2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册第五章 函数应用 期末综合复习测评卷 （word含答案）

第五章 函数应用 期末综合复习测评卷
一、单选题
1．已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，若方程，有两个相等的根，则实数（ ）
A．－ B． C．或－ D．或－
2．函数在的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
3．某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
4．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A． B．
C． D．
5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A． B． C． D．
6．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买千克甲种蔬菜与千克乙种蔬菜所需费用之和大于元，而购买千克甲种蔬菜与千克乙种蔬菜所需费用之和小于元．设购买千克甲种蔬菜所需费用为元，购买千克乙种蔬菜所需费用为元，则．
A． B．
C． D．，大小不确定
7．已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8．若函数f(x)在[a，b]上连续，且同时满足f(a)·f(b)＜0，f(a)·f()＞0.则 (　　)
A．f(x)在[a，]上有零点
B．f(x)在[，b]上有零点
C．f(x)在[a，]上无零点
D．f(x)在[，b]上无零点
二、多选题
9．已知函数f(x)的图象连续不间断，x，f(x)的对应值如下表：
x 1 2 3 4 5
f(x) 136 15 -3 10 -52
则含有函数f(x)的零点的区间有（ ）
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)
10．已知函数，且实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．某同学在研究函数时，给出下面几个结论中正确的有
A．的图象关于点对称 B．若，则
C．的值域为 D．函数有三个零点
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小值为
B．函数在上单调递增
C．函数为偶函数
D．若方程在上有4个不等实根，则
三、填空题
13．已知，若在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是________．
14．已知函数，若它在区间中仅有一个零点，则实数m的取值范围是_______．
15．某一处的声强级，是指该处的声强度I（单位：）与基准值的比值的常用对数，其单位为贝尔（B）．实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝（dB）来作为声强级的单位．公式为：声强级．如果某工厂安静环境中一台机器（声源）单独运转时，发出的噪声声强级为80分贝，那么两台相同的机器一同运转时（声强度为原来的2倍），发出的噪声声强级为______分贝．（精确到0.1分贝）
16．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的零点个数为______．
四、解答题
17．经过市场调查，超市中的某种商品在过去的40天的日销量（单位：件）与价格（单位：元）为时间（单位：天）的函数，且日销售量近似满足，价格近似满足．
（1）写出该商品的日销售额（单位：元）与时间（）的函数表达式（日销售额=日销售量×商品价格）．
（2）求该种商品的日销售额的最大值与最小值．
18．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点；
（3）若函数的最小值为－4，求的值.
19．已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a（a≤0），
（1）若a=﹣1，求函数的零点；
（2）若函数在区间（0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
20．已知函数
（1）若，求函数的零点；
（2）若函数在上为增函数，求a的取值范围.
21．某批发市场一服装店试销一种成本为每件元的服装规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的，经试销发现销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，.
(1)求一次函数的解析式，并指出的取值范围；
(2)若该服装店获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，可获得最大利润最大利润是多少元？
22．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与各自的资金投入（单位：万元）满足，．设甲大棚的资金投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收入为（单位：万元）．
（1）求的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入，才能使总收入最大．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】
设，可知、为方程的两根，且，利用韦达定理可将、用表示，再由方程有两个相等的根，由求出实数的值.
【解析】由于不等式的解集为，
即关于的二次不等式的解集为，则.
由题意可知，、为关于的二次方程的两根，
由韦达定理得，，，，
，
由题意知，关于的二次方程有两相等的根，
即关于的二次方程有两相等的根，
则，，解得，故选A.
【点睛】
本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2．B
【分析】
令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
【解析】由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
【点睛】
本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
3．C
【分析】
根据图中的特殊点（2,1），（4,2）即可得解.
【解析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C.
【点睛】
本题考查了由函数图象写解析式，可以进行选项验证，属于基础题.
