2，
∴OA＝ OB＝2 ，
∴A（ 2 ，0），B（0，2），
∴D点坐标为（ ，1）．
故答案为（ ，1）．
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO=60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则点D为AB的中点，接着利用含30°角的直角三角形的性质求出OB、OA的长度，可以得到A点坐标和点B的坐标，然后利用线段中点坐标公式得到点D坐标。
17．（2021·盘锦）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是 cm2
【答案】2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影= =2π．
故答案是：2π．
【分析】由图像可知，三个阴影部分正好围成一个半径为2的半圆，利用扇形面积公式计算即可。
18．（2021·广元）如图，在 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在 上，点E是线段 与 的交点.则 的正切值为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴ ，
故答案为 .
【分析】根据圆周角定理可得∠BAE=∠BDC，再Rt△DBC中，由正切函数定义可得结果.
三、解答题
19．（2021·毕节）如图， 是 的外接圆，点E是 的内心，AE的延长线交BC于点F，交 于点D，连接BD，BE.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求DB的长.
【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
根据圆周角定理推论，可知∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB
（2）解：由（1）知∠DAB=∠CAD，∠DBF=∠CAD，
∴∠DBF=∠DAB.
∵∠D=∠D，
∴△DBF∽△DAB.
∴ ，
∵DE=DB，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用三角形的内心可得∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，根据圆周角定理推论可得∠DBC
=∠CAD，即得∠DBC=∠BAE， 从而求出∠DBE=∠DEB，可得DE=BD；
（2）证明△DBF∽△DAB，可得，据此可求出EF，由于DE=DF+EF=6，即得BD=DE=6.
20．（2021·荆门）如图，在 中， ，点E在BC边上，过A，C，E三点的 交AB边于另一点F，且F是弧AE的中点，AD是 的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点.
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当 时，求 的值.
【答案】（1）证明：连接 ， ，则 ，
， ，
∵F是 的中点，
，
∴ ，
∵
∴
∵
∴ ，
，
；
∵ ，
.
即 ，
四边形CDMF是平行四边形
（2）解：由（1）可知：四边形ACDF是矩形，
，
由
∴ ，
∵BM//CD
，
设 ，那么 ， ，
在 中， ，
在 中，
在 中，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接，，根据圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质可得，利用余角的性质可得 ，从而可得 ，可证，由 ， 即 ，根据平行四边形的定义即证；
（2） 由（1）可知：四边形ACDF是矩形，可得 ，由 时，可得 ，利用平行线的性质可证， ， 设 ，那么 ， ，利用勾股定理求出， ， 利用即可求出结论.
21．（2021·襄阳）如图，直线 经过 上的点 ，直线 与 交于点 和点 ， 与 交于点 ，与 交于点 ， ， .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求图中阴影部分面积.
【答案】（1）证明：连接 .
∵ ， .
∴ .
∵ 是 的半径，
∴ 是 切线
（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OC，利用等腰三角形的性质可证得OC⊥AB，再利用切线的判定定理可证得AB是圆O的切线.
（2）利用切线的性质可证得∠DCF=90滴，利用平行线的性质，可证得∠DGO=90°，即可求出DG的长；再证明∠DOG=60°，利用解直角三角形求出OD，OG的长，然后利用扇形和三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
22．（2021·雅安）如图，在⊙ 中， 是直径， ，垂足为P，过点 的 的切线与 的延长线交于点 ， 连接 .
（1）求证： 为⊙ 的切线；
（2）若⊙ 半径为3， ，求 .
【答案】（1）证明：连接 、
∵ 为 的切线
∴
∵ 是直径，
∴ ，
又∵
∴
∴ ，
又∵
∴
∴
∴ 为⊙ 的切线；
（2）解：过点 作 于点 ，如下图：
由（1）得
在 中， ， ，∴
∴ （等面积法）
∴
设 ，则
在 和 中，
，
∴
解得
∴
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接 、，先证，再证，可得，根据切线的判定定理即证；
（2） 过点 作 于点 ， 在 中 利用勾股定理求出OE=5，利用面积相等求出CP=，由垂径定理可得， 设 ，则 ，在 和 中，由勾股定理可得 ， ，据此建立方程，求出x值即可求出DF，由即可求出结论.
23．（2021·贵港）如图，⊙O是 ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD.
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB＝ ，AD＝2，求FD的长.
【答案】（1）证明：连接 ，
是 的直径，
，
，
又 ，
，
又 .
