《函数的单调性与导数》
题型一 不含参数的函数的单调性（单调性判断、求单调区间）
1．函数的单调递增区间为
【解析】由题得，令得：或 ，
故单调递增区间为：
2．已知函数，则的单调减区间是
【解析】由题意，得：，
∴：即，单调递减；故单调减区间为
3．函数的单调递减区间是
【解析】∵，∴，解不等式，解得，因此，函数的单调递减区间是．
4．函数的单调增区间是
【解析】由题意得：定义域为，，
令，解得：或，的单调增区间为，.
5．函数的单调递减区间为
【解析】函数的定义域为，，
令，可得，解得，.
因此，函数的单调递减区间为.
6．函数的单调减区间为
【解析】，，
由，即，解得 ，
，即函数的单调减区间为
7．函数的单调递减区间为
【解析】，可知函数的定义域为，
，令，即，解得：，
所以函数的单调递减区间为.
8．函数的单调递减区间是
【解析】函数的定义域为：，
，
当时，函数单调递减，因为，所以解得，故单调递减区间是
9．设，则的单调递减区间为
【解析】由题意，函数，可得函数的定义域为，
则，令，解得，
因为，解得，所以函数的单调区间为.
10．函数的单调递增区间是
【解析】函数的定义域为，
由，得，
令，得，所以函数的增区间为
11．函数的单调递增区间为
【解析】函数的定义域为，
由，得，
令，得，，
解得或（舍去），所以函数的单调递增区间为
12．已知函数，则的单调递增区间是___________.
【解析】由题得，，令得，
所以的单调递增区间为.故答案为：（填也可以）
13．求下列函数的单调区间．
（1）；（2）．
【解析】（1）由题得函数的定义域为.
，
令，即，解得；
令，即，解得或，
故所求函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．
（2）由题得函数的定义域为.
令，得，即（），
令，得，即（），
故的单调递增区间为（），单调递减区间（）．
14．已知函数在处的切线方程．
（1）求，的值；（2）求的单调区间．
【解析】（1），由已知可得，解得.
（2）由（1）可得，∴，
令，解得；令，解得，
∴在单调递减，在单调递增.
15．利用导数判断下列函数的单调性:
（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）因为， 所以
所以在R上单调递增.
（2）因为， 所以
所以，函数在 上单调递减.
（3）因为， ，所以
所以，函数在 和上单调递增.
题型二 含参数的函数的单调性（单调性判断、求单调区间）
1．函数（）的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．和
【解析】（），令，解得，
故在上单调递增，故选：B．
2．设函数．求函数的单调区间；
【解析】由，，可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得
所以在单调递减，在单调递增；
3．已知函数，.讨论的单调性；
【解析】的定义域为且.
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
4．已知函数.讨论函数的单调性；
【解析】由题意，函数，可得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
5．设函数其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线斜率；
（2）求函数的单调区间．
【解析】（1）由题设，，则，
∴，故点处的切线斜率为1.
（2）由题设，，又，
∴，且，
当时，，单调递增；
当时，或，单调递减；
∴在上递增，在、上递减.
6．已知函数.讨论函数的单调性；
【解析】函数的定义域为，
.
①当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
②当时，，由可得，由可得或，
此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；
③当时，对任意的，且不恒为零，此时函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
④当时，，由可得，由可得或，
此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
7．已知函数．讨论函数的单调性
【解析】且定义域为，
则，
当时，，则在上单调递增；
令，，，对称轴方程为，
当时，开口向下，对称轴为，故在上单调递减，则，∴，则在上单调递增．
当时，，
有两个不等实数根，，∴得出，得出，
则在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增．
当时，在上单调递增，在上单调递减．
题型三 函数与导函数图像之间的关系
1．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________.
【解析】由y＝f ′(x)的图象可得当和时，，此时单调递增，所以函数f (x)的单调递增区间是和.
2．如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（ ）
A．函数在区间上是减函数 B．函数在区间上是减函数
C．函数在区间上是减函数 D．函数在区间上是单调函数
【解析】由函数的导函数的图像知，
A：时，，函数单调递减，故A正确；
B：时，或，
所以函数先单调递减，再单调递增，故B错误；
C：时，，函数单调递增，故C错误；
D：时，或，
所以函数先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D错误.
