2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程单元测试（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程单元测试（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-07 16:02:06 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022人教版A版（2019）圆锥曲线的方程单元测试
考试时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）
1．已知双曲线的焦距为10，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．已知 是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知椭圆与双曲线：有相同的焦点，，点是两曲线的一个交点，且，过椭圆的右焦点做倾斜角为的直线交椭圆于，两点，且，则可以取（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
8．在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9．过点且的双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
10．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A， B两点，则下述结论正确的是（ ）
A．AF+BF为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当时，△ABF为直角三角形 D．当m=1时，△ABF 的面积为
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线的左 右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．的面积为
C．的内心在直线上 D．内切圆半径为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．双曲线的右焦点到渐近线的距离为_______.
14．已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作，垂足为，若，则=_____________．
15．如图，已知椭圆E的方程为(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________．
16．已知A，B是双曲线﹣y2＝1的两个顶点，点P是双曲线上异于A，B的一点，连接PO（O为坐标原点）交椭圆+y2＝1于点Q，如果设直线PA，PB，QA的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2＝﹣，假设k3＞0，则k3的值为__.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在轴上，，经过点；
（2）经过、两点．
18．（12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，求的面积.
19．（12分）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）直线与交于两点，求.
20．（12分）已知双曲线：上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）椭圆：的离心率等于，过椭圆上任意一点作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程.
21．（12分）如图，抛物线的焦点为F，四边形DFMN是边长为1的正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点（直线l不垂直于x轴），交直线ND于第三象限的点C．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若直线MA，MB，MC的斜率分别记为判断是否是定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．
22．（12分）已知椭圆：的左 右顶点分别为，，下顶点为，点到直线的距离为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，，为椭圆上不同的三点，且，关于原点对称，原点到直线的距离等于，求证：.
参考答案
1．D
双曲线的焦距为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：D．
2．B
因为曲线为椭圆，
所以，解得且，
所以“”是“且”的必要而不充分条件.
故选：B
3．C
解：如图所示，
设此抛物线的焦点为，准线．
过点作，垂足为．
则，到轴的距离，
则点到点的距离与到轴的距离之和为
设，因此当、、三点共线时，取得最小值．
．
即的最小值为，
所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.
故选：C.
4．B
依题意有，所以
又，，所以，
又，可得，
即，则，
故选：B.
5．B
由抛物线定义，等于到准线的距离，
因为，
所以，又，
从而，
又因为在抛物线上，
代入抛物线方程，
解得．
故抛物线方程为．
故选：B
6．A
设，则，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ 离心率，
故选：A.
7．D
由题得椭圆的焦点为不妨设在第一象限，
设椭圆方程为，
因为，
所以①
，②
又，③
解①②③得，所以椭圆的方程为
由题得直线方程为即：
联立直线和椭圆方程得或，
所以,或
当时，
所以,
所以
所以.
当时，.
所以可以取8.
故选：D
8．A
设，因为点到直线、的距离之和为，
所以点到点和点的距离之和为，
由椭圆的定义可知：点的轨迹是椭圆的一部分，
以所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
因为正方体的体对角线，所以正方体的棱长为，
则，，所以，，，
可得点的轨迹为椭圆，
所以，，
则
，
因为，所以，所以，
由此可得，
故选：A.
9．AC
∵，∴，
当焦点在轴上时，设，代入点，得，
此时双曲线方程为，
同理求得焦点在轴上时，双曲线方程为，
故选AC.
10．AD
设椭圆的左焦点为，则
∴为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
∴的范围是，
∴的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，
又∵，∴，
∴不是直角三角形，C不正确；
将与椭圆方程联立，解得，，
∴，D正确．
故选：AD
11．ABD
对A，由抛物线的定义知A正确；
对B，∵，∴，B正确；
对C，由题意知，又与不一定相等，∴与不一定相等，C错误；
对D，由题意知四边形为矩形，∴，D正确.
