2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册第一章 预备知识 期末综合复习测评卷 （word含答案）

第一章 预备知识 期末综合复习测评卷
一、单选题
1．设集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A C B的集合C的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码．一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者．设两次称量后患者实际得到药物为克，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．以上都可能
5．已知，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值1
C．有最大值4 D．有最小值4
6．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
7．设，，为实数，记集合，，，.若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
8．设集合，，，，其中，下列说法正确的是
A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集
D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集
二、多选题
9．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何 ”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A．8 B．128 C．37 D．23
10．设集合，若，则实数a的值可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
11．已知x，y是正数，且，下列叙述正确的是（ ）
A．xy最大值为 B．的最小值为
C．最大值为 D．最小值为4
12．已知关于x的不等式，下列结论正确的是( )
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集可以为的形式
C．不等式的解集恰好为，那么
D．不等式的解集恰好为，那么
三、填空题
13．设集合，，若，则______．
14．已知集合，，全集，若，则实数的取值范围为______．
15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木 ”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）________ 里.
16．高二某班共有人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少人，这三门学科均不选的有人.这三门课程均选的有人，三门中任选两门课程的均至少有人.三门中只选物理与只选化学均至少有人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有________人.
四、解答题
17．已知集合，，若，求实数m的值和．
18．（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
19．已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12．
（1）求的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求的解析式．
20．已知集合A={y|y=x2-2x}，B={y|y=-x2+2x+6}．
（1）求A∩B．
（2）若集合A，B中的元素都为整数，求A∩B．
（3）若集合A变为A={x|y=x2-2x}，其他条件不变，求A∩B．
（4）若集合A，B分别变为A={(x，y)|y=x2-2x}，B={(x，y)|y=-x2+2x+6}，求A∩B．
21．某地政府指导本地建扶贫车间 搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产()万件，该产品需另投入流动成本万元.在年产量不足6万件时，；在年产量不小于6万件时，.每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完.
（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润.
22．已知集合为非空数集，定义：
，
（1）若集合，直接写出集合，.
（2）若集合，，且，求证：
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值.
参考答案
1．A
【分析】
根据给定条件结合不等式恒成立即可求出a的范围判断作答.
【解析】集合，，因，
于是得，因此有，
所以的取值范围是.
故选：A
2．B
【分析】
分别求解集合A，B，根据集合的基本运算即可求．
【解析】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0，x∈R}＝{1，2}
集合B＝{x|0＜x＜5，x∈N}＝{1，2，3，4}，
由A C B，
可知集合C一定包含：1，2这两个元素，但有且仅有3或4中一个．
∴集合C的个数为2个
故选：B．
3．B
【分析】
根据补集以及交集的概念直接计算即可.
【解析】由题可知：，所以
故选：B
4．A
【分析】
设天平的左臂长为，右臂长为，且，设第一次第二次分别称得的中药为克，克，根据杠杆原理即可得出等量关系，进而结合均值不等式即可求出结果.
【解析】设天平的左臂长为，右臂长为，且，设第一次第二次分别称得的中药为克，克，则，，从而，当且仅当，即时，等号成立，由于，所以，
故选：A.
5．A
【分析】
利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可
【解析】解： ，，且，
对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确，
对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，即有最大值1，所以B错误，
对于C，因为，当且仅当时取等号，即有最小值4，所以C错误，
对于D，因为，当且仅当时取等号，即有最大值4，所以D错误，
故选：A
6．A
【分析】
设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【解析】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A
7．D
【分析】
要发现与 与的解的关系，同时考虑，以及判别式对方程的根的个数的影响，通过假设最高次含参数的方程有一个解，有两个解，逆推集合的解的情况即可.
【解析】令，则方程至少有个实数根，
当时，方程还有一个根，
只要，方程就有个实数根，
，方程只有个实数根，
当时，方程只有个实数根，
当时，方程有个或个实数根，
当时，且，
当时，且，
当时，且，
若时，有一个解，有两个解，
且的解不是的解，
，即，
的解不是的解，
又有两个解，故，
有两个不等的根，
有3个解，即，
故不可能成立，
故选：.
【点睛】
本题考查集合的元素个数，一元一次方程与一元二次方程的解的关系，还要考虑一元一次方程的解是否为一元二次方程的解，通过判别式判断一元二次方程方程的根的个数，属于难题.
8．B
【分析】
运用集合的子集的概念，令，推导出，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断与的关系.
【解析】解对于集合，，
可得当即可得，
即有，可得对任意，是的子集；
当时，，
可得是的子集；
当时，，
可得不是的子集；
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集.
故选：
【点睛】
本题考查集合间的关系，一元二次不等式的解法，属于中档题.
9．BD
【分析】
根据给定条件对各选项逐一分析计算即可判断作答.
【解析】对于A，因，则，选项A错误；
对于B，，即；又，即；而，即，因此，，选项B正确；
对于C，因，则，选项C错误；
对于D，，即；又，即；而，即，因此，，选项D正确.
