2.3 圆及其方程 学案
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圆与方程
【基础知识】
1．斜率公式：，其中..
2.直线方程的五种形式：
(1)点斜式：．(2)斜截式：.(3)两点式：.
(4)截距式：.(5)一般式：.
3．两条直线的位置关系：⑴若，,则：
① ∥； ②.
4．两个公式:⑴点到直线的距离：；
⑵两条平行线与的距离
5．圆的方程：⑴标准方程：① ；② 。
⑵一般方程： （
6．点.直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）
①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）
①相切；②相交；③相离。
⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）
①相离；②外切；③相交；
④内切；⑤内含。
例题1．已知圆关于直线对称，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】由题得圆心的坐标为，
因为已知圆关于直线对称，
所以.
例题2．圆与圆的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
【答案】C【详解】
由题意知，，圆心为，半径为1；
，圆心为，半径为4，
两圆的圆心距为：，又两圆半径之和为5，两圆半径之差为3，
因为3＜＜5，所以两圆相交．
例题3．若点不在圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】
由已知得，解得，
∴，即．
例题4．圆：与圆：的公切线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【答案】D【详解】
两圆的圆心分别是，，半径分别是，；
两圆圆心距离：，说明两圆相离，因而公切线有四条．
例题5．求经过三点，，的圆的方程.
【答案】【详解】
依题，设圆的一般方程为（ 为参数），将三点，，代入：解得
综上所述，圆的一般方程为
例题6．已知圆C经过A(2，0)，B(8，0)两点，且与y轴的正半轴相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线与圆C交于M，N，求|MN|.
【答案】（1）；（2）
【详解】(1)设圆的标准方程为：
根据圆C经过A(2，0)，B(8，0)两点，且与y轴的正半轴相切.
，解得：，
圆的标准方程为：.
(2)圆心到直线的距离为 .
所以.
练习
1．圆的圆心是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为可化为，所以圆心是．
2．已知两圆和相交于两点，则直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D把两圆与的方程相减，可得，
此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程.
3．圆心为且过原点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】
圆心为且过原点的圆的半径为，
故圆心为且过原点的圆的圆的方程为，
4．若圆与圆外切，则实数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】
由已知得圆心为，半径，圆心，半径，
由两圆外切可知，
即，
解得，
5．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】D【详解】
两圆圆心分别为，，半径分别为1和3，圆心距．
∵，∴两圆外离．
6．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是（ ）
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1
【答案】A【详解】
由于点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，
所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，所以－1＜a＜1.
7．以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是（ ）
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
【答案】D【详解】
∵AB为直径，∴AB的中点(1，2)为圆心，
半径为|AB|＝＝5，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
8．方程表示的曲线为（ ）
A．两条线段 B．一条直线和半个圆 C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆
【答案】C【详解】
由，解得.
因为，所以或.
故表示一条线段.
因为，所以，，即表示以原点为圆心的半个圆
9．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
圆的圆心为，直线与直线垂直，因为直线的斜率为1，所以，所以直线的方程是：，即
10．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】由题得圆心坐标为半径为，
所以或.
所以实数a的取值范围是.
11．已知圆的标准方程是，则点（ ）
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不能确定
【答案】B【详解】
圆 的圆心为，半径为2，
因为，
所以点在圆内.
12．若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】
因为方程表示圆，
所以，解得.
13．已知圆的方程是，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A．与5 B．与
C．与5 D．与
【答案】B【详解】
由圆的一般方程为，配方得圆的标准方程为
所以圆心坐标为半径为
14．圆和的位置关系是 （ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B【详解】
圆的圆心为，半径；
圆化为，圆心为，半径，
圆心距.
因为，所以两圆相交，
15．若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】因为方程表示一个圆，
则，解得或.
16．根据下列条件求圆的方程：
（1）圆心在点，半径；
（2）圆心在点，且经过点；
（3）以点、为直径.
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】设圆的标准方程为，
（1）圆心在点，半径，则圆的方程为；
（2）求得半径，所以圆的方程为；
（3）设圆心 则,
半径，所以圆的方程为.