故选：ABD．
12．BC
对于C，设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，如图，
则，所以，
所以的内心在直线上，故C正确；
△为等边三角形,若在同一支，
由对称性知轴，，，.
,；
,
设的内切圆半径为r，则，解得；
若分别在左右两支，则，
则，解得，离心率，
，
设的内切圆半径为r，则，解得；
所以结论一定正确的是BC.
故选：BC.
13．2
由可得，，所以，
所以双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，
则双曲线的右焦点到渐近线的距离为．
故答案为：.
14．
解：由于抛物线的焦点为，准线为，，
过抛物线上一点作，垂足为，若，
可得点，三角形是等腰三角形，
所以．
故答案为：．
15．
解：是与轴重合的，且四边形为平行四边形
，
所以、两点的纵坐标相等，、的横坐标互为相反数，
、两点是关于轴对称的．
由题知：
四边形为平行四边形，所以
可设，，
代入椭圆方程解得：
设为椭圆的右顶点，，四边形为平行四边形
对点：
解得：
根据：
得：
．
故答案为：．
16．2
解：由双曲线，可得两个顶点A（﹣2，0），B（2，0）.设P（x0，y0），则＝1，
可得＝，
∴kPA+kPB＝＝＝，.
同理，设Q（x1，y1），
由kOP＝kOQ得＝.，
∴kQA+kQB＝＝－，
∴kPA+kPB+kQA+kQB＝0，
∵kPA+kPB，∴kQA+kQB＝…①
又kQA kQB＝﹣＝…②
联立①②解得k3＝kQA＝2＞0.
故答案为：2.
17．（1）；（2）.
（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，
因此，双曲线的标准方程为；
（2）设双曲线的方程为，
将点、的坐标代入双曲线方程可得，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
18．（1）；（2）.
解：（1）抛物线的焦点为，
所以直线的方程为，
由消去得，
所以，
由抛物线定义得，
即，所以.
所以抛物线的方程为.
（2）由知，方程，
可化为，
解得，，故，.
所以，.
则面积
19．（1）；（2）
【分析】
（1）由圆与圆的位置关系可确定，由此确定所求轨迹为椭圆；在椭圆轨迹中去除即可得到所求方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式可求得结果.
【详解】
（1）由圆的方程知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径.
设动圆，动圆半径为，
动圆与圆外切，与圆内切，，
∴，满足椭圆定义，则，，，
轨迹方程为；又为圆和圆的切点，，
的方程为.
（2）将代入的方程得：，
设，，则，
，，
.
20．（1）；（2）.
（1）设为双曲线上任意一点，则①
双曲线的顶点为，，由题设知
，故，
代入①式可得.
又为双曲线上任意一点，故，所以，双曲线的渐近线方程为.
（2）由椭圆的离心率，可得，故椭圆方程为，即.
设，，则.②
设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，
联立②式整理得，即，故，
从而.所以.
而直线的方程为，同理可求得.
于是，由可得
，
整理得.
结合②式可得，所以椭圆的方程为，即.
21．（1）；（2）为定值
解：（1），，四边形是边长为1的正方形，
，，代入抛物线方程得：，
抛物线的方程为：．
（2）是定值，理由如下：
由（1）可知，，，，
设直线的方程为，
联立方程，消去得：，
设，，，，
，，
联立方程，得，，
，，
，
把，代入得：
，
，
为定值．
22．
（1）
（2）证明见解析
（1）
由题意知，，，
所以直线BD的方程为，即，
所以点到直线BD的距离为，即①.
因为椭圆C过点，所以②.
联立①②，得，，故椭圆C的标准方程：.
（2）
当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为或.
不妨设直线的方程为，M在第一象限，
可得，，，则，，
所以.
由对称性知，当直线PM的方程为时，同理可得.
当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为，
所以原点O到直线PM的距离为，即.
设，，则，
联立得，整理得，
，
则，，
所以.
