(共12张PPT)
27.3 实践与探索（2）
1.根据图象回答下列问题：
（1）当x取何值时，y=0？
（2）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数
值y小于0？
复习与练习
2.如图是y=ax2+bx+c的图象,由图象回答：
（1）方程 ax2+bx+c =0根的情况是________.
（2）图像与x轴的交点是___________；
（3）x的取值范围是_________时，y < 0；
（4）x的取值范围是_________时，y > 0;
（5）a、b、c的符号？
0
x
y
-1
2
复习与练习
3.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：
（1）一元二次方程ax2+bx+c=0的解为 ；
（2）不等式ax2+bx+c>0的解集为 ；
（3）不等式ax2+bx+c<0的解集为 .
x
O
y
-1
3
复习与练习
例1．利用函数的图象，求下列方程组的解：
A（1，1）
B（-1.5，2）
∴方程组的解为
A
B
求一次函数y=2x-3与二次函数y=x2 – 2x – 3 的交点坐标.
例2．利用函数的图象，求方程 的解.
方法一：画出函数 的图象，观察它
与 x 轴的交点；
方法二：画出函数 与函数 的图
象，观察它们的交点.
A（1，1）B（-3，9）
∴方程的解为
x1=1, x2=-3
A
B
例2．利用函数的图象，求方程 的解.
3. 已知二次函数 y=2x2–4x–6。求：
（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；
（2） x为何值时，y＞0 ；
（3）以此函数图象与 x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积 ．
画二次函数的草图：
1.开口方向、顶点、对称轴；
2.与x轴y轴的交点。
4. 已知抛物线y=ax2与直线y=2x-3交于点A(1,b).
（1）求a和b的值；
（2）求抛物线与直线的两个交点和抛物线的顶点所构成的三角形的面积。
对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2–mx+m–2（m为实数）的零点的个数是 。
抛物线y=4x2+6x+c的顶点在x轴下方的条件是 。
5.如图，一次函数 y1 =k1x+b1 与二次函数 y2 =ax2 +bx+c 的图像如图所示，根据图像回答以下问题：
（1）当 x 取什么时， y1> y2
（2）当 x 取什么时， 两个函数的值均大于0？
（3）当 x 取什么时，两函数的函数值都随 x 增大而减小？
O
x
y
3
y1
3
1
-1
4
y2(共11张PPT)
知识回顾
2.一次函数、正比例函数的定义是什么？
1.函数的定义是什么
在某个变化过程中,有两个变量x,y,每给定一个x值,都有惟一的y值与它对应,我们把y叫做x的函数.其中x是自变量,y是因变量.
新知探索②
【 P3问题2 】某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出 售,一天可销售约100件,该商店想通过降低售价、增加销售量的 办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品的单价每降低0.1 元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使 销售利润最大？
【 P2问题1 】要用长20米的铁栏杆，一面靠墙围成一个矩形花圃，
设垂直于墙的一边为ｘ米，矩形的面积为ｙ平方米，请写出ｙ
与ｘ之间的关系
思考: 这2个函数关系式有什么共同特点？
这2个问题有何共同点？
≤
≤
定义：形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
二次函数的概念
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
（3）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
（2）a、b、c为常数，且
（4）x的取值范围是 。
整式。
a≠0。
2
任意实数
知识运用
例1.下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y=3x-1 (2) y-3x2=0
(3) y=3x3+2x2 (4) y=2x2-2x+1
(5) y=x-2+x (6) y=x2-x(1+x)
(7) y=
(8) y=
你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键：
是看“二次项的系数是否为0”,含有自变量的代
数式是否为整式.
思 考：
例2.当m取何值时,函数 y = (m+1)xm -2m-1+(m-3)x+m
是二次函数？
2
练习:
1当m满足什么条件时,函数 是二次函数.
2.如果y=(m2+m)x2+mx+1是二次函数,则m应该满足____________.
1.设圆柱的高为6cm,底面半径为rcm,底面周长为Ccm,
圆柱的体积为Vcm3.
(1)分别写出C关于r; V关于r; V关于C的函数关系式;
(2)这三个函数中，哪些是二次函数？
2.已知正方体的棱长为xcm,它的全面积为Scm2,体积为
Vcm3.(1)分别写出S ,V与x之间的函数关系式;
(2)这两个函数中，哪一个是x的二次函数？
新知应用
3.已知二次函数y=ax2+c, 当x=2时, y=4; 当x=-1时, y=-3，
求a、c的值.
4.已知直角三角形两条直角边的和是10cm.
(1)当它的一条直角边长为4.5cm时，求这个直角三角
形的面积.
(2)设这个直角三角形的一条直角边长为xcm时，面积
为Scm2,求S关于x的函数关系.
5.正方形边长为4, 当边长增加x时, 面积增加y, 求y关于x
的函数关系式. 这个函数是二次函数吗？
6. 计算机公司销售一种益智软件, 若以每盘50元的售价 卖出, 一个月能售出500盘, 据市场分析,若销售单价每涨 一元, 月销售量就减少10盘, 试写出当每盘的售价涨x(元)时该公司月销售额 y (元) 与 x (元) 的函数关系式：
y
x
o
回顾：
画函数图像的步骤:
(1)列表；
(2)描点；
(3)连线.
