单元形成性评价(三)(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．在用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内近似根的过程中，已经得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能确定
【解析】选B.因为f(1)<0，f(1.5)>0，所以在区间(1，1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零点，又因为f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以在区间(1.25，1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零点，由此可得方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25，1.5)内．
2．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是( )
【解析】选C.把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a) f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一个根 B．至多有一个根
C．无实根 D必有唯一的实根
【解析】选D.函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a) f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上必有唯一的实根．
4．方程2x－1＋x＝5的解所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
【解析】选C.令f(x)＝2x－1＋x－5，则f(2)＝2＋2－5＝－1<0, f(3)＝22＋3－5＝2>0，从而方程在区间(2，3)内有解．
5．如图所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是下面四个图形中的( )
【解析】选C.当h＝时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h的增大，S随之减小，减少的幅度不断变小，故排除A，B，D.
6．已知函数f(x)＝f(a)＝2，则a＝( )
A．－2或2或6 B．－2或2
C．2或6 D．－2或6
【解析】选B.因为f(x)＝
f(a)＝2，所以当a＞0时，f(a)＝log2(a＋2)＝2，解得a＝2；
当a≤0时，f(a)＝＝2，解得a＝－2或a＝6(舍去)，综上，a＝±2.
7．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，6)进行整理，得数据如表所示：
x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10
根据表格的数据，下列函数中，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( )
A．y＝0.5(x＋1) B．y＝log3x＋1.5
C．y＝2x－1 D．y＝2
【解析】选B.根据表格的数据可得年销售量y随着年宣传费x的增长在增长，且增长速度越来越平缓，
例如：当x＝1时，y＝log31＋1.5＝1.5，y＝2 ＝2，当x＝3时，y＝log33＋1.5＝2.5，y＝2 ≈3.5，故适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是对数函数．
8．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63 C．66 D．69
【解析】选C.因为I(t)＝，
所以I(t*)＝＝0.95K，
则e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，
解得t*≈＋53≈66.
9．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为( )
A．18件 B．20件 C．24件 D．30件
【解析】选A.设获取的利润为y，则y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－x2＝－x2＋18x－20.
所以当x＝18时，y有最大值．
10．若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如表
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5
f(x) －1 0.875 －0.296 9 0.224 6 －0.051 51
那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度0.1)为( )
A．1.2 B．1.312 5 C．1.437 5 D．1.25
【解析】选B.由于f(1.375)＞0，f(1.312 5)＜0，
且|1.375－1.312 5|＜0.1，故选B.
11．设函数f(x)＝若f(x)－b＝0有三个不等实数根，则b的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1，10]
C．(1，3] D．(0，3]
【解析】选C.作出函数f(x)＝的图象如图所示：
f(x)－b＝0有三个不等实数根，
即函数y＝f(x)的图象与y＝b有3个不同交点，由图可知，b的取值范围是(1，3].
12．设函数f(x)＝1＋[x]－x，其中[x]表示不超过x的最大整数，若函数y＝logax的图象与函数f(x)的图象恰有2个交点，则实数a的取值范围是( )
A．[2，3) B．(2，3] C．(3，4] D．[3，4)
【解析】选A.由题意f(x)＝作出f(x)的图象如图，
因为y＝logax的图象与y＝f(x)的图象恰有2个交点，故故2≤a<3.
【补偿训练】
若关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )
A．(2，3) B．[2，3]
C．(1，5) D．[1，5]
【解析】选C.因为关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四个不同的实数解，所以令f(x)＝|x|2－4|x|＋5＝(|x|－2)2＋1，h(x)＝m，画出函数f(x)的图象，
如图所示，要使f(x)的图象与h(x)的图象有四个交点，直线h(x)＝m应该在直线l和直线n之间，所以1＜m＜5.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则a＝________．
【解析】a＝0时，f(x)只有一个零点－1，
a≠0时，由Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.
答案：0或－
14．用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为________.
【解析】设f(x)＝x3－2x－1，因为一根在区间(1，2)上，所以根据二分法的规则，取区间中点，因为f(1)＝－2<0，f＝－4<0，f(2)＝3>0，所以下一步可以断定该根所在区间是.
答案：
15．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降到40 ℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，还需要________分钟．
【解析】由题意可得Ta＝24，T0＝88，T＝40，
可得：40－24＝(88－24)，解得h＝10，
此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，
可得：32－24＝(40－24)，解得t＝10.
答案：10
16．已知函数f(x)＝x·|x|－4x，则该函数的单调递增区间为________，若方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值集合是________．
【解析】函数f(x)＝x·|x|－4x
＝作出函数f(x)的图象如图所示：
由图象可得该函数的单调递增区间为(－∞，－2]和[2，＋∞).方程f(x)＝k有三个不同的实根，即f(x)的图象与y＝k有三个不同的交点，由图象可得－4＜k＜4.
答案：(－∞，－2]和[2，＋∞) (－4，4)
三、解答题(共70分)
17．(10分)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x＋x，求f(x)的解析式．
【解析】由题意得当x＝0时，f(x)＝0，
因为x＞0时，f(x)＝2x＋x，
所以当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝2－x－x，
又因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
所以x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x，
综上所述，f(x)＝
18．(12分)已知函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1，
(1)m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？
(2)如果函数的一个零点在原点，求m的值．
【解析】(1)因为函数的图象与x轴有两个交点，
所以
即
整理得即当m<1，且m≠－1时，
函数的图象与x轴有两个交点．
(2)因为函数的一个零点在原点，即点(0，0)在函数f(x)的图象上，所以f(0)＝0，即2(m＋1)·02＋4m·0＋2m－1＝0.所以m＝.