故选：A
3．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由图象知，当或时，，函数为增函数，当或时，，函数为减函数，对应图象为A.故选：A．
4．已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，则其导函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由函数的图象，知当时，是单调递减的，所以；
当时，先增加，后减少，最后增加，所以先正后负，最后为正．
故选：D．
5．在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【解析】当时，，满足，此时不等式解得；
当时，，若，解得，
当时，，若，此时不等式无解.
综上可得不等式的解集为.故选：A
6．已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数的图像最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由导函数图象可知，在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减，
在（-2，0）上单调递增，故选：A．
7．设函数的图象如图所示，则导函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由函数图象可知，时，函数单调递减，此时，时，单调递增，，当时，函数单调递减，此时，根据选项判断，只有C满足条件.故选：C
8．函数在的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【解析】，.所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B选项.，排除A选项.，，排除C选项.
故选：D
题型四 函数单调性的应用
类型一 根据函数的单调性求参数
1．若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是
【解析】若函数是上的单调函数，只需或恒成立，显然，不可能恒成立，即只有恒成立，所以，∴.
2．已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是
【解析】因为，
令可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间上单调递减，
则区间（2m，m+1）是区间的子区间，所以，求解不等式组可得：，
解得-1≤m<1，所以实数m的取值范围是.
3．若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以
是
【解析】定义域为，；
由得函数的增区间为；由得函数的减区间为；
因为在区间上单调，所以或，解得或
4．函数在上是单调递增函数，则的取值范围是_____________.
【解析】函数在上是单调递增函数，则在上恒成立，等价于在上恒成立，即
在上单调递增，的最小值为3，所以.
5．已知函数的单调递减区间是，则的值为______.
【解析】由题设，，由单调递减区间是，
∴的解集为，则是的解集，
∴，可得，故.
6．若函数的单调减区间是则实数________．
【解析】由题设，，
∴上，即是的两个根，∴，可得.
7．若函数在其定义域上单调递增，则实数a的取值范围是___.
【解析】函数的定义域为，，
因为函数在其定义域上单调递增，
所以在上恒成立，则恒成立，
令，因为，所以，当是取得最大值，所以.
8．已知在R上是减函数，则a的取值范围是
【解析】函数的导数.
等价于对恒成立.即，即得
综上，所求a的取值范围是.
29．已知函数为单调递增函数，则实数的取值范围是 ．
【解析】由已知得，因为在上是单调增函数，
所以在上恒成立，
即对恒成立，因为，所以只需.
9．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是
【解析】依题意在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，令，
，
在上递增，，所以.所以的取值范围是.
10．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是
【解析】因为在上单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又函数在上为增函数，所以，故.
11．若函数存在递减区间，则实数的取值范围是
【解析】由题设，，由存在递减区间，即存在使，
∴，可得或.
12．函数在上不单调，则的取值范围为
【解析】求导可得，
由，可得，
所以的最小值为，若要函数在上不单调，
则，解得
13．若在上是减函数，则的取值范围是
【解析】由题知，，.
若在上是减函数，则在上恒成立，
由得，，
当时，，所以.
14．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为
【解析】因为，所以．
要使函数单调递增，则恒成立．即恒成立．
所以，因为
所以，所以，即．
15．已知函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是______．
【解析】因为在上存在单调递增区间，
所以在有解，
令，则，，得
16．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围
是
【解析】因为在区间上不是单调函数，
所以在区间上有解，即在区间上有解．
令，则．当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．又因为，且当时，
所以在区间上单调递增，所以，解得.
17．已知函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是
【解析】∵函数在定义域内存在单调递减区间，
∴在上能成立，∴.
令，即为.
∵的最大值为，∴，∴实数的取值范围为.
18．已知函数.若g(x)在(－2，－1)内不单调，则实数a的取值范围为
【解析】由，得，
当在内为减函数时，则在内恒成立，
所以在内恒成立，
当在内为增函数时，则在内恒成立，
所以在内恒成立，
令，因为y＝x＋在(－2，－)内单调递增，在(－，－1)内单调递减，
所以y＝x＋的值域为(－3，－2)，所以或
所以函数g(x)在(－2，－1)内单调时，a的取值范围是(－∞，－3]∪[－2，＋∞)，
故g(x)在(－2，－1)上不单调时，实数a的取值范围是(－3，－2).