在同一个直角坐标系中画出二次函数 y =x2 和y=-x2的图像.
试
一
试
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … …
y = -x2 … …
解:
(1)列表
(2)描点；
(3)连线.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
9
4
1
0
1
4
9
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
本课小结
1.二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数, a≠0)的函数
叫做二次函数.
2.判断一个函数是否是二次函数的关键：
二次项的系数是否为0.含自变量的代数式为整式(共5张PPT)
问题：某服装厂在生产一批服装时剩下了大量的全等直角三角形余料，如图所示，服装厂为了有效地利用这些余料，决定把它们加工成矩形布料，使矩形的顶点落在直角三角形的边上，怎样加工才使得矩形布料的面积最大？
动脑筋
30cm
40cm
M
N
A
动脑筋
30cm
40cm
A
B
C
D
┐
M
N
40cm
30cm
H
G
┛
┛
A
B
C
D
┐
M
N
P
法一：
AB和AD分别在两直角边上
法二：
点A和点D分别在两直角边上,
BC在斜边上
某公司要在一块地上建一个
健身区，为了使草地
△AEF不受破坏，矩形健身区
GHCK的顶点G不能在草地
△AEF内，已知AB=10m，
AD=8m，AE=4m，AF=3m。
（1）当矩形健身区GHCK的顶点G恰好是EF的中点，求健身区的面积。
快速练兵
K
H
F
G
E
D
C
B
A
（2）当G在EF上什么位置时，健身区面积最大？
看看自己学会了没有？
用二次函数解实际问题（求最大面积）的基本思路：
1.理解问题(数形结合、分类讨论);
2.分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；
3.用数学的方式（函数）表示出它们之间的关系;
4.对建立的函数求最值;
5.检验结果的合理性。(共15张PPT)
27.2.2二次函数 y=ax2 +bx+c
的图象和性质(4)
省实附中初三数学组
知识回顾:
时，图象将发生怎样的变化？
二次函数y=ax
y = a(x－h)2
y = a(x－h)2 +k
1、顶点坐标？
（0，0）
（h，0）
（ h，k ）
2、对称轴？
y轴（直线x=0）
（直线x=h）
（直线x=h）
3、平移问题？
一般地，函数 y=ax 的图象先向左（当h<0）或向右（当h>0）平移|h|个单位可得 y = a(x－h)2 的图象；若再向上（当k>0 ）或向下（当k<0 ）平移|k|个单位可得到 y = a(x－h)2 +k 的图象。
对于二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？
通过变形能否将y=ax +bx+c转化为
y = a(x－h)2 +k的形式 ？
二次函数y=ax
y = a(x－h)2
y = a(x－h)2 +k
例4 画出函数 的图象，并说明这个函数具有那些性质。
分析：对一般形式下二次函数图象与性质的研究，其主要方法是
对二次函数的关系式进行配方，把它化为y＝a(x－h)2+k的形式。
确定开口方向、顶点坐标和对称轴，
根据对称画出图象，
进而讨论二次函数的性质。
配方
确定开口方向、顶点坐标和对称轴
函数图象的开口向下，对称轴为x＝1,
顶点坐标为(1，－2)。
例4 画出函数 的图象，并说明这个函数具有那些性质。
解：列表.
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … …
－4
－2
－4
提示：根据对称轴是x=1，以1为中心，对称地选取自变量的值，看看相应的函数值有什么关系？
确定开口方向、顶点坐标和对称轴
函数图象的开口向下，对称轴为x＝1,
顶点坐标为(1，－2)。
例4 画出函数 的图象，并说明这个函数具有那些性质。
解：列表.
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … …
－4
－2
－4
0
4
2
-2
x
y
-2
-4
-6
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当x<1时，函数值y随x的增大而 ；
增大
当x＞1时， ；
函数值y随x的增大而减小
当x＝1时，
函数取得最大值，
最大值y＝－2
（1）试按刚才的方法，画出函数
的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？
2
0
2
4
6
8
4
6
8
10
12
x
y
（2）通过配方变形，说出函数y＝-2x2+8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
（3）对于二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？
通过变形能否将y=ax +bx+c转化为
y = a(x－h)2 +k的形式 ？
y=ax +bx+c
＝a(x2+ x)+c
=a〔x2+ x+ – 〕+c
= a(x+ )2 +
y=ax +bx+c
二次函数 ( a≠0)的图象是一条抛物线，
对称轴是直线x=
顶点坐标是为（ ， ）
y=ax +bx+c
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
例题学习:
解：
因此，抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，－2）。
例4 求抛物线
的对称轴和顶点坐标。
1.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴：
做一做:
开口方向:
顶点坐标：
对称轴:
2、求下列函数图象的对称轴和顶点坐标：
课内练习:
例5:已知二次函数y= x +4x–3,
请回答下列问题：
画函数图象
1、函数 的图象能否由函数
的图象通过平移变换得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图；
2、说出函数图象的开口方向、对称轴
和顶点坐标。
课内练习:
3. 说出下列函数的图象可由怎样的抛物线y=ax （a≠0），经过怎样的平移后得到？.(共11张PPT)
配方法、顶点坐标与最大 (小) 值
当h>0时,向右平移
当h<0时,向左平移
当 k>０时向上平移
当 k<０时向下平移
顶点坐标：
(0, 0)
（h, 0)
(h, k)
y=a(x-h)2+k的图象：
对称轴是 ___________ ，
顶点坐标是 __________.