4．D
【解析】试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得．
考点：函数模型的应用．
5．C
【解析】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
6．C
【解析】设甲、乙两种蔬菜的价格分别为，元，
则，，，
两式分别乘以，，
整理得，
即，
所以．
故选．
7．A
【解析】由题意可得：
解得
故选
8．B
【解析】
由题函数在 上连续，且同时满足 由“二分法”可知，一定有 ，即函数 在上有零点
故选B
9．BCD
【分析】
根据给定条件结合零点存在性的判定定理逐一判断各选项即可得解.
【解析】由表格中数据知，，，，，
而函数f(x)的图象连续不间断，则由函数零点存在性的判定定理得：含有函数f(x)的零点的区间有(2，3)，(3，4)，(4，5).
故选：BCD
10．ABC
【分析】
由题意，确定函数为增函数，进而得知，，中一项为负的，两项为正的，或者三项都是负的，分类讨论分别求得可能成立选项，从而得到答案.
【解析】由函数的单调性可得，函数在为增函数，
由， 则为负数的个数为奇数，
对于选项，选项可能成立
对于选项，当时，函数的单调性可得：
即不满足，故选项不可能成立，故选：
【点睛】
本题考查了函数的单调性，属于中档题.
11．BC
【分析】
先判断函数的奇偶性，再利用绝对值性质化简函数的解析式，判断函数的值域，然后再根据零点的定义判断即可.
【解析】函数的定义域为全体实数，，所以是奇函数，图象关于原点对称，.
选项A：由上分析函数关于原点对称，若函数关于对称，原点关于对称的点是，而，显然不在该图象上，故函数不关于对称，本选项是错误的；
选项B：当时，，显然函数单调递增，此时；
当时，，显然函数单调递增，此时，因此函数在整个实数集上是单调递增的，因此若，则是正确的，本选项是正确的；
选项C：由选项B的分析可以知道本选项是正确的；
选项D：，只有一个零点，故本选项是错误的.
故选：BC
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性、值域、零点、对称性、单调性，属于基础题.
12．ACD
【分析】
将函数配方，可判断选项A,B真假，根据奇偶性定义，可判断选项C真假，做出的图像，结合对称性，可判断选项D真假
【解析】，最小值为，
所以选项A正确；
的对称轴为，单调递增区间为，
所以选项B不正确；
令，
所以为偶函数，所以选项C正确；
令，
零点转化为 与的交点，
做出图像如下图所示：
图像关于对称，当 与有四个交点时，
两两分别关于对称，所以，
所以选项D正确.
故选ACD
【点睛】
本题以二次函数为背景，考查函数的图像，性质，属于中档题.
13．
【分析】
首先确定分段函数的解析式；分别在在存在一个零点和无零点两种情况下，将问题转化为在上的解的个数问题，结合的单调性可确定的范围.
【解析】；
①当在存在一个零点时，，解得：；
此时在上有且仅有一个零点，即方程在上有且仅有一个解，
在上单调递减，；
若在上有两个不同的零点，则；
②当在上不存在零点时，；
此时在上有两个不同的零点，即方程在上有两个不同的解，
在上单调递减，方程在不能有两个不同的解；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】
由函数在区间中仅有一个零点可得，或时,方程在内有一个解,或时,方程在内有一个解,解不等式求实数m的取值范围.
【解析】∵ 函数在区间中仅有一个零点，
∴ ，或时,方程在内有一个解,或时,方程在内有一个解,
当可得 ，
∴ ，
当时，，方程可化为，其解为或，不满足要求，
当时，，方程可化为，其解为或，不满足要求，
∴ 实数m的取值范围是，
故答案为：.
15．83.0．
【分析】
根据一台机器发出的噪声声强级求出I，进而求出两台机器发出的噪声声强级.
【解析】根据题意，，则两台相同的机器一同运转时，发出的噪声声强级为（分贝）
故答案为：83.0.
16．10
【分析】
将原函数的零点转化为方程或的根，再作出函数y=f(x)的图象，借助图象即可判断作答.
【解析】函数的零点即方程的根，亦即或的根，
画出函数y=f(x)的图象和直线，如图所示，
观察图象得：函数y=f(x)的图象与x轴，直线各有5个交点，则方程有5个根，方程也有5个根，
所以函数的零点有10个.