19．已知函数，.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数在区间内是减函数，求的取值范围；
（3）若函数的单调减区间是，求的值.
【解析】（1）由题意知，，
当时，恒成立，所以的单调递增区间是；
当时，令，令，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，令，令，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由(1)知，当时，有，所以，
解得，即a的取值范围为；
（3）由(1)知，当时，有，所以，解得.
类型二 比较大小
1．已知函数，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】，，∴当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数，又，∴.
故选：C.
2．定义在上的函数，若，，，则比较，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由对数函数性质知，，所以，
恒成立，在上是增函数，所以．故选：C．
3．已知实数，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由，，，得，，，
又，即，同理，即，
所以，即，
设函数，在上恒成立，
故函数在上单调递增，所以，故选：A.
4．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A． B．或 C． D．
【解析】设，则函数的导函数，
的导函数，，则函数单调递减，
，，则不等式，等价为，
即，则，即的解集为，故选：C.
5．定义在上的奇函数的图象光滑连续不断，其导函数为，对任意正实数恒有，若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数为上的奇函数，则的定义域为，
且，所以，函数为奇函数，且，
对任意正实数恒有，即，
则，
所以，函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，
因为函数在上连续，故函数在上为增函数，
由得，
所以，，故有，解得或.故选：D.
6．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为
【解析】因为偶函数的定义域为，设，
则，即也是偶函数.
当时，根据题意，则在上是减函数，而函数为偶函数，则在上是增函数.
于是，，
所以.
2
2《函数的单调性与导数》
题型一 不含参数的函数的单调性（单调性判断、求单调区间）
1．函数的单调递增区间为
2．已知函数，则的单调减区间是
3．函数的单调递减区间是
4．函数的单调增区间是
5．函数的单调递减区间为
6．函数的单调减区间为
7．函数的单调递减区间为
8．函数的单调递减区间是
9．设，则的单调递减区间为
10．函数的单调递增区间是
11．函数的单调递增区间为
12．已知函数，则的单调递增区间是___________.
13．求下列函数的单调区间．
（1）；（2）．
14．已知函数在处的切线方程．
（1）求，的值；（2）求的单调区间．
15．利用导数判断下列函数的单调性:
（1）；（2）；（3）.
题型二 含参数的函数的单调性（单调性判断、求单调区间）
1．函数（）的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．和
2．设函数．求函数的单调区间；
3．已知函数，.讨论的单调性；
4．已知函数.讨论函数的单调性；
5．设函数其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线斜率；
（2）求函数的单调区间．
6．已知函数.讨论函数的单调性；
7．已知函数．讨论函数的单调性
题型三 函数与导函数图像之间的关系
1．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________.
2．如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（ ）
A．函数在区间上是减函数 B．函数在区间上是减函数
C．函数在区间上是减函数 D．函数在区间上是单调函数
3．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，则其导函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
5．在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数的图像最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
7．设函数的图象如图所示，则导函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
8．函数在的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
题型四 函数单调性的应用
类型一 根据函数的单调性求参数
1．若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是
2．已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是
3．若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以
是
4．函数在上是单调递增函数，则的取值范围是_____________.
5．已知函数的单调递减区间是，则的值为______.
6．若函数的单调减区间是则实数________．
7．若函数在其定义域上单调递增，则实数a的取值范围是___.
8．已知在R上是减函数，则a的取值范围是
29．已知函数为单调递增函数，则实数的取值范围是 ．
9．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是
10．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是
11．若函数存在递减区间，则实数的取值范围是
12．函数在上不单调，则的取值范围为
13．若在上是减函数，则的取值范围是
14．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为
15．已知函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是______．
16．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围
是
17．已知函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是
18．已知函数.若g(x)在(－2，－1)内不单调，则实数a的取值范围为
19．已知函数，.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数在区间内是减函数，求的取值范围；
（3）若函数的单调减区间是，求的值.
类型二 比较大小
1．已知函数，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．定义在上的函数，若，，，则比较，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A． B．或 C． D．
5．定义在上的奇函数的图象光滑连续不断，其导函数为，对任意正实数恒有，若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为
2
2