直线x=h
(h, k)
指出下列二次函数的开口方向、对称轴 、顶点坐标及增减性：
【分析】由 y=ax2+bx+c (a≠0) 得：
对称轴、顶点坐标计算公式
【说明】有了上述推导结果，我们今后就可以直接用
公式求对称轴和顶点坐标了.
顶点坐标为：
对称轴为：
∴
【例1】用公式法求y= x2-3x+4函数图像的顶点
坐标、对称轴、最大值或最小值.
解:
∴顶点坐标是( , )
对称轴是：x=
∵ a=1>0, ∴函数有最小值y= .
应用举例
四、课堂练习
1.求下列函数图像的顶点坐标、对称轴及函数的最大
(或最小)值:
(1) y=x2-3x+4
(3)
(4) y=100-5x2
(6)
(5) y=-6x2+12
(2) y=1-2x-x2
【例2】要用长20米的铁栏杆, 一面靠墙围成一个矩形花圃,
怎样围才能使围成的花圃面积最大？
解:设垂直于围墙的一边长为xm, 花圃的面积为ym2,则有：
y= x(20-2x)
y= -2x2+20x (0< x <10)
答:垂直于围墙的一边长为5米时, 花圃有最大面积50米2.
即 y= -2(x2-5)2+50 (0< x <10)
∵ a= -2 <0,
∴ x=5 时, 函数有最大值y=50.
【 例3 】用6米长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩 形窗框.窗框的长、宽各为多少时, 它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
∴ x=1时, 函数有最大值y=1.5
解:设矩形窗框的宽为x m, 则长为 m.
∴所做矩形窗框宽为1m,则长为1.5m时, 有最大透光面积1.5m2.
x
即
3.已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少 (提示:
设其中的一个正数是x, 将它的积表示为x的函数)
2.有一根长为40cm的铁丝, 把它弯成一个矩形框,当矩形的
长、宽各为多少时, 矩形的面积最大 最大面积是多少
4.某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售, 一天可销售约100件, 该商店想通过降低售价、增加销售量办法来提高利润.经过市场调查, 发现这种商品的单价每降低 0.1元, 其销售量可增加约10件. 将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大？
1. 配方法求二次函数 y = ax2+bx+c(a≠0) 的最大值, 先要把这个
二次函数配方成为形如: y = a(x-h)2+k 的形式,然后再作判断.
2. 二次函数图像的对称轴、顶点坐标计算公式
二次函数 y = ax2+bx+c (a≠0)，配方成为 y = a(x-h)2+k的形式后
顶点坐标为：
对称轴为：(共14张PPT)
27.2 二次函数 y=ax2 的
图象和性质（1）
省实附中初三数学组
定义：一般地，形如y=ax +bx+c(a、b、c是常数，a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
（1）等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的
（3）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
注意：
（2）a、b、c为常数，且
（4）x的取值范围是 。
整式。
a≠0。
2
任意实数
x
y=x2
y= - x2
...
...
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
函数图象画法
列表
描点
连线
0
0.25
1
2.25
4
0.25
1
2.25
4
描点法
0
-0.25
-1
-2.25
-4
-0.25
-1
-2.25
-4
x
y=2x2
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
x
...
...
...
...
0
-4
-3
-2
-1
2
3
1
4
0
0.5
2
4.5
8
0.5
2
4.5
8
0
0.5
2
4.5
8
0.5
2
4.5
8
...
...
...
x
...