，
即 ，
是 的切线；
（2）解： ， ，
，
在 中，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
又 ，
即 ，
解得 （取正值），
.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得∠ACD=90°，利用三角形内角和可得∠ADC+∠OCD
=90°，根据等腰三角形的性质可得，结合已知可得 ，根据切线的判定即证结论；
（2）由圆周角定理及已知，可求出 ，在 中，可得CD=AD·cos∠ADC=，由勾股定理求出AC=，从而得出 ，证明 ，可得
，即得，可设 ，则 ， ，从而可得 ，求出x值，即可求出FD.
24．（2021·娄底）如图，点A在以 为直径的⊙ 上， 的角平分线与 相交于点E，与⊙ 相交于点D，延长 至M，连结 ，使得 ，过点A作 的平行线与 的延长线交于点N.
（1）求证： 与⊙ 相切；
（2）试给出 之间的数量关系，并予以证明.
【答案】（1）证明：如图所示，
∵ ， 是 的角平分线，
∴ ， ，
又∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与⊙ 相切.
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，且由（1）可得 ， ，
∴ ，
即 ，
∴ 为等腰三角形，
在 和 中，
，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
故： .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的性质，得出，，由BC为直径得出∠BAC=90°，利用直角三角形两锐角互余可得 ，从而可得，根据切线的判定定理即证；
（2） 由 可得 从而求出 ，继而可求出、△NAC为等腰三角形，证明 ∽ ，可得，从而求出 ，继而得出结论.
25．（2021·绵阳）如图，四边形 是⊙ 的内接矩形，过点 的切线与 的延长线交于点 ，连接 与 交于点 ， ， .
（1）求证： ；
（2）设 ，求 的面积（用 的式子表示）；
（3）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形 为 的内接矩形，
∴ ， 过圆心 ，且 .
∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的切线，故 ，
由此可得 ，
又∵ 与 都是圆弧 所对的圆周角，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
（2）解：由 ， ，则 ，
由题意 .
由（1）知 ，则 ，
代入 ， ， ，
可得 ，解得 .
在直角 中， ，
所以
（3）解：记 与圆弧 交于点 ，连接 .
∵ ， ， ，
∴ .
又 ，所以 ，
∴ .
∴ ，故 .
由（2）知，由 ， ，则 ，
由题意可得 ，
代入数据 ， ， ，
得到 ，解得 ①.
过 作 于 ，过 作 于 .
易知 .
由等面积法可得 ，
代入数据得 ，即 .
在直角三角形 中，
.②
由①②可得 ，得 ，
解得 ， （舍去）.
所以 ， .
由 ，故 ，故 .
设 ，则 ，代入得 ，
解得 ，即 的长为 .
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆内接四边形的性质可得∠ADC=∠DCB=90°，由直角三角形两锐角互余的性质可得∠DAM+∠DMA=90°，由切线的性质可得∠DAM+∠DAO=90°，推出∠DMA=∠DAC，由圆周角定理可得∠DAC=∠DBC，推出∠DMA=∠DBC，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据勾股定理表示出AC，进而表示出OA=ON=OD=OC=OB，由相似三角形的性质表示出MD，由勾股定理可得MA，最后根据三角形的面积公式进行解答；
（3）记OM与圆弧 交于点N，连接DN，由圆周角定理可得∠ADN=∠AON，∠DBC=∠DOC，∠DAC=∠DBC，结合已知条件可得∠ADN=∠DBC，推出∠DAC=∠ADN，证明△MND∽△MOC，表示出MD、MC、OC、ND，过D作DG⊥AC于G，过O作OH⊥DN于H，易知HO=DG，根据三角形的面积公式表示出DG，利用勾股定理表示出DN，据此可求得x的值，得到ND、OA的值，证明△NED∽△OEA，设OE=t，表示出NE，根据相似三角形的性质可求得t的值，进而得到OE的长.
1 / 12021-2022学年北师版数学九年级下册《第三章 圆》单元检测B卷
一、单选题
1．（2021·嘉兴）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
2．（2021·柳州）往水平放置的半径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度 ，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·巴中）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·西藏）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交 O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）
A．40° B．55° C．70° D．110°
5．（2021·遵义）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC.若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2021·阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若 ，则 的度数是（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
7．（2021·鞍山）如图，AB为 的直径，C，D为 上的两点，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·安顺）如图， 与正五边形 的两边 相切于 两点，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·镇江）如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27° B．29° C．35° D．37°
10．（2020·徐州）如图， 是 的弦，点 在过点 的切线上， ， 交 于点 .若 ，则 的度数等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2018·资阳）如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．（ ）a2
C．2 D．（ ）a2
12．（2021·阜新）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在 ．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为 时，圆心的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2021·徐州）如图， 是 的直径，点 在 上，若 ，则 °.