因为，
，
所以，
所以.
综上得证.
考试时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）
1．已知双曲线的焦距为10，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．已知 是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知椭圆与双曲线：有相同的焦点，，点是两曲线的一个交点，且，过椭圆的右焦点做倾斜角为的直线交椭圆于，两点，且，则可以取（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
8．在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9．过点且的双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
10．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A， B两点，则下述结论正确的是（ ）
A．AF+BF为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当时，△ABF为直角三角形 D．当m=1时，△ABF 的面积为
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线的左 右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．的面积为
C．的内心在直线上 D．内切圆半径为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．双曲线的右焦点到渐近线的距离为_______.
14．已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作，垂足为，若，则=_____________．
15．如图，已知椭圆E的方程为(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________．
16．已知A，B是双曲线﹣y2＝1的两个顶点，点P是双曲线上异于A，B的一点，连接PO（O为坐标原点）交椭圆+y2＝1于点Q，如果设直线PA，PB，QA的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2＝﹣，假设k3＞0，则k3的值为__.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在轴上，，经过点；
（2）经过、两点．
18．（12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，求的面积.
19．（12分）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）直线与交于两点，求.
20．（12分）已知双曲线：上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）椭圆：的离心率等于，过椭圆上任意一点作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程.
21．（12分）如图，抛物线的焦点为F，四边形DFMN是边长为1的正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点（直线l不垂直于x轴），交直线ND于第三象限的点C．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若直线MA，MB，MC的斜率分别记为判断是否是定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．
22．（12分）已知椭圆：的左 右顶点分别为，，下顶点为，点到直线的距离为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，，为椭圆上不同的三点，且，关于原点对称，原点到直线的距离等于，求证：.
参考答案
1．D
双曲线的焦距为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：D．
2．B
因为曲线为椭圆，
所以，解得且，
所以“”是“且”的必要而不充分条件.
故选：B
3．C
解：如图所示，
设此抛物线的焦点为，准线．
过点作，垂足为．
则，到轴的距离，
则点到点的距离与到轴的距离之和为
设，因此当、、三点共线时，取得最小值．
．
即的最小值为，
所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.
故选：C.
4．B
依题意有，所以
又，，所以，
又，可得，
即，则，
故选：B.
5．B
由抛物线定义，等于到准线的距离，
因为，
所以，又，
从而，
又因为在抛物线上，
代入抛物线方程，
解得．
故抛物线方程为．
故选：B
6．A
设，则，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ 离心率，
故选：A.
7．D
由题得椭圆的焦点为不妨设在第一象限，
设椭圆方程为，
因为，
所以①
，②
又，③
解①②③得，所以椭圆的方程为
由题得直线方程为即：
联立直线和椭圆方程得或，
所以,或
当时，
所以,
所以
所以.
当时，.
所以可以取8.
故选：D
8．A
设，因为点到直线、的距离之和为，
所以点到点和点的距离之和为，
由椭圆的定义可知：点的轨迹是椭圆的一部分，
以所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
因为正方体的体对角线，所以正方体的棱长为，
则，，所以，，，
可得点的轨迹为椭圆，
所以，，
则
，
因为，所以，所以，
由此可得，
故选：A.
9．AC
∵，∴，
当焦点在轴上时，设，代入点，得，
此时双曲线方程为，
同理求得焦点在轴上时，双曲线方程为，
故选AC.
10．AD
设椭圆的左焦点为，则
∴为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
∴的范围是，
∴的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，
又∵，∴，
∴不是直角三角形，C不正确；
将与椭圆方程联立，解得，，
∴，D正确．
故选：AD
11．ABD
对A，由抛物线的定义知A正确；
对B，∵，∴，B正确；
对C，由题意知，又与不一定相等，∴与不一定相等，C错误；
对D，由题意知四边形为矩形，∴，D正确.
