2021-2022学年湘教版九年级上册数学期中复习试卷（Word版，附答案解析）

2021-2022学年湘教新版九年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．方程（3x﹣2）（x+1）＝0的解是（　　）
A．x＝ B．x＝﹣1
C．x1＝﹣，x2＝1 D．x1＝，x2＝﹣1
3．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知反比例函数，下列说法中正确的是（　　）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（﹣4，﹣3）在函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．若点（﹣2，y1）和（﹣1，y2）在该函数图象上，则y1＜y2
5．下列图形中不一定相似的是（　　）
A．两个矩形 B．两个圆
C．两个正方形 D．两个等边三角形
6．若一元二次方程（x﹣2）2＝9可转化为两个一元一次方程，一个一元一次方程是x﹣2＝3，则另一个一元一次方程是（　　）
A．x﹣2＝3 B．x﹣2＝﹣3 C．x+2＝3 D．x+2＝﹣3
7．在函数y＝（a为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
8．若关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
9．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝6，点E在边CD上，且CE＝m．连接BE，将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上，则m＝（　　）
A．3 B．2 C． D．5
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．若函数y＝m是反比例函数，则m＝　 　．
12．已知a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根a，则a2﹣2017a+的值为　 　．
13．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为 　 　米．
14．反比例函数y＝的图象在一、三象限，则m应满足　 　．
15．已知（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　 　．
16．如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于A（﹣2，），B（1，﹣3）两点，则不等式kx+b＜的解集为　 　．
17．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润20元．为扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价4元，平均每天可多售出20箱．若要使每天销售这种饮料获利1280元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，可列方程，得 　 　．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB中点．若在AC边上取点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为　 　．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（10分）解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0．
20．（12分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 　 　；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为 　 　．
21．（8分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA BE；
（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
22．（10分）对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．
（1）求﹣2△的值；
（2）如果关于x的方程x△（a△x）＝有两个相等的实数根，求实数a的值．
23．（8分）在线段AB上存在一点C，满足AC：CB＝CB：AB＝k．
（1）求k的值．
（2）如果三条线段a、b、c满足a：b＝b：c＝k，问这三条线段能否构成三角形，如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
（1）求线段DE的长；
（2）取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F．延长线段BM交边AC于点G，在图②中补全图形并求的值．
25．（10分）受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
（1）分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与x的函数表达式．
（2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？
（3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？
26．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：作CE⊥x轴于E，
∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，
∴OA＝CE＝2，
∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠BEC，
∴△AOB∽△BEC，
∴＝，即＝，
∴BE＝4，
∴OE＝5，
∵点D是AC的中点，
∴D（，2）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，
∴k＝×2＝5．
故选：B．
2．解：方程（3x﹣2）（x+1）＝0，
可得3x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣1．
故选：D．
3．解：设＝＝＝k，
则x＝3k，y＝4k，z＝6k，
所以
＝
＝
＝，
故选：A．
4．解：A、k＝﹣6＜0，函数的图象在第二、四象限，故说法错误；
B、因为﹣3×（﹣4）＝12≠﹣6，所以点（﹣4，﹣3）不在函数图象上，故说法错误
C、k＝﹣6＜0，在每个象限内，y随着x的增大而增大，故说法错误；
D、k＝﹣6＜0，在每个象限内，y随着x的增大而增大，因为﹣2＜﹣1＜0，则y1＜y2，故说法正确；
故选：D．
5．解：A．所有的矩形，对应边不一定成比例，对应角一定相等，故不一定相似，故本选项符合题意；
B．所有的圆，一定相似，故本选项不合题意；
C．所有的正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意；
D．所有的等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意．
故选：A．
6．解：原方程两边开方可得：x﹣2＝±3，
即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
故选：B．
7．解：∵﹣a2﹣1＜0，
∴函数y＝（a为常数）的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴点（﹣3，y1），（﹣1，y2）在第二象限，
∴y2＞y1＞0，
∵2＞0，
∴点（2，y3）在第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