14．（2021·张家界）如图， 内接于 ， ，点 是 的中点，连接 ， ， ，则 .
15．（2021·德阳）如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝ 度.
16．（2021·盘锦）如图，在平面直角坐标系 中，点A在 轴负半轴上，点B在 轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是
17．（2021·盘锦）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是 cm2
18．（2021·广元）如图，在 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在 上，点E是线段 与 的交点.则 的正切值为 .
三、解答题
19．（2021·毕节）如图， 是 的外接圆，点E是 的内心，AE的延长线交BC于点F，交 于点D，连接BD，BE.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求DB的长.
20．（2021·荆门）如图，在 中， ，点E在BC边上，过A，C，E三点的 交AB边于另一点F，且F是弧AE的中点，AD是 的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点.
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当 时，求 的值.
21．（2021·襄阳）如图，直线 经过 上的点 ，直线 与 交于点 和点 ， 与 交于点 ，与 交于点 ， ， .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求图中阴影部分面积.
22．（2021·雅安）如图，在⊙ 中， 是直径， ，垂足为P，过点 的 的切线与 的延长线交于点 ， 连接 .
（1）求证： 为⊙ 的切线；
（2）若⊙ 半径为3， ，求 .
23．（2021·贵港）如图，⊙O是 ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD.
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB＝ ，AD＝2，求FD的长.
24．（2021·娄底）如图，点A在以 为直径的⊙ 上， 的角平分线与 相交于点E，与⊙ 相交于点D，延长 至M，连结 ，使得 ，过点A作 的平行线与 的延长线交于点N.
（1）求证： 与⊙ 相切；
（2）试给出 之间的数量关系，并予以证明.
25．（2021·绵阳）如图，四边形 是⊙ 的内接矩形，过点 的切线与 的延长线交于点 ，连接 与 交于点 ， ， .
（1）求证： ；
（2）设 ，求 的面积（用 的式子表示）；
（3）若 ，求 的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵r=2，∴OA=3>r，∴A点在圆外，
∵OB=2=r，∴B点在圆上，
∴当OB⊥AB时，AB与 ⊙O 相切，当OB与AB不垂直时，AB与 ⊙O相交，
故答案为：D.
【分析】先根据点与圆的位置关系判断出A在圆外，B在圆上，然后根据直线与圆的位置关系分两种情况分析即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB= AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，由垂径定理可得AC=CB= AB=12，然后在Rt△AOC中，由勾股定理可求得OC的值，最后根据CD=OD-OC进行计算.
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E，
∵C是弧AB的中点，AB=6，
∴OC⊥AB，AE=BE=3，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∵OC⊥AB，
∴ ， ，
∴
∴
∴圆心O到弦AB的距离为 ，
故答案为：C.
【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，易得OC⊥AB，AE=BE=3，由圆周角定理可得∠AOC=2∠ADC=60°，推出△OAC是等边三角形，由等边三角形的性质以及勾股定理可得OE的值，据此解答.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA ，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA （180°﹣70°）＝55°，
故答案为：B.
【分析】连接OB，OC，由圆周角定理可得∠BOC＝2∠D＝140°，由等腰三角形的性质可得∠COA的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于H.
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ，
∴OC＝ AB＝ ，
∵ ＝ AB CH＝ AC BC，
∴CH＝ ，
∴sin∠BOC＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】过点C作CH⊥AB于H，利用圆周角定理可证得∠ACB=90°，利用勾股定理求出AB的长，即可得到OC的长；利用直角三角形的两个面积公式可求出CH的长，然后利用锐角三角函数的定义可求出sin∠BOC的值.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ ，
∴ =
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠C的度数即可。
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AD，如图，
AB为 的直径，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ADB=90°，再利用三角形的内角和求出∠A，最后利用同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可以得到∠C=∠A=36°。
8．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540° 90° 90° 108° 108°＝144°，
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，利用正五边形的性质求出∠E=∠C=108°，由五边形内角和等于540°即可求出∠AOC的度数.
9．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】连接OD，根据切线的性质得出∠ADO＝90°，然后根据直角三角形的性质求出∠AOD，最后利用三角形的外角性质求∠AFD即可.
10．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠APO=70°，
∵ ，
∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=20°，
又∵点C在过点B的切线上，
∴∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠OBC ∠ABO=90° 20°=70°，
故答案为：B.