17．已知点，直线，直线过点且与垂直，直线交圆于两点.
（1）求直线的方程；
（2）求弦的长.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）直线的斜率为，则直线的斜率为，又过点，由点斜式方程可知直线为：，即.
（2）直线与圆相交，则圆心到直线的距离为：，圆的半径为，所以弦长.
18．已知直线l：．
（1）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；
（2）若直线l与圆相切，求a的值．
【答案】（1）1；（2）4或．
【详解】（1）易知直线l的截距不能为0，
令，，令，；
则
故a的值为1
（2）圆心到直线l的距离
或
故a的值为4或.
19．已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于A、B两点，求所得弦长的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2.则圆的方程为；
(2)圆心（2，0）到l的距离为d，=1，.
系数即可.
20．已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)，
（1）求圆C的方程；
（2）若直线 与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度；
（3）求圆C上的点到直线的距离的最大值．
【答案】（1）；（2）：（3）．
【详解】（1）联立直线方程，即可得交点C(1,3)，
圆C的半径，
∴圆C的方程为：.
（2）由C点到直线的距离，
∴|MN|=2．
（3）由C点到直线的距离，即圆C上点到直线距离的最大值为．
21．若点为圆 的弦的中点．求：
（1）直线的方程；
（2）△的面积．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）∵圆心C(1,0)，M(2,-1)，即，而
∴，则AB：.
（2）设圆心C到直线AB的距离为，即，而，
∴.
22．已知点，，直线L经过A，且斜率为.
（1）求直线L的方程；
（2）求以B为圆心，并且与直线L相切的圆的标准方程.
【答案】（1）；（2）.
（2）根据与直线相切求出圆的半径，再根据圆心可得圆的方程．
【详解】（1）由题意，直线的方程为：，
整理成一般式方程，得，∴直线L的方程为；
（2）由已知条件，得所求圆的圆心为，
可设圆B方程为：，
∵圆B与直线相切，
∴
∴.
故圆B的方程为.
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圆与方程
【基础知识】
1．斜率公式：，其中..
2.直线方程的五种形式：
(1)点斜式：．(2)斜截式：.(3)两点式：.
(4)截距式：.(5)一般式：.
3．两条直线的位置关系：⑴若，,则：
① ∥； ②.
4．两个公式:⑴点到直线的距离：；
⑵两条平行线与的距离
5．圆的方程：⑴标准方程：① ；② 。
⑵一般方程： （
6．点.直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）
①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）
①相切；②相交；③相离。
⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）
①相离；②外切；③相交；
④内切；⑤内含。
例题1．已知圆关于直线对称，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】由题得圆心的坐标为，
因为已知圆关于直线对称，
所以.
例题2．圆与圆的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
【答案】C【详解】
由题意知，，圆心为，半径为1；
，圆心为，半径为4，
两圆的圆心距为：，又两圆半径之和为5，两圆半径之差为3，
因为3＜＜5，所以两圆相交．
例题3．若点不在圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】
由已知得，解得，
∴，即．
例题4．圆：与圆：的公切线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【答案】D【详解】
两圆的圆心分别是，，半径分别是，；
两圆圆心距离：，说明两圆相离，因而公切线有四条．
例题5．求经过三点，，的圆的方程.
【答案】【详解】
依题，设圆的一般方程为（ 为参数），将三点，，代入：解得
综上所述，圆的一般方程为
例题6．已知圆C经过A(2，0)，B(8，0)两点，且与y轴的正半轴相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线与圆C交于M，N，求|MN|.
【答案】（1）；（2）
【详解】(1)设圆的标准方程为：
根据圆C经过A(2，0)，B(8，0)两点，且与y轴的正半轴相切.
，解得：，
圆的标准方程为：.
(2)圆心到直线的距离为 .
所以.
练习
1．圆的圆心是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为可化为，所以圆心是．
2．已知两圆和相交于两点，则直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D把两圆与的方程相减，可得，
此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程.