19．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式．
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【解析】(1)由题意知
y＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
即log5(x－9)＝2，所以x－9＝52，解得x＝34.
所以老张的销售利润是34万元．
20．(12分)关于x的方程x2－2x＋a＝0，求a为何值时：
(1)方程一根大于1，一根小于1
(2)方程一个根在(－1，1)内，另一个根在(2，3)内？
(3)方程的两个根都大于零？
【解析】设f(x)＝x2－2x＋a，
(1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f(1)＜0，得1－2＋a＜0，所以a＜1.
(2)由方程一个根在区间(－1，1)内，另一个根在区间(2，3)内，得即
解得－3＜a＜0.
(3)由方程的两个根都大于零，
得解得0＜a≤1.
21．(12分)某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240 km的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的下列数据：
v 0 40 60 80 120
F 0 10 20
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型F＝av3＋bv2＋cv.
(1)求函数解析式；
(2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
【解析】(1)由已知数据得：
解得：
所以F＝v3－v2＋v(0≤v≤120)；
(2)设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得
y＝F·t＝·
＝v2－v＋70＝(v－80)2＋30，
因为0≤v≤120，所以当v＝80时，y有最小值为30，所以这辆车在该测试路段上以80 km/h速度行驶时总耗油量最少，最少为30 L．
22．(12分)已知函数f(x)＝
(1)计算f的值．
(2)讨论函数f(x)的单调性，并写出f(x)的单调区间．
(3)设函数g(x)＝f(x)＋c，若函数g(x)有三个零点，求实数c的取值范围．
【解析】(1)由已知得f(log2)＝f(－2)
＝－2×(－2)2－4×(－2)＋1＝1.
所以f(f(log2))＝f(1)＝1＋1＝2.
(2)当x≤0时，函数f(x)＝－2x2－4x＋1
＝－2(x＋1)2＋3.
根据抛物线的性质知，f(x)在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间[－1，0]上单调递减；
当x＞0时，函数f(x)＝x＋1，显然f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
综上：f(x)的单调增区间是(－∞，－1)和(0，＋∞)，单调减区间是[－1，0].
(3)作出f(x)的图象，如图：
函数g(x)有三个零点，即方程f(x)＋c＝0有三个不同实根，又方程f(x)＋c＝0等价于方程f(x)＝－c，
所以当f(x)的图象与直线y＝－c有三个交点时，函数g(x)有三个零点．
数形结合得，c满足1＜－c＜3，即－3＜c＜－1.
因此，函数g(x)有三个零点，实数c的取值范围是(－3，－1).
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9单元形成性评价(三)(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．在用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内近似根的过程中，已经得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能确定
2．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是( )
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a) f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一个根 B．至多有一个根
C．无实根 D必有唯一的实根
4．方程2x－1＋x＝5的解所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
5．如图所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是下面四个图形中的( )
6．已知函数f(x)＝f(a)＝2，则a＝( )
A．－2或2或6 B．－2或2
C．2或6 D．－2或6
7．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，6)进行整理，得数据如表所示：
x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10
根据表格的数据，下列函数中，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( )
A．y＝0.5(x＋1) B．y＝log3x＋1.5
C．y＝2x－1 D．y＝2
8．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63 C．66 D．69
9．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为( )
A．18件 B．20件 C．24件 D．30件
10．若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如表
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5
f(x) －1 0.875 －0.296 9 0.224 6 －0.051 51
那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度0.1)为( )
A．1.2 B．1.312 5 C．1.437 5 D．1.25
11．设函数f(x)＝若f(x)－b＝0有三个不等实数根，则b的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1，10]
C．(1，3] D．(0，3]
12．设函数f(x)＝1＋[x]－x，其中[x]表示不超过x的最大整数，若函数y＝logax的图象与函数f(x)的图象恰有2个交点，则实数a的取值范围是( )
A．[2，3) B．(2，3] C．(3，4] D．[3，4)
【补偿训练】
若关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )
A．(2，3) B．[2，3]
C．(1，5) D．[1，5]
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则a＝________．
14．用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为________.
15．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降到40 ℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，还需要________分钟．
16．已知函数f(x)＝x·|x|－4x，则该函数的单调递增区间为________，若方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值集合是________．
三、解答题(共70分)
17．(10分)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x＋x，求f(x)的解析式．
18．(12分)已知函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1，
(1)m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？
(2)如果函数的一个零点在原点，求m的值．
19．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式．
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
20．(12分)关于x的方程x2－2x＋a＝0，求a为何值时：
(1)方程一根大于1，一根小于1
(2)方程一个根在(－1，1)内，另一个根在(2，3)内？
(3)方程的两个根都大于零？
21．(12分)某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240 km的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的下列数据：
v 0 40 60 80 120
F 0 10 20
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型F＝av3＋bv2＋cv.
(1)求函数解析式；
(2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
22．(12分)已知函数f(x)＝
(1)计算f的值．
(2)讨论函数f(x)的单调性，并写出f(x)的单调区间．
(3)设函数g(x)＝f(x)＋c，若函数g(x)有三个零点，求实数c的取值范围．
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