0
-3
-1.5
-1
1.5
1
-2
2
3
0
1.5
-6
1.5
-6
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
演示: 随着a的变化， y=ax2的图象的变化。
y= ax2
y= -ax2
抛物线
对称轴
顶点坐标
位置
开口方向
最值
增减性
（0，0）
（0，0）
y 轴
y 轴
在x轴的上方（除顶点外）
在 x 轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x=0时，最小值为0
当x=0时，最大值为0
二次函数y=ax2的性质
１、对称轴与顶点坐标
２、位置与开口方向
３、增减性与最值
当a>0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
减小。
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
当x=-2时，y=-4
当x=-1时，y=-1
当x=1时，y=-1
当x=2时，y=-4
二次函数y=ax2的性质
1、抛物线y=ax2的顶点是原点，
对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方
（除顶点外），它的开口向上;
当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方
（除顶点外），它的开口向下。
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。
当x=0时, 函数 y 的值最小为0。
当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧，y随着x增大而减小。
当x=0时，函数 y 的值最大为0。
1、根据左边已画好的函数图像填空：
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，在 侧，
y随着x的增大而增大；在 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 时，
函数y的值最小，最小值是 ,抛物
线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，
当x 0时，y<0。
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
练习
2、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上；
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
y=-2x2
3、已知
是二次函数，且当
时，y随x的增大而增大。
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴。
4、已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2。
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2。
小 结
这节课你学到了什么 (共7张PPT)
请你帮助分析：销售单价是多少时，可以获利最多？
何时获得最大利润
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在某一时间内，单价是13元时，销售量是400件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。
问题1
设销售价为x元(x≤13元)，那么
何时获得最大利润
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2元。根据市场调查，销售量与单价满足如下关系：在一时间内，单价是13元时，销售量是400件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。
问题1
销售价降低： 元；
销售量可表示为： 元；
所获利润可表示为: 元；
当销售单价为 元时，可以获得最大利润,最大利润是 元。
将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价 （ ）
A、5元 B、10元 C、15元 D、20元
分析：设降价x元，利润为y元，则可列出方程
A
启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量是10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且 ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：
问题2
试写出年利润 s (万元)与广告费x(万元)的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大及最大年利润是多少万元。
某石油钻井公司投资了127万元购进一台钻机，若不计维修、折旧费用，预计投产后每年可创利33万元，该钻机投产后，从第1年到第x年的维修、折旧费累计为y（万元），已知x与y有如下的关系：
问题3
x 1 2 3 4 5
y 1 5
（1）若把x作为点的横坐标，y作为纵坐标，根据上述表中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用光滑的曲线连接起来。
观察图中各点的排列，猜一猜y与x有什么关系？
某石油钻井公司投资了127万元购进一台钻机，若不计维修、折旧费用，预计投产后每年可创利33万元，该钻机投产后，从第1年到第x年的维修、折旧费累计为y（万元），已知x与y有如下的关系：
问题3
x 1 2 3 4 5
y 1 5
（2）请你帮石油钻井公司计算一下，投产后，第几年可收回投资？(共13张PPT)
§27.2 二次函数图象和性质（1）
1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质:
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
|a|越大,抛物线的开口越小;
a<0时, 在y轴左侧,y随x的增大而增大,在y轴右侧,y随x增大而减少;
(3) a>0时, 在y轴左侧,y随x的增大而减小,在y轴右侧,y随x增大而增大;
(1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
|a|越小,抛物线的开口越大;
x
y
o
a>0
a<0
a<0
x
y
o
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2+1
抛物线y=x2
抛物线 y=x2－1
向上平移
1个单位
把抛物线y=2x2－1向上平移4个单位,会得到那条抛物线 向下平移3.4个单位呢
抛物线y=x2
向下平移
1个单位
(1)得到抛物线y=2x2+3
(2)得到抛物线y=2x2－4.4
y=x2－1
y=x2
抛物线 y=x2+1
上加下减
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.
(k>0,向上平移;k<0向下平移.)
然后描点画 图,得到y= x2,y=(x-1)2 的图像.
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2和y=(x-1)2的图像
解: 先列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2
y=(x-1)2
… 16 9 4 1 0 1 4 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
(1)抛物线y=x2,与抛物线y=(x-1)2有什么关系
(2)抛物线y=x2,y=(x-1)2的开口方向、对称轴、顶点各是什么
抛物线y=x2:
开口向上,
顶点为(0,0).
对称轴是y轴,
抛物线y=(x-1)2:
开口向上,
顶点为(1, 0).
对称轴是直线x=1,
y=(x-1)2
y=x2
抛物线y=x2
向右平移
1个单位
抛物线 y=(x-1)2
1、(1)抛物线y=x2与抛物线y=(x－3)2有什么关系
(2)抛物线y=x2、y=(x－3)2的开口方向、对称轴、顶点各是什么
2、(1)抛物线 , 与抛物线 有什么关系
(2)它们的开口方向、对称轴、顶点各是什么
3、(1)写出把抛物线y=－0.3x2 向右平移2个单位所得的抛物线的函数关系式。
(2)所得抛物线的开口方向、对称轴、顶点各是什么
4、(1)抛物线y=x2与抛物线y=(x＋3)2有什么关系
(2)抛物线y=x2、y=(x＋3)2的开口方向、对称轴、顶点各是什么
5、(1)写出把抛物线y=－0.3x2 向左平移3个单位所得的抛物线的函数关系式。
(2)所得抛物线的开口方向、对称轴、顶点各是什么
左加右减
顶点(0,0)
顶点(2,0)
直线x=－2
直线x=2
向右平移2个单位
向左平移2个单位
顶点(－2,0)
对称轴:y轴
即直线: x=0
下列二次函数图象之间有什么关系:
分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点。
向右平移2个单位
向右平移2个单位
向左平移2个单位
向左平移2个单位
一般地，抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是 x=h ;
(3)顶点是(h,0).
抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.
(h>0,向右平移;h<0向左平移.)
把函数 的图象作怎样的平移变换得
到函数 的图象。
2.说出函数 的图象的顶点坐标和对 称轴。并说明x取何值时，函数取最大值？
顶点是(6,0),
向右平移6个单位
抛物线
对称轴是直线x=6.
当x=6时,函数y有最大值,y最大=0 .
3、分别说出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大或最小值。
3.抛物线y=ax2+k有如下特点:
当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下.
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是x=h;
(3)顶点是(h,0).