8．解：（1）当k＝0时，﹣6x+9＝0，解得x＝；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，
由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1．
故选：B．
9．解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C．此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意；
D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝m，∠A＝∠D＝∠C＝90°．
∵将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上，
∴BC'＝BC＝6，∠BC'E＝∠C＝90°，C'E＝CE＝m，DE＝CD﹣CE＝m﹣m＝m，
∴DE＝C'E，
∴∠DC'E＝30°，
∴∠AC'B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴AB＝BC'×sin∠AC'B＝6×＝3，
即m＝3；
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．解：∵函数y＝m是反比例函数，
∴m2+3m﹣1＝﹣1，m≠0，
解得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
12．解：根据题意可知：a2﹣2018a+1＝0，
∴a2+1＝2018a，
a2﹣2017a＝a﹣1，
∴原式＝a2﹣2017a+
＝a﹣1+
＝﹣1
＝2018﹣1
＝2017
故答案为：2017
13．解：由题意知：AB∥CD，
则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴CD＝3米，
故答案为：3．
14．解：∵反比例函数y＝的图象在一、三象限，
∴m﹣3＞0，
解得m＞3．
故答案为：m＞3．
15．解：∵（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
16．解：∵两函数的交点A和B的横坐标分别为﹣2和1，
∴当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴不等式kx+b＜的解集为﹣2＜x＜0或x＞1，
故答案为﹣2＜x＜0或x＞1．
17．解：设每箱应降价x元，则销售数量为：（100+×20）箱，
根据题意，得（20﹣x）（100+×20）＝1280，
故答案是：（20﹣x）（100+×20）＝1280．
18．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝，
当△ADE∽△ABC时，，即，
解得，AE＝2，
当△ADE∽△ACB时，，即，
解得，AE＝，
故答案为：2或．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．解：（1）∵（x﹣3）2＝4，
∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得x1＝5，x2＝1；
（2）∵x2﹣4x﹣8＝0，
∴x2﹣4x＝8，
则x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．
20．解：（1）将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+10，
将A（2，8）代入y2＝得8＝，解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，
故答案为x＞8或0＜x＜2；
（3）由题意可知OA＝OC，
∴S△APC＝2S△AOP，
把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，
∴D（10，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝﹣＝30，
∵S△PAC＝S△AOB＝×30＝24，
∴2S△AOP＝24，
∴2××yA＝24，即2×OP×8＝24，
∴OP＝3，
∴P（3，0）或P（﹣3，0），
故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）．
21．证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴BD2＝BA BE；
（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA BE，
∴BD＝4，
∴DE＝＝＝4，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，
∴∠ABD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DBC，
又∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△DCE，
∴，
∴，
∴EC＝4，CD＝4．
方法二、∵sin∠DBE＝＝＝，
∴∠DBE＝30°，
∴∠ABD＝∠DBE＝30°，
∴∠C＝30°，
∴∠C＝∠DBC，
∴BD＝CD，
∵∠ABD＝30°，
∴cos∠ABD＝＝
∴BD＝4，
∴CD＝4．
22．解：（1）﹣2△＝﹣2×+＝﹣2×4+4＝﹣4；
（2）∵a△x＝ax+x，
∴x△（a△x）＝x（ax+x）+ax+x，
∴关于x的方程x△（a△x）＝化为x（ax+x）+ax+x＝﹣，
整理得（a+1）x2+（a+1）x+＝0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴a+1≠0且Δ＝（a+1）2﹣4（a+1）×＝0，解得a＝0，
即a的值为0．
23．解：（1）因为AC：CB＝CB：AB＝k，不妨设AB＝1，则
CB＝k，AC＝k2．
又∵AC+BC＝AB，
∴k2+k＝1，
∴．
又因为k＞0，
∴．
（2）因为a：b＝b：c＝k，
所以，
∴a+b＝c．
所以线段a、b、c不能构成三角形．
24．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝，
∴CD＝1，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴BC＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∵DE∥CA，
∴△BDE∽△BCA，
∴＝，
∴DE＝；
（2）如图，
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴，
∴DF＝AG，
∵DE∥CA，
∴，，
∴，
∵BD＝2，BC＝3，DF＝AG，
∴．
25．解：（1）（0＜x≤5，且x为整数）y＝10x﹣30（x＞5且x为整数）．
（2）在函数y＝10x﹣30中，令y＝100，得10x﹣30＝100，
解得：x＝13，
答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元．
（3）在函数中，
当y＝50时，x＝2，
∵100＞0，y随x的增大而减小，
∴当y＜50时，x＞2，
在函数y＝10x﹣30中，
当y＜50时，得10x﹣30＜50
解得：x＜8
∴2＜x＜8且x为整数；
∴x可取3，4，5，6，7；共5个月．
答：该化工厂资金紧张期共有5个月．
26．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意，得：（6﹣x）×2x＝8，
化简，得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，
依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，
化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，
解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm．