广东省连州市连州中学2013届高三10月月考数学（文）试题

连州中学2013届高三10月月考数学（文）试题
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
参考公式：
锥体的体积公式：（是锥体的底面积，是锥体的高）
球体体积公式：(是半径)
方差公式：
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1. 已知集合，集合，则（　　）
A. B. C. D.
2．为虚数单位，则复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．若，则“”是“”的（　　）条件
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
4．若是真命题，是假命题，则（　　）
A．是真命题 B．是假命题 C．是真命题 D．是真命题
5．在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
6．若函数，则函数在其定义域上是（　　）
A．单调递减的偶函数 B．单调递减的奇函数
C．单凋递增的偶函数 D．单调递增的奇函数
7．阅读右图1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（　　　）．
A． B．　 　C． 　D．
8．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
9.设图2是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
10．对实数和，定义运算“”：。设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是( )．
A．　　B． C．　　D．
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.）
（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。）
11．若向量，，则等于_____________．
12．已知函数则= ．
13．设、满足条件，则的最小值是 .
（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分。）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则圆上点到直线的最短距离为 。
15. (几何证明选讲选做题)如图3，PAB、PCD为⊙O的两条割线，
若 PA=5，AB=7，CD=11，，则BD等于 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、
证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，求的值．
17．（本小题满分12分）
已知函数为偶函数，周期为．
（1）求的解析式；
（2）若 ，求 的值．
18．(本题满分14分)
某中学在校就餐的高一年级学生有440名，高二年级学生有460名，高三年级学生有500名；为了解学校食堂的服务质量情况，用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级： 1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级（满意）；5级（很满意），其统计结果如下表（服务满意度为，价格满意度为）.
（1）求高二年级共抽取学生人数；
（2）求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”数据的方差；
（3）为提高食堂服务质量，现从且的所有学生中随机抽取两人征求意
见，求至少有一人的“服务满意度”为1的概率.
19．(本小题满分分)
如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点.
(1)证明:平面;
(2)求三棱锥的体积;
(3)证明:平面.
20．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，求为原点）面积的最大值．
21．（本题满分14分）
已知函数，且其导函数的图像过原点.
(1)当时，求函数的图像在处的切线方程;
(2)若存在，使得，求的最大值；
(3)当时，求函数的零点个数。
连州中学2013届高三级10月月考
文科数学参考答案与评分标准
　
4．【解析】或（）一真必真，且（）一假必假，非（）真假相反，故选D
5.【解析】在中，若，则，即 ， 故选
6．【解析】在其定义域上单调递减，则是奇函数，故选B。
7．【解析】第一步：，第二步：，输出．故选B
8．【解析】因成等比，则当时圆锥曲线为椭圆其离心率为；当时圆锥曲线为双曲线其离心率为 故选
9．【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。故选D
10．【解析】由题设
画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为， ，，． 从图象中可以看出，直线穿过点，点之间时，直线与图
象有且只有两个公共点，同时，直线穿过点，点时，直线与图象有且只有两个公共点，所以实数的取值范围是．故选Ｂ
二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）
11. ； 12. ； 13. 1； 14. .； 15. 6
11．【解析】．
12．【解析】因函数所有
13．【解析】由题意知当直线经过点时，取的最小值1
14．【解析】由题意圆的直角坐标方程为，直线
所以圆上点到直线的最短距离为
15.【解析】由得又
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）
解：（1）设等差数列的公差，则，
由题设，，所以．
． …………………………… 6分
（2）因为，
所以，解得或．
因为，所以． …………………………… 12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）, 则.. ………2分
是偶函数, , 又，．
则　． ……5分
（2）由已知得，．
则． ………8分
． ………12分
18．(本题满分14分)
解：（1）共有1400名学生，高二级抽取的人数为（人）…………3分
（2）“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为，……………4分
所以方差………………7分
（3）符合条件的所有学生共7人，其中“服务满意度为2”的4人记为
“服务满意度为1”的3人记为. ……………………9分
在这7人中抽取2人有如下情况：
共21种情况. ……………………11分
其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15种. ……………………12分
所以至少有一人的“服务满意度”为1的概率为………………14分
19.（本小题满分14分）
.解 : (1) 证法一：由题设知,,
又
平面,平面,
平面, …………1分
又平面 . …………2分
又四边形为正方形,为的中点 …………3分
又,平面,平面 …………4分
平面 …………5分
证法二：在中，
在中，.
,即为等腰三角形. …………1分
又点为的中点, . …………2分
又四边形为正方形,为的中点, …………3分
,平面,平面 …………4分
平面 …………5分
（2）由(1)的证明可得:三棱锥的体积……7分
…………10分
(3)证法一: 连接
由题意知,点分别为和的中点,
. …………11分
又平面,平面, …………13分
平面. …………14分
证法二:取中点,连, …………10分
而分别为与的中点,
平面,平面
平面,
同理可证平面 …………11分
又
平面平面. …………12分
平面， …………13分
平面. …………14分
20．（本小题满分14分）
（1）解： 由得 ① ……………2分
由椭圆经过点，得 ② ………3分
联立① ②，解得 …………4分
所以椭圆的方程是…………5分
（2）解：易知直线的斜率存在，设其方程为．
将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 ① ……7分
∵直线AB与椭圆C有两个交点∴，解得．
设，，则是方程①的解
其解．…………9分
所以 ………………10分
，设
则 ……………13分
当且仅当，即时等号成立，此时面积取得最大值．…………14分
21．（本小题满分14分）
解: ,
由得 ,. ---------------------2分
(1) 当时, ,，,
所以函数的图像在处的切线方程为,即--------4分
(2) 存在,使得,
，，
当且仅当时，所以的最大值为. -----------------9分
(3) 当时，的变化情况如下表：
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
----11分
的极大值，
的极小值
又，.
所以函数在区间内各有一个零点，
故函数共有三个零点。--------------------14分
注：①证明的极小值也可这样进行:
设，
则
当时, ,当时, ,
函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,
故函数在区间上的最大值为,
从而的极小值.
图1
图2