2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.
抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.
(k>0,向上平移;k<0向下平移.)
(h>0,向右平移;h<0向左平移.)
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;
1.函数y=-4x2+4x-1的图象可以由抛物线y=-4x2 平移得到吗 应怎样平移
2.若抛物线y=2(x-m) 的顶点在x轴正
半轴上,则m的值为( )
A.m=5 B.m=-1
C.m=5或m=-1 D.m=-5(共16张PPT)
求二次函数的
27.3.1
关系式 (1)
省实附中初三数学组 11. 19
y = a(x-h)2+k (a≠0)
对称轴
顶点坐标
y = ax2+bx+c (a≠0)
函数关系式
x=h
(h ,k)
已知二次函数 ， 当k= 时，此二次函数以y轴为对称轴；其函数关系式为 。
1
已知直线l 经过点(1,1)，(4,-5)。
求直线 l 的解析式。
解：设直线 l 的解析式为y=kx+b，
k+b=1
4k+b=－5
∴k=－2，b=3
答：设直线 l 的解析式为y=－2x+3。
待定系数法
确定反比例函数 的关系式时，
通常只需要一个条件；
我们在确定一次函数
的关系式时，通常需要两个独立的条件；
如果要确定二次函数
的关系式，又需要几个条件呢？
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，
那么就需要有相同个数的独立条件才能
求出函数关系式。
[回顾思考]
例1. 已知二次函数的图象过三点（0，－2），（1，0），（2，3)。求其函数解析式。
∵点(0, -2)、（1，0）和（2, 3）在抛物线上，
应 用 举 例
解：
设函数解析式
∴这个二次函数解析式为 。
例2.二次函数的图象如图所示,求a、b、c的值。
∵(0, 3)、（1，0）和（3, 0）
在抛物线上，
∴这个二次函数解析式为 。
解：
设函数解析式
x
y
例3. 已知二次函数的图象的顶点坐标是（－1，－2），且过点（1，10），求其函数解析式。
∵顶点坐标为（－1，－2）
又∵(1, 10) 在抛物线上，
∴ a=3
∴ h=－1, k=－2.
解：设解析式为
∴
∴
∴
∴这个二次函数解析式为 。
例4. 已知二次函数的图象过原点，当x=1时，y有
最小值为-1，求其解析式。
解：由题意，得顶点坐标为(1, -1)
又∵点（0，0）在抛物线上
∴ a = 1
∴ h=1，k= -1
设二次函数的解析式为 .
∴
∴
∴所求函数解析式为 。
解：由题意，得所求抛物线对称轴为y轴
例5.一条抛物线的开口方向、对称轴与 的
对称轴相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过
点（1，1），求这条抛物线的函数关系式。
设其函数关系式为
∵顶点纵坐标是-2
∴图象经过点(0, -2)
∴这条抛物线的函数关系式为 。
又∵抛物线经过点（1，1）
∴
1．已知二次函数 的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3），求该二次函数的关系式.
尝 试 练 习
解：由题意，得
即
∴
∴该二次函数的关系式为 。
2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是–6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式。
设二次函数的解析式为
解：
∵对称轴是x= -1, 则h = -1
∴
∵点（0，-6）,（2，10）在抛物线上
∴
∴
∴此二次函数的关系式为 。
3. 已知二次函数的图象与一次函数 的图象
有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线
的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式。
4．抛物线 过点（2，4）,且其顶点在直线上 ，求此二次函数的关系式。
解：
∵
∴顶点坐标为(-m，n-m2)
∴
∴ n-m2=2 (-m)+1
∵点（2，4）在抛物线上
∵
顶点在直线 上
∴m= -1，n=4
∴此二次函数的关系式为 。
求二次函数解析式的两种方法：
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。
已知抛物线的顶点坐标（对称轴或最值），
通常选择顶点式。
1.一般式：
2.顶点式：(共11张PPT)
二次函数复习(一)
2008-11-28
省实附中初三数学组
例1.下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y=3x-1 (2) y=2x2-2x+1
(3) y-3x2=0 (4)
(5) y=x2-x(1+x) (6) y=x-2+x
二次函数的定义:
形如 y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的函数叫做二次函数.
二次函数的图象与性质:
y=ax2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+k
y=a(x-h)2
向上（下）
平移\k\个单位
向左（右）
平移\h\个单位
向左（右）
平移\h\个单位
向上（下）
平移\k\个单位
开口
顶点
对称轴
最大(小)值
增减性
a值相同,图象的开口方向
和形状相同.
例2：已知函数 +10x+8
是关于x的二次函数，则
(1) m= ；
(2)图象的开口方向 ,
对称轴为 ,
顶点坐标是 .
(3)当x= 时，函数有最____值,这个值是_____ ;
当x 时, y随x的增大而增大.
2
y=5x2+10x+8
y=5(x+1)2+3
向上
直线 x= -1
（-1, 3）
y=5(x+4)2 -1
(4) 把该函数向左平移3个单位,再向下平移4个单位,
得到函数 .
＞ -1
-1
小
3
二次函数的解析式（常见形式）:
（1）一般式：y=ax2+bx+c
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k
例3: 已知二次函数的图象所示如图，求其函数解析式.