故选：BD
10．ABD
【分析】
先求出集A，B，再由得，然后分和两种情况求解即可
【解析】解：，
∵，∴，
∴①时，；
②时，或，∴或.
综上，或，或
故选：ABD.
11．AB
【分析】
选项ABC直接利用基本不等式求解即可；选项D将原式乘以后展开，利用基本不等式求解.
【解析】对于A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，，由选项A得，则，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时等号成立，又x，y是正数，故等号不成立，故C错误；
对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．AD
【分析】
A：分析函数的最值与，进行比较即可；
B：在同一直角坐标系中，作出函数的图象以及直线和直线，由图象分析，即可判断选项
CD：利用的图象与对应不等式的关系解答即可；
【解析】解：设，，则；
对于A：∵，∴当时，不等式的解集为，所以A正确；
对于B：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示：
由图知，当a＝2时，不等式的解集为的形式，故B错误；
对于CD：由的图象知，若不等式的解集为连续不间断的区间，则，且；
若解集为，，则(a)(b)，且，
因为，所以(b)，解得或，
因为，所以，所以，所以，
所以C错误、D正确．
故选：AD
13．##
【分析】
由题设知是的一个解，即可求参数m，再解一元二次方程求集合B.
【解析】由题设知：是的一个解，
∴，即.
∴，即.
故答案为：
14．
【分析】
根据题目条件，求出，再由列不等式求解.
【解析】由题知，，
，或，
若，则，
解得，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
15．
【分析】
根据题意得出，进而可得出，结合基本不等式求的最小值即可.
【解析】因为里步，由图可知，步里，步里，
，则，且，
所以，，所以，，则，
所以，该小城的周长为（里）.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．8
【分析】
把学生60人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解.
【解析】把学生60人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，
选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合，记选择物理与化学但未选生物的学生组成集合
要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，
除这三门课程都不选的有15人，这三门课程都选的有10人，
则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，
单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少6人，
单选物理、生物的最少6人，单选生物的最少3人，
以上人数最少52人，可作出如下图所示的韦恩图，
故区域至多8人，所以单选物理、化学的人数至多8人，
故答案为：8
【点睛】
本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.
17．，．
【分析】
由题可得，可求得或，再结合条件及并集的运算即得.
【解析】∵，∴．
又，
∴，解得或．
当时，，，满足，∴．
当时，，，不满足，舍去．
综上可知，，．
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据作差法证明即可；
（2）由于，故，再结合（1）的结论易证.
【解析】证明：（1）因为，，所以，。
所以，
故得证；
（2）由不等式的性质知，，
所以，
又因为根据（1）的结论可知，，
所以.
所以.
19．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据二次函数的图像性质求出函数解析式；（2）结合二次函数的单调性，及对称轴和区间的位置关系，分类讨论求出最小值为 g(t)的解析式.
【解析】（1）因为二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，所以可设，
又在区间上的最大值为12，所以，．
．
（2），图象开口向上，对称轴为．
①当即时，在上是减函数，；
②当即时，；
③当时，在上是增函数，．
综上所述，.
【点睛】
本题主要考查二次函数解析式的求法，以及二次函数中涉及轴定区间动求最值的类型，属于简单题.
20．（1）A∩B={y|-1≤y≤7}；（2）A∩B={y|-1≤y≤7}；（3）A∩B={y|y≤7}；（4）A∩B={(3，3)，(-1，3)}．
【分析】
首先根据集合A与B的定义，确定集合里面的元素，再根据题目要求去求解.
【解析】（1）因为y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，
所以A={y|y≥-1}，
因为y=-x2+2x+6=-(x-1)2+7≤7，
所以B={y|y≤7}，
所以A∩B={y|-1≤y≤7}．
（2）由已知得A={y∈Z|y≥-1}，B={y∈Z|y≤7}，
所以A∩B={-1，0，1，2，3，4，5，6，7}．
（3）由已知得A={x|y=x2-2x}=R，B={y|y≤7}，
所以A∩B={y|y≤7}．
(4)由得x2-2x-3=0，
解得x=3，或x=-1，所以或
所以A∩B={(3，3)，(-1，3)}．
【点睛】
本题主要考查集合的交并补运算，在求解过程中注意是数集还是点集.
21．（1）；（2）当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.
【分析】
（1）根据题意结合分段函数即可求解；
（2）结合二次函数在固定区间上的最值以及均值不等式即可求出函数的最值.
【解析】解：（1）每件产品的售价为6元，则万件产品的销售收入为万元.
依题意得，当时，.
当时，.
所以.
（2）当时，，
故当时，取得最大值4.5万元.
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值14万元.
所以当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.
22．（1），；（2）证明见解析；（3）1347.
【分析】
（1）根据题目定义，直接计算集合及；
（2）根据两集合相等即可找到，，，的关系；
（3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值．
【解析】（1）根据题意，由，则，；
（2）由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，
即，
剩下的，
所以；
（3）设满足题意，其中，
则，
，
，
，
，，
中最小的元素为0，最大的元素为，
，
，
，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，，
则，，
依题意有，即，
故的最小值为674，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.
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