故选：ABD．
12．BC
对于C，设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，如图，
则，所以，
所以的内心在直线上，故C正确；
△为等边三角形,若在同一支，
由对称性知轴，，，.
,；
,
设的内切圆半径为r，则，解得；
若分别在左右两支，则，
则，解得，离心率，
，
设的内切圆半径为r，则，解得；
所以结论一定正确的是BC.
故选：BC.
13．2
由可得，，所以，
所以双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，
则双曲线的右焦点到渐近线的距离为．
故答案为：.
14．
解：由于抛物线的焦点为，准线为，，
过抛物线上一点作，垂足为，若，
可得点，三角形是等腰三角形，
所以．
故答案为：．
15．
解：是与轴重合的，且四边形为平行四边形
，
所以、两点的纵坐标相等，、的横坐标互为相反数，
、两点是关于轴对称的．
由题知：
四边形为平行四边形，所以
可设，，
代入椭圆方程解得：
设为椭圆的右顶点，，四边形为平行四边形
对点：
解得：
根据：
得：
．
故答案为：．
16．2
解：由双曲线，可得两个顶点A（﹣2，0），B（2，0）.设P（x0，y0），则＝1，
可得＝，
∴kPA+kPB＝＝＝，.
同理，设Q（x1，y1），
由kOP＝kOQ得＝.，
∴kQA+kQB＝＝－，
∴kPA+kPB+kQA+kQB＝0，
∵kPA+kPB，∴kQA+kQB＝…①
又kQA kQB＝﹣＝…②
联立①②解得k3＝kQA＝2＞0.
故答案为：2.
17．（1）；（2）.
（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，
因此，双曲线的标准方程为；
（2）设双曲线的方程为，
将点、的坐标代入双曲线方程可得，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
18．（1）；（2）.
解：（1）抛物线的焦点为，
所以直线的方程为，
由消去得，
所以，
由抛物线定义得，
即，所以.
所以抛物线的方程为.
（2）由知，方程，
可化为，
解得，，故，.
所以，.
则面积
19．（1）；（2）
【分析】
（1）由圆与圆的位置关系可确定，由此确定所求轨迹为椭圆；在椭圆轨迹中去除即可得到所求方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式可求得结果.
【详解】
（1）由圆的方程知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径.
设动圆，动圆半径为，
动圆与圆外切，与圆内切，，
∴，满足椭圆定义，则，，，
轨迹方程为；又为圆和圆的切点，，
的方程为.
（2）将代入的方程得：，
设，，则，
，，
.
20．（1）；（2）.
（1）设为双曲线上任意一点，则①
双曲线的顶点为，，由题设知
，故，
代入①式可得.
又为双曲线上任意一点，故，所以，双曲线的渐近线方程为.
（2）由椭圆的离心率，可得，故椭圆方程为，即.
设，，则.②
设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，
联立②式整理得，即，故，
从而.所以.
而直线的方程为，同理可求得.
于是，由可得
，
整理得.
结合②式可得，所以椭圆的方程为，即.
21．（1）；（2）为定值
解：（1），，四边形是边长为1的正方形，
，，代入抛物线方程得：，
抛物线的方程为：．
（2）是定值，理由如下：
由（1）可知，，，，
设直线的方程为，
联立方程，消去得：，
设，，，，
，，
联立方程，得，，
，，
，
把，代入得：
，
，
为定值．
22．
（1）
（2）证明见解析
（1）
由题意知，，，
所以直线BD的方程为，即，
所以点到直线BD的距离为，即①.
因为椭圆C过点，所以②.
联立①②，得，，故椭圆C的标准方程：.
（2）
当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为或.
不妨设直线的方程为，M在第一象限，
可得，，，则，，
所以.
由对称性知，当直线PM的方程为时，同理可得.
当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为，
所以原点O到直线PM的距离为，即.
设，，则，
联立得，整理得，
，
则，，
所以.
因为，
，
所以，
所以.
综上得证.