∴这个二次函数解析式为 : .
∵二次函数图象过(0, 3)、(1，0)、(3, 0)
解：设函数解析式为 .
∴
∴
例4: 已知二次函数的顶点坐标为(1, 4)，且图象经过
点(2, 3)，求其函数解析式.
y
O
x
(2, 3)
(1, 4)
又∵ (2, 3) 在抛物线上，
∴
∴
∵图象顶点坐标为(1, 4)
∴设二次函数的解析式为
∴这个二次函数解析式为 .
解：
y=a(x-h)2+k
例5: 已知二次函数的图象过(-1,0)，当x=1时，y有最 大值为4，求其函数解析式.
y
O
x
(-1, 0)
(1, 4)
例6:二次函数图象的对称轴是x= 1，与y轴交点的纵坐标
是3，且经过点(3, 0), 求此二次函数的关系式．
y
O
x
(3, 0)
(0, 3)
x=1
你能根据图象写出该抛物线与x轴的
另一个交点的坐标吗？
y=a(x-h)2+k
能力提升、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
抛物线关于y轴对称的抛物线的函数解析式为 ;
关于x轴对称的抛物线的解析式为 .
y
O
x
(1, 4)
(-1, 4)
(1, -4)
小 结
一. 二次函数的定义:
二. 二次函数的图象及性质:
形如 y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的函数叫做二次函数 .
三. 二次函数解析式的求法:
1）一般式： y=ax2+bx+c(a≠0).已知图象上三点坐标或三对x、y
的值，通常选择一般式.
2）顶点式： y=a(x-h)2+k.已知图象的顶点坐标 (最值或对称轴)，
通常选择顶点式.
1).二次函数的一般形式： y=ax2+bx+c(a≠0)
二次函数的顶点式: y=a(x-h)2+k
2).二次函数的平移规律(上加下减,左加右减).
3).如何确定函数图象的开口方向,顶点坐标,对称轴,最大(小)值,增减性.(共11张PPT)
如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是 ，问此运动员把铅球推出多远？
问题1
喷泉与二次函数
如图所示，桃河公园要建造圆形喷水池。在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m。由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m。
问题2
(1)如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m，才能使喷出的水流不致落到池外？
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？
如图所示，桃河公园要建造圆形喷水池。在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m。由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m。
喷泉与二次函数
问题2
解 : (1)以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如右图）。
得 A（0，1.25），B（1，2.25 ），
∴抛物线为
当y=0时，可求得点C的坐标为(2.5,0)
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外。
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？
喷泉与二次函数
问题2
解: 如图，根据题意得，A点坐标为(0,1.25)，点C坐标为(3.5,0)。
∵抛物线形状与(1)相同
∴设抛物线
解得：
由此可知，如果不计其它因素，那么水流的最大高度应达到约3.7m。
问题3
投篮与二次函数
如图，一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离地面多高时才能中？
x
y
2.5m
4m
3.05
A
B
C
O
3.5
球的出手点A的横坐标为-2.5，将x=-2.5代入抛物线表达式得y=2.25,即当出手高度为2.25m时，才能投中。
解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最高点和球篮的坐标分别为B(0,3.5)、C(1.5,3.05)。
3.5=c
3.05=1.52a+c
设所求的二次函数的表达式为y=ax2+c.
将点B和点C的坐标代入，得
解得
a= -02
c= 3.5
∴该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5
x
y
2.5m
4m
3.05
A
B
C
O
3.5
一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示。现测得，当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？
问题4
涵洞与二次函数
A
B
E
D
(0.8，-2.4)
(？，-0.9)
在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？
1.9
(9，5.5)
A
解：设抛物线为
解得：
当y=0时，
解得：
(舍去)
>18
∴会直接打出边线
当x=18时，
>0
∴会直接打出边线
某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m。现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m。请判断这辆汽车能否顺利通过大门。
x
y
O
(0，4.4)
2
如图，有一个横截面为抛物线形的水泥门洞。门洞内的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m。求这个门洞的高度。（精确到0.1m）
问题5
4m
6m
8m
x
y
A(4,0)
B(3,4)
O(共11张PPT)
实践与探索（一）
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
与
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的关系
省实附中初三数学组
2008-11-22
例：观察二次函数y=x2-2x-3的图象,回答下列问题：
(2)图象与x轴交点坐标是
.
(3)对应方程x2-2x-3=0的解是
.
(4)你有什么发现？你能说明道理吗？
(5)你会求二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标了吗？怎么求？
(1)图象与y轴交点坐标是 .
(0, -3)
(-1, 0)、(3, 0)
x1 =-1, x2 =3
二次函数y=x2-2x-3的图象与
x轴的交点横坐标是对应方程
x2-2x-3=0的解.
先解方程ax2+bx+c=0
解题时要多关注图象
与x轴、y轴交点坐标
试一试：1. 抛物线y=x2-x-6 与y轴交于点＿＿＿＿,
与x轴交于点 .
想一想：2. 如果一元二次方程 3x2+x-10=0 的两个根是
x1=-2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3x2+x-10的图象与x轴的
交点坐标是 .