故答案为：10
17．
（1）
（2）最小值400；最大值2450
【分析】
（1）题意知，可得解；
（2）根据的取值范围判断函数单调性，并求最值.
（1）
解：由题意知，
∴
（2）
解：当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故．
当时，在区间上单调递减，故．
∴当时，取最小值400；
当时，取最大值2450．
18．（1）（－3，1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；
（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由，即，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；
（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值，得利用对数的定义求出的值.
【解析】（1）由已知得，解得所以函数的定义域为（－3，1）.
（2），
令，得，即，解得，
∵，
∴函数的零点是
（3）由（2）知，，
∵，∴.
∵，∴，
∴，∴.
【点睛】
本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键.
19．（1）当a=﹣1时，函数f（x）的零点是1；（2）﹣1≤a≤0或a≤﹣2.
【分析】
（1）令f（x）=﹣x2+2x﹣1=0，求解即可；
（2）讨论当a=0时和当a＜0时二次函数在区间（0，1]的零点分别求参数范围即可.
【解析】（1）当a=﹣1时，f（x）=﹣x2+2x﹣1，
令f（x）=﹣x2+2x﹣1=0，
解得x=1，
∴当a=﹣1时，函数f（x）的零点是1．
（2）①当a=0时，2x﹣2=0得x=1，符合题意．
②当a＜0时，f（x）=ax2+2x﹣2﹣a=a（x﹣1）（x+），
则x1=1，x2=﹣，
由于函数在区间（0，1]上恰有一个零点，则﹣ 或﹣≤0，
解得 或a≤﹣2，
综上可得，a的取值范围为﹣1≤a≤0或a≤﹣2．
【点睛】
解本题的关键是处理二次函数在区间上零点问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：
一是，开口；
二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
三是，判别式，决定于x轴的交点个数；
四是，区间端点值.
20．（1）-2，0，；（2）
【分析】
(1) 当时，求解；当时，求解，即可求得函数零点；(2) 在上是增函数，且，在上为增函数，且，由题意知，由此求得a的取值范围.
【解析】（1）当时，由，得；
当时，由得或.
∴时，函数的零点为-2，0，.
（2）函数在上是增函数，且，
函数在上为增函数，且，
若在[-1，+∞）上为增函数，则，∴.
【点睛】
本题考查求函数的零点，函数的单调性的判断及性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.
21．(1),;(2)时,.
【分析】
(1)根据题意先确定的取值范围,再利用待定系数法求解即可;
(2)根据题意表示出利润=销售额-成本,整理后根据二次函数性质求出最值即可.
【解析】(1)由销售单价不低于成本单价,且获利不得高于成本的,
可知,
又由时,;时,,
可得,
所以,其中;
(2)由(1)可知,,
,
即,
所以当时,取得最大值,为,
即销售单价定为84元时,可获得最大利润,最大利润是864元.
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求解析式,考查了二次函数模型在实际中的应用.答题需要学生联系实际生活,理清逻辑关系.
22．（1）；（2）当甲大棚投入资金为128万元，乙大棚投入资金为72万元时，总收益最大.
【分析】
（1）根据题意，可分别求得甲、乙两个大棚的资金投入值，代入解析式即可求得总收益.
（2）表示出总收益的表达式，并求得自变量取值范围，利用换元法转化为二次函数形式，即可确定最大值.
【解析】（1）当甲大棚的资金投入为50万元时，乙大棚资金投入为150万元，
则由足，．
可得总收益为万元；
（2）根据题意，可知总收益为
满足，解得，
令，
所以
，
因为，
所以当即时总收益最大，最大收益为万元，
所以当甲大棚投入资金为128万元，乙大棚投入资金为72万元时，总收益最大，最大收益为282万元.
【点睛】
本题考查了函数在实际问题中的应用，分段函数模型的应用，二次函数型求最值的应用，属于基础题.
试卷第1页，共3页