3．圆心为且过原点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】
圆心为且过原点的圆的半径为，
故圆心为且过原点的圆的圆的方程为，
4．若圆与圆外切，则实数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】
由已知得圆心为，半径，圆心，半径，
由两圆外切可知，
即，
解得，
5．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】D【详解】
两圆圆心分别为，，半径分别为1和3，圆心距．
∵，∴两圆外离．
6．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是（ ）
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1
【答案】A【详解】
由于点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，
所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，所以－1＜a＜1.
7．以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是（ ）
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
【答案】D【详解】
∵AB为直径，∴AB的中点(1，2)为圆心，
半径为|AB|＝＝5，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
8．方程表示的曲线为（ ）
A．两条线段 B．一条直线和半个圆 C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆
【答案】C【详解】
由，解得.
因为，所以或.
故表示一条线段.
因为，所以，，即表示以原点为圆心的半个圆
9．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
圆的圆心为，直线与直线垂直，因为直线的斜率为1，所以，所以直线的方程是：，即
10．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】由题得圆心坐标为半径为，
所以或.
所以实数a的取值范围是.
11．已知圆的标准方程是，则点（ ）
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不能确定
【答案】B【详解】
圆 的圆心为，半径为2，
因为，
所以点在圆内.
12．若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】
因为方程表示圆，
所以，解得.
13．已知圆的方程是，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A．与5 B．与
C．与5 D．与
【答案】B【详解】
由圆的一般方程为，配方得圆的标准方程为
所以圆心坐标为半径为
14．圆和的位置关系是 （ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B【详解】
圆的圆心为，半径；
圆化为，圆心为，半径，
圆心距.
因为，所以两圆相交，
15．若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】因为方程表示一个圆，
则，解得或.
16．根据下列条件求圆的方程：
（1）圆心在点，半径；
（2）圆心在点，且经过点；
（3）以点、为直径.
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】设圆的标准方程为，
（1）圆心在点，半径，则圆的方程为；
（2）求得半径，所以圆的方程为；
（3）设圆心 则,
半径，所以圆的方程为.
17．已知点，直线，直线过点且与垂直，直线交圆于两点.
（1）求直线的方程；
（2）求弦的长.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）直线的斜率为，则直线的斜率为，又过点，由点斜式方程可知直线为：，即.
（2）直线与圆相交，则圆心到直线的距离为：，圆的半径为，所以弦长.
18．已知直线l：．
（1）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；
（2）若直线l与圆相切，求a的值．
【答案】（1）1；（2）4或．
【详解】（1）易知直线l的截距不能为0，
令，，令，；
则
故a的值为1
（2）圆心到直线l的距离
或
故a的值为4或.
19．已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于A、B两点，求所得弦长的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2.则圆的方程为；
(2)圆心（2，0）到l的距离为d，=1，.
系数即可.
20．已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)，
（1）求圆C的方程；
（2）若直线 与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度；
（3）求圆C上的点到直线的距离的最大值．
【答案】（1）；（2）：（3）．
【详解】（1）联立直线方程，即可得交点C(1,3)，
圆C的半径，
∴圆C的方程为：.
（2）由C点到直线的距离，
∴|MN|=2．
（3）由C点到直线的距离，即圆C上点到直线距离的最大值为．
21．若点为圆 的弦的中点．求：
（1）直线的方程；
（2）△的面积．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）∵圆心C(1,0)，M(2,-1)，即，而
∴，则AB：.
（2）设圆心C到直线AB的距离为，即，而，
∴.
22．已知点，，直线L经过A，且斜率为.
（1）求直线L的方程；
（2）求以B为圆心，并且与直线L相切的圆的标准方程.
【答案】（1）；（2）.
（2）根据与直线相切求出圆的半径，再根据圆心可得圆的方程．
【详解】（1）由题意，直线的方程为：，
整理成一般式方程，得，∴直线L的方程为；
（2）由已知条件，得所求圆的圆心为，
可设圆B方程为：，
∵圆B与直线相切，
∴
∴.
故圆B的方程为.
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