如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是 .
(0,-6)
(-2,0) 、( 3, 0 )
(-2,0) 、 (5/3,0)
(x1,0)、(x2,0)
归纳，形成方法：
反之，如果抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0)、(x2,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 .
x= x1， x= x2
探究下列二次函数的图象与 x 轴的交点坐标.
(1) y = 2x2+x-3 (2) y = 4x2 - 4x +1 (3) y = x2 – x+ 1
与x轴有2个交点
与x轴有有1个交点
与x轴没有交点
解: (1) ∵方程 2x2+x-3=0的两根为x1=1， x2= -1.5.
∴二次函数y = 2x2+x-3的图象与 x 轴的交点
坐标是(1，0)、(-1.5，0).
(2) ∵方程 4x2 - 4x +1 =0的两根为x1= x2= 0.5.
∴二次函数y = 4x2 - 4x +1的图象与 x 轴的交点
坐标是 (0.5，0).
(3) ∵方程 x2 – x+ 1 =0无解.
∴二次函数y = x2 – x+ 1的图象与 x 轴没有交点.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
只有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则 .
b2 – 4ac≥0
△＞0
△= 0
△＜0
O
x
y
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点情况
1.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿个交点.
2.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿.
1
1
16
做题让我加深理解
3.不与x轴相交的抛物线是( ) A. y=2x2 – 3 B. y= –2x2 + 3 C. y= –x2–3x D. y= –2(x+1)2 –3
D
4.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0, c<0时,图象与x轴交点情况是( ) A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定
C
我要提升我的能力
1.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.
无解
2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于 x的方程ax2+bx+c-3=0根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
A
3.已知抛物线y=x2 + mx +m – 2. 求证: 无论m取何值,抛物线总与 x轴有两个交点.
x
O
y
A(1, 2)
① a+b+c； ② a-b+c； ③ abc；
④ 4a+b； ⑤ b2-4ac.
值为负数的是 .(填序号)
思 考
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，
在下列代数式中：
①③(共9张PPT)
二 次 函 数 综 合 应 用
省实附中初三数学组
2008-12-2
1、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点
M（1，—2）、N（—1，6）．
（1）求二次函数y=x2+bx+c的关系式．
（2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，
点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5.
将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，
求△ABC平移的距离．
2、某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和
销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础
上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行
了预测，提供了两个方面的信息，如图甲、乙两图
请你根据图象提供的信息说明：
（1） 在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？
（2）哪个月出售这种蔬菜每千克的收益最大？
说明理由.
C
B
A
O
y
x
3、杂技团进行杂技表演，演员从翘翘板右端A处弹跳到
人梯顶端B处，其身体（看成一个点）运动的路线是抛
(2)已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，
人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演
是否成功？请说明理由.
物线 的一部分，如图.
求演员弹跳离地面的最大高度.
3.4
4
1
x
y
O
2
3
10
4、如图，在一幢建筑物里，从10m高的窗户处用水管
斜着向外喷水，喷出的水在垂直于墙壁的平面内画出
一条抛物线，其顶点离墙1m，并且在离墙3m处落到
地面上，问抛物线的顶点比喷出点高出多少？
5. 一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米，高6米，
车辆双向通行，规定车辆必须在中心线右侧、距道
路边缘2米这一范围 内行驶，并保持车辆顶部与隧道
有不少于1/3米的空隙，你能否根据这些要求，建立
适当的坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道
车辆的高度限制.
x
y
O
A
B
C
D
E
F
H
6、已知在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=900，
求梯形ABCD的面积；
点M、N分别是BC、CD上的动点，点M从点B
出发向点C运动，点N从点C出发向点D运动，
若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，
连接MN，求△MNC面积的最大值.
BC=CD=10，sinC= .
A
7、（2007浙江省）如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴
交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于
A、C两点，其中C点的横坐标为2.
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的
平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
8、(2006 重庆课改) 已知：m，n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m求这个抛物线的解析式；
(2) 设（1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，
试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；
(3) P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，
若直线BC把△PCH分成面积之比为2∶3的两部分，请求出
点P的坐标．
O
A
B
D
C
x
y(共13张PPT)
27.2 二次函数 y=a(x-h)2 +k的
图象与性质（3）
省实附中初三数学组
一、复习回顾
抛物线平移规律:
y=ax2 y=ax2+k
k<0,往下移 个单位
k>0,往上移 个单位
1.由y=ax2平移到y=ax2+k
2.由函数y=ax2变换到y=a(x-h)2
当h<0时,向左平移
当h>0时,向右平移
y=ax2
y=a(x- h)2
2.由此你有什么
发现
1.由 图象经
过怎样平移得到
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 …
… 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
y= x2
2
1
引入:在直角坐标系中画出函数 的图象 ,并讨论它与函数y= x2的关系.
y= (x+2)2
1
2
讨论归纳:
当h>0时,向右平移
当h<0时,向左平移
当 k>０时向上平移
当 k<０时向下平移
顶点坐标：
(0, 0)
（h, 0)
(h, k)
y=a(x-h)2+k的图象：
对称轴是 ___________ ，
顶点坐标是 __________.