【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.
11．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形的边长为a，
∴⊙O的半径为a，
∴⊙O的面积为π×a2=πa2，
∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形，
∴每个三角形面积为 ×a×a×sin60°= a2，
∴正六边形面积为 a2，
∴阴影面积为（πa2﹣ a2）× =（ ﹣ ）a2，
故答案为：B．
【分析】根据正六边形与其外接圆的关系，⊙O的半径为a，根据圆的面积公式即可算出圆的面积，空白正六边形为六个边长为a的正三角形，根据三角形的面积等于两邻边积与其夹角正弦值的积的一半，得出一个证三角形的面积，从而用圆的面积减去正六边形的面积再除以6，即可得出阴影部分的面积。
12．【答案】D
【知识点】弧长的计算；探索数与式的规律
【解析】【解答】如图，圆心在 ，可得r=2
∴OA= ，AB=2r=4，BC= ， = =
∴一个周期圆心经过的路径长为OA+ +BC=4 ，
∴C（4+2 ，0），
故当圆心经过的路径长为 时，
÷4 =505…1
∴圆心的横坐标是505×（4+2 ）+ =
故答案为：D．
【分析】根据题意，计算得到一个周期圆心经过的路径长，求出横坐标即可。
13．【答案】32
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
又∵AB是直径，
∴ ，
∴ .
故答案为：32.
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可得，由AB是直径，可得 ，利用三角形内角和即可求出∠BAC的度数.
14．【答案】50°
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，
，
，
，
为等腰三角形，
又 点 是 的中点，根据等腰三角形三线合一，
为 的角平分线，
，
故答案是：50°.
【分析】根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A=100°，根据等腰三角形三线合一，可得∠BOD=∠BOC，据此即得结论.
15．【答案】70
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，
∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，
∴∠B=540°-430°=110°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠CDA=180°，
∴∠CDA=180°-110°=70°.
故答案为70.
【分析】由五边形的内角和可得∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，结合已知条件可得∠B的度数，由圆内接四边形的性质可得∠B+∠CDA=180°，据此可求得∠CDA的度数.
16．【答案】（ ，1）
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO＋∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180° 120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，
∴OB＝ AB＝2，
∴OA＝ OB＝2 ，
∴A（ 2 ，0），B（0，2），
∴D点坐标为（ ，1）．
故答案为（ ，1）．
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO=60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则点D为AB的中点，接着利用含30°角的直角三角形的性质求出OB、OA的长度，可以得到A点坐标和点B的坐标，然后利用线段中点坐标公式得到点D坐标。
17．【答案】2π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影= =2π．
故答案是：2π．
【分析】由图像可知，三个阴影部分正好围成一个半径为2的半圆，利用扇形面积公式计算即可。
18．【答案】
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴ ，
故答案为 .
【分析】根据圆周角定理可得∠BAE=∠BDC，再Rt△DBC中，由正切函数定义可得结果.
19．【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
根据圆周角定理推论，可知∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB
（2）解：由（1）知∠DAB=∠CAD，∠DBF=∠CAD，
∴∠DBF=∠DAB.
∵∠D=∠D，
∴△DBF∽△DAB.
∴ ，
∵DE=DB，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用三角形的内心可得∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，根据圆周角定理推论可得∠DBC
=∠CAD，即得∠DBC=∠BAE， 从而求出∠DBE=∠DEB，可得DE=BD；
（2）证明△DBF∽△DAB，可得，据此可求出EF，由于DE=DF+EF=6，即得BD=DE=6.
20．【答案】（1）证明：连接 ， ，则 ，
， ，
∵F是 的中点，
，
∴ ，
∵
∴
∵
∴ ，
，
；
∵ ，
.
即 ，
四边形CDMF是平行四边形
（2）解：由（1）可知：四边形ACDF是矩形，
，
由
∴ ，
∵BM//CD
，
设 ，那么 ， ，
在 中， ，
在 中，
在 中，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接，，根据圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质可得，利用余角的性质可得 ，从而可得 ，可证，由 ， 即 ，根据平行四边形的定义即证；
（2） 由（1）可知：四边形ACDF是矩形，可得 ，由 时，可得 ，利用平行线的性质可证， ， 设 ，那么 ， ，利用勾股定理求出， ， 利用即可求出结论.
21．【答案】（1）证明：连接 .
∵ ， .
∴ .
