1.1等腰三角形（2） 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
北师大版八年级下册第一章 三角形的证明
等腰三角形 知 识 回 顾
A
B
C
等腰三角形顶角的平分线、
底边上的中线、底边上的高 互相重合。
等腰三角形的两个底角相等.
简称:
等边对等角.
顶角
A
B
C
底边
腰
腰
底角
底角
【定义】
【性质定理】
【性质定理
的推论】
有两边相等的三角形叫做等腰三角形;
D
高
(简称:“三线合一”)
如图,在△ABC中,
∵AB=AC, ∠1=∠2 (已知).
∴BD=CD,AD⊥BC (三线合一).
左边方框中的的格式,以后可以直接运用.
A
C
B
D
1
2
如图,在△ABC中,
∵AB=AC, BD=CD (已知).
∴∠1=∠2,AD⊥BC(三线合一).
如图,在△ABC中,
∵AB=AC, AD⊥BC(已知).
∴BD=CD, ∠1=∠2 (三线合一).
轮换条件∠1=∠2,
BD=CD,AD⊥BC
可得三线合一的三种不同形式的运用.
”三线合一“的三种语言 及 条件的轮换
【性质定理的推论】
等腰三角形顶角的平分线、
底边上的中线、底边上的高 互相重合。
(简称:“三线合一”)
图形语言
高线 ？
符号语言
中线 ？
符号语言
角平分线
符号语言
本节课学些什么？
等腰三角形还具有哪些重要的性质
除了用定义来判定三角形是等腰三角形外, 还有一些什么简单的方法来判定三角形是等腰三角形
这就是本节课的学习的主要内容。
实践 观察 猜想 证明
画一画
先画一个等腰三角形,
A
C
B
然后在等腰三角形中作出一些线段
(如角平分线、中线、高线)，
你能发现其中一些相等的线段吗？
你能证明你的结论吗？
小结
顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；
底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等。
A
C
B
D
●
●
E
●●
●●
A
C
B
M
N
A
C
B
P
Q
“等腰三角形的两底角的平分线相等”的证明
【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等.
∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
A
C
B
D
E
图形语言
已知:
求证:
BD=CE.
如图, 在△ABC中, AB=AC,
BD,CE 是△ABC角平分线.
证明:
1
2
　
∠2= (已知),
又∵∠1= ，
∴∠1=∠2(等式性质).
在△BDC与△CEB中
∵
∠DCB=∠ EBC（已知）,
BC=CB（公共边）,
　∠1=∠2（已证）,
∴
△BDC≌△CEB（ASA）.
∴
BD=CE(全等三角形的对应边相等)
“等腰三角形的两腰上中线相等”的证明
证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
BM=CN.
A
C
B
M
N
已知:
求证:
如图,在△ABC中,AB=AC,BM,
CN是△ABC两腰上的中线.
证明:
(全等三角形的对应边相等)
∵AB=AC(已知),
∴∠ABC= ∠ACB(等边对等角).
又∵CM= , BN=　 (已知),
∴CM=BN(等式性质).
在△BMC与△CNB中
∵ BC=CB（公共边）,
∠MCB=∠NBC（已知）,
　CM=BN（已证）,
∴△BMC≌△CNB（SAS）.
∴BM=CN
“等腰三角形两腰上的高相等”的证明
证明: 等腰三角形两腰上的高相等.
证明: ∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知),
∴∠BPC= ∠CQB=90o(高的意义).
在△BPC与△CQB中
∵∠BPC=∠CQB（已证）,
　 ∠PCB=∠QBC（已证）,
BC=CB（公共边）,
∴△BPC≌△CQB（SAS）.
∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)
已知: 如图, 在△ABC中,
AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高.
求证: BP=CQ.
A
C
B
P
Q
等腰三角形中的相等的线段(2)
这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.
′
议一议
A
C
B
D
E
1.已知:如图,在△ABC中,
(1)如果∠ABD= , ∠ACE= ,
那么BD=CE吗
如果∠ABD= , ∠ACE= 呢
由此你能得到一个什么结论
(2)如果AD= , AE= , 那么BD=CE吗
(3)你能证明得到的结论吗？
如果AD= , AE= 呢
由此你能得到一个什么结论
过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
等腰三角形的 判 定 定 理
你是如何思考的
请与同伴交流你的做法.
′
2. 前面已经证明了“等边对等角”，反过来，“等角对等边”吗
即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
A
C
B
已知: 如图, 在△ABC中, ∠B＝∠C.
求证: AB=AC.
要证明AB=AC,只要能构造出AB，AC所在的两个三角形全等就可以了.
如：作BC边上的中线；
作∠A的平分线或作BC边上的高.
议一议
分析:
有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.
在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.
这又是一个判定两条线段相等的依据之一.
结论
论证命题的新思维与新方法
小明说,
在一个三角形中，如果两个角不相等,
那么这两个角所对的边也不相等.
即
C
A
B
在△ABC中, 如果∠B≠∠C,
那么AB≠AC.
想一想
你认为这个结论成立吗
如果成立,你能证明它吗
小明是这样想的:
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此时,AB与AC要么相等,要么不相等.
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C,
但已知条件是 ∠B≠∠C.
“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，
因此， AB≠AC.
你能理解他的证明过程吗
论证的新方法----反证法
小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.
这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity)
你可要结识“反证法”这个新朋友噢!
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”
定理可得∠B=∠C .
但已知条件是∠B≠∠C.
“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾,
因此,AB≠AC.
反证法是一种重要的数学证明方法.
在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.
C
A
B
用反证法证题的一般步骤
1. 假设: 先假设命题的结论不成立;
2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,
得出与定义，公理、已证定理或已知条件
相矛盾的结果;
3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,
从而肯定命题的结论正确.
牛刀小试
1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
分析：按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A、∠B、∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
2.用反证法证明：
在一个三角形中, 至少有一个内角小于或等于600.
*
再　见