直线x=h
(h, k)
一般地, 平移二次函数y=ax2的图象就可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象, 因此, 二次函数y=a(x-h)2+k的形状、对称轴、顶点坐标和开口方向与a、h、k的值有关。
平移规律：
h→左加右减, k→上加下减。
1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴
和顶点坐标：
课内练习:
2.填空：
⑴由抛物线y=2x 向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到y= 2(x +1)2 –3。
⑵函数 的图象可以由抛物线
向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到的。
做一做:
4. y=x2－1可由下列( )的图象向右平移1个单位，下平移2个单位得到。
A. y=(x－1)2+1 B. y=(x+1)2+1
C. y=(x－1)2－3 D. y=(x+1)2+3
B
3.将二次函数y=x2的图象向下平移2个单位，再向右平移 1个单位，那么得到的图象相应的函数关系式为( )。
y=(x-1)2+2 B. y=(x-1)2-2
C. y=(x+1)2-2 D. y=(x+1)2+2
B
6. 把抛物线y=ax2+1的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数关系式是y=x2+bx+c, 则有( )。
A. b=3，c=3 B. b=-6，c=8
C. b=-3，c=3 D. b=-6，c=-8
5. 二次函数 y=－3(x－2)2+4 的图象( )。
A. 开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为(2, 4)
B. 开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为(2, 4)
C. 开口向上，对称轴为x=-2，顶点坐标为(-2, 4)
D. 开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(-2, -4)
B
B
1. 如果抛物线 的顶点坐标
是(-1, 5)则
它的对称轴是
2.如果一条抛物线的形状与 的形状
相同，且顶点坐标是(4, -2)，则函数关系式是:
3.已知二次函数 y= a (x+1)2+c 的图
象如图所示，则函数 y=ax+c 的图
象只可能是( )。
4.如图，是y＝a(x－h)2+k的图象。
x
y
0
x
y
0
x
y
0
(1)
(2)
(3)
图（1）中a ，h ，k 。
图（2）中a ，h ，k 。
图（3）中a ，h ，k 。
<0
>0
=0
<0
<0
>0
>0
>0
>0
5.如图，抛物线对称轴是x=1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是(1.8, 0)，则A点的坐标为 。
B
A
y
x
1
1
0
（0.2, 0）(共13张PPT)
求二次函数的关系式(2)
27.3.2
二次函数常用的几种解析式的确定
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式.
已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式.
已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式.
1.一般式
2.顶点式
3.交点式
4.平移式:
将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标，可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。
例1.已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）
∴
又∵点（0，1）在图象上，
∴ a =－1
即：
∴
∴
∴
解：
设解析式为
∵抛物线与x 轴的两个交点坐标
为 A (-1,0)、B（3，0）
∴ y = a (x+1) (x－3)
又 C（1，4）在抛物线上
∴ 4 = a (1+1) (1-3)
∴ a =－1
∴ y = － ( x+1) (x－3)
即：
例2:已知二次函数 的图象如图所示，
求其解析式。
(3,0)
例3．已知二次函数 ，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式。
4.平移式:
将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标， 可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式.
例 4:将二次函数 的图像向右平移1个单位，再向上平移4个单位，求其解析式。
解：∵ 二次函数解析式为
（1）由 向右平移1个单位得：
（左加右减）
（2）再把 向上平移4个单位得：
（上加下减）
即：所求的解析式为
例5.将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。
解法：将二次函数的解析式
转化为顶点式得：
(1).由 向左平移4个单位得：
（左加右减）
（2）.再将 向下平移3个单位得
（上加下减）
即：所求的解析式为
例6：把抛物线 向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线 ，求b、c的值。
分析 抛物线 的顶点为（0，0），只要求出抛物
线 的顶点，根据顶点坐标的改变，确定
平移后的函数关系式，从而求出b、c的值。
解 ：把 配方
=（ ）2 + ．
向上平移2个单位，得到 ，
再向左平移4个单位，得到 ，
其顶点坐标是 ，而抛物线 的顶点为（0，0），
则解得
已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），
且与y轴交于点（0，-3）；试求二次函数的关系式．
解：设二次函数的关系式为 ．
四.尝试练习
2.抛物线 是由抛物线
向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值．
五.小结
1.二次函数常用解析式
.已知图象上三点坐标，通常选择一般式.
.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式.
.已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式.
3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用.
2.求二次函数解析式的一般方法：
.已知图象中发生变化的只有顶点坐标，通常选择平移式.
一般式
顶点式
交点式
平移式
例:如图,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)
的薄壳屋顶.它的拱宽AB为4m,拱高CO为0.8m.施工前要先制
造建筑模板,怎样画出模板的轮廓线呢
A
B
C
O
x
y
解:如图,以点O为原点,以AB的垂直平分线为Y轴,
建立直角坐标系.这时,屋顶的横截面所成抛物线
的顶点在原点,对称轴是Y轴,开口
向下,所以可设它的函数关系式为:
y=ax2(a﹤0)
由题意可知:BC=2,CO=0.8
所以点B的坐标为(2,-0.8)
由点B在抛物线y=ax2上,将它的坐标
代入得:
因此,函数关系式是