∵ 是 的半径，
∴ 是 切线
（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OC，利用等腰三角形的性质可证得OC⊥AB，再利用切线的判定定理可证得AB是圆O的切线.
（2）利用切线的性质可证得∠DCF=90滴，利用平行线的性质，可证得∠DGO=90°，即可求出DG的长；再证明∠DOG=60°，利用解直角三角形求出OD，OG的长，然后利用扇形和三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
22．【答案】（1）证明：连接 、
∵ 为 的切线
∴
∵ 是直径，
∴ ，
又∵
∴
∴ ，
又∵
∴
∴
∴ 为⊙ 的切线；
（2）解：过点 作 于点 ，如下图：
由（1）得
在 中， ， ，∴
∴ （等面积法）
∴
设 ，则
在 和 中，
，
∴
解得
∴
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接 、，先证，再证，可得，根据切线的判定定理即证；
（2） 过点 作 于点 ， 在 中 利用勾股定理求出OE=5，利用面积相等求出CP=，由垂径定理可得， 设 ，则 ，在 和 中，由勾股定理可得 ， ，据此建立方程，求出x值即可求出DF，由即可求出结论.
23．【答案】（1）证明：连接 ，
是 的直径，
，
，
又 ，
，
又 .
，
即 ，
是 的切线；
（2）解： ， ，
，
在 中，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
又 ，
即 ，
解得 （取正值），
.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得∠ACD=90°，利用三角形内角和可得∠ADC+∠OCD
=90°，根据等腰三角形的性质可得，结合已知可得 ，根据切线的判定即证结论；
（2）由圆周角定理及已知，可求出 ，在 中，可得CD=AD·cos∠ADC=，由勾股定理求出AC=，从而得出 ，证明 ，可得
，即得，可设 ，则 ， ，从而可得 ，求出x值，即可求出FD.
24．【答案】（1）证明：如图所示，
∵ ， 是 的角平分线，
∴ ， ，
又∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与⊙ 相切.
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，且由（1）可得 ， ，
∴ ，
即 ，
∴ 为等腰三角形，
在 和 中，
，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
故： .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的性质，得出，，由BC为直径得出∠BAC=90°，利用直角三角形两锐角互余可得 ，从而可得，根据切线的判定定理即证；
（2） 由 可得 从而求出 ，继而可求出、△NAC为等腰三角形，证明 ∽ ，可得，从而求出 ，继而得出结论.
25．【答案】（1）证明：∵四边形 为 的内接矩形，
∴ ， 过圆心 ，且 .
∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的切线，故 ，
由此可得 ，
又∵ 与 都是圆弧 所对的圆周角，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
（2）解：由 ， ，则 ，
由题意 .
由（1）知 ，则 ，
代入 ， ， ，
可得 ，解得 .
在直角 中， ，
所以
（3）解：记 与圆弧 交于点 ，连接 .
∵ ， ， ，
∴ .
又 ，所以 ，
∴ .
∴ ，故 .
由（2）知，由 ， ，则 ，
由题意可得 ，
代入数据 ， ， ，
得到 ，解得 ①.
过 作 于 ，过 作 于 .
易知 .
由等面积法可得 ，
代入数据得 ，即 .
在直角三角形 中，
.②
由①②可得 ，得 ，
解得 ， （舍去）.
所以 ， .
由 ，故 ，故 .
设 ，则 ，代入得 ，
解得 ，即 的长为 .
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆内接四边形的性质可得∠ADC=∠DCB=90°，由直角三角形两锐角互余的性质可得∠DAM+∠DMA=90°，由切线的性质可得∠DAM+∠DAO=90°，推出∠DMA=∠DAC，由圆周角定理可得∠DAC=∠DBC，推出∠DMA=∠DBC，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据勾股定理表示出AC，进而表示出OA=ON=OD=OC=OB，由相似三角形的性质表示出MD，由勾股定理可得MA，最后根据三角形的面积公式进行解答；
（3）记OM与圆弧 交于点N，连接DN，由圆周角定理可得∠ADN=∠AON，∠DBC=∠DOC，∠DAC=∠DBC，结合已知条件可得∠ADN=∠DBC，推出∠DAC=∠ADN，证明△MND∽△MOC，表示出MD、MC、OC、ND，过D作DG⊥AC于G，过O作OH⊥DN于H，易知HO=DG，根据三角形的面积公式表示出DG，利用勾股定理表示出DN，据此可求得x的值，得到ND、OA的值，证明△NED∽△OEA，设OE=t，表示出NE，根据相似三角形的性质可求得t的值，进而得到OE的长.
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