人教版数学八上高分笔记之导与练14.3.2.2运用完全平方公式分解因式（原卷+答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八上高分笔记之导与练14.3.2.2运用完全平方公式分解因式（原卷+答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 869.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-07 10:34:44 | ||
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文档简介
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14.3 因式分解
第2课时 运用完全平方公式分解因式
知识要点：
两个数的 ，加上（或减去）这两数的乘积的 倍，等于这两个数的和（或差）的 用式子表示为＿________
2．分解因式：（1）x2＋4x＋4＝__________ (2)x2-4x+4= _________
易错点睛：
若9x2＋kxy＋4y2是一个完全平方式，则k的值为 ________
典例讲解：
题型一、利用完全平方公式求值
例1、［整体思想］已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解题策略:求值问题中，如果根据已知条件不容易求出单个字母的值，就可以通过因式分解构造含有已知数值的式子，再整体代入求值.
变式练习：
［成都中考］已知a＝7-3b，则a2＋6ab＋9b2的值为______
2、已知㎡＝3n＋a，n＝3m＋a，m≠n，求㎡＋2mn＋n2的值．
题型二、因式分解在三角形中的应用
例2、［转化思想］如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，求三角形的周长.
解题策略：运用完全平方公式，将原式化为几个非负数的和等于0的形式，可得每个非负数都等于0．
变式练习：
3、阅读下列材料：
例题：若x2＋y2-2x＋6y＋10＝0，求x和y的值.
解：因为x2＋y2-2x＋6y＋10＝0，
所以x2-2x＋1＋x2＋6y＋9＝0，即（x-1）2＋（y＋3）2＝0．
所以x-1＝0，y＋3＝0．
所以x＝1，y＝-3．
根据上述材料解答下列问题：
（1）已知x2＋5y2＋4xy-2y＋1＝0，求2x-3y的值；
（2）已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边长，且满足5a2＋b2＝6a＋4ab-9，求该三角形的周长.
基础练习：
1．下列式子中是完全平方式的是（ ）
A.a2+2a+1 B.a2+2a+4 C.a2-2b+b2 D.a2+ab+b2
2．若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是（ ）
A.16 B.8 C.4 D.2
3．把4a2-4a＋1分解因式，结果正确的是（ ）
A.(4a-1)2 B.(4a+1)2 C.(2a-1)2 D.(2a+1)2
4．填空：（1）若x2-6x＋k是完全平方式，则k＝________
（2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝ _______
5．把代数式ax2-4ax＋4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A.a(x-2)2 B.a(x+2)2 C.a(x-4)2 D.a(x+2)(x-2)
6．计算：872＋87x26＋132＝________
7．已知x2＋kxy＋64y2是完全平方式，则k的值是（ )
A.8 B.±8 C.16 D.±16
8．若m＝2n＋7，则㎡-4mn＋4n2的值是_______
9．分解因式：
(1)-2xy-x2-y2; (2)(a+b)2+6(a+b)+9;
(3)a(a+4)+4; (4)a4-2a2+1.
10.已知x＋y＝4，xy＝2，求x3y＋2x2y2＋xy3的值．
11.若a2＋b2-6a＋10b＋34＝0，求a＋b的值．
12.．若ΔABC的三边长分别是a，b，c．
（1）当b2-c2＋2ab-2ac＝0时，求证：ΔABC是等腰三角形；
（2）求证：a2＋c2-b2-2ac＜0．
答案：
知识要点：
1．两个数的 平方和 ，加上（或减去）这两数的乘积的2 倍，等于这两个数的和（或差）的 平方用式子表示为＿a2±2ab＋b2＝（a±b）2
2．分解因式：（1）x2＋4x＋4＝（x＋2）2 (2)x2-4x+4= （x-2）2
易错点睛：
若9x2＋kxy＋4y2是一个完全平方式，则k的值为 ±12
【点睛】 形如a2±2ab＋b2的式子都是完全平方式，题容易漏解.
【解】9x2＋kxy＋4y2是完全平方式，.kxy=±2x3x·2y,∴k=±12.
典例讲解：
题型一、利用完全平方公式求值
例1、［整体思想］已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
思路分析
解：原式＝ab（a2＋2ab＋b2）＝ab（a＋b）2．
当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2x52＝50．
解题策略:求值问题中，如果根据已知条件不容易求出单个字母的值，就可以通过因式分解构造含有已知数值的式子，再整体代入求值.
变式练习：
1、［成都中考］已知a＝7-3b，则a2＋6ab＋9b2的值为49
2、已知㎡＝3n＋a，n＝3m＋a，m≠n，求㎡＋2mn＋n2的值．
解：因为㎡＝3n＋a，n＝3m＋a，所以㎡-㎡＝3n-3m，所以（m＋n）（m-n）＋3（m-n）＝0，所以（m-n）［（m＋n）＋3］＝0，因为m≠n，所以（m＋n）＋3＝0，所以m＋n＝-3，所以㎡＋2mn＋n2＝（m＋n）2＝（-3）2＝9．
题型二、因式分解在三角形中的应用
例2、［转化思想］如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，求三角形的周长.
解：因为a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，所以a2-6a＋9＋b2-8b＋16＋c2-10c＋25＝0， 即（a-3）2＋（b-4）2＋（c-5）2＝0．所以a-3＝0，b-4＝0，c-5＝0，所以a＝3，b＝4，c＝5．因为3＋4＞5，所以能组成三角形．所以a＋b＋c＝3＋4＋5＝12，即三角形的周长为12．
解题策略：运用完全平方公式，将原式化为几个非负数的和等于0的形式，可得每个非负数都等于0．
变式练习：
3、阅读下列材料：
例题：若x2＋y2-2x＋6y＋10＝0，求x和y的值.
解：因为x2＋y2-2x＋6y＋10＝0，
所以x2-2x＋1＋x2＋6y＋9＝0，即（x-1）2＋（y＋3）2＝0．
所以x-1＝0，y＋3＝0．
所以x＝1，y＝-3．
根据上述材料解答下列问题：
（1）已知x2＋5y2＋4xy-2y＋1＝0，求2x-3y的值；
（2）已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边长，且满足5a2＋b2＝6a＋4ab-9，求该三角形的周长.
解：（1）2x-3y＝2x（-2）-3x1＝-7．
（2）该三角形的周长为15．
基础练习：
1．下列式子中是完全平方式的是（ A ）
A.a2+2a+1 B.a2+2a+4 C.a2-2b+b2 D.a2+ab+b2
2．若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是（ A ）
A.16 B.8 C.4 D.2
3．把4a2-4a＋1分解因式，结果正确的是（ C ）
A.(4a-1)2 B.(4a+1)2 C.(2a-1)2 D.(2a+1)2
4．填空：（1）若x2-6x＋k是完全平方式，则k＝ 9
（2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝ ±4
5．把代数式ax2-4ax＋4a分解因式，下列结果中正确的是（ A ）
A.a(x-2)2 B.a(x+2)2 C.a(x-4)2 D.a(x+2)(x-2)
6．计算：872＋87x26＋132＝10000
7．已知x2＋kxy＋64y2是完全平方式，则k的值是（ D )
A.8 B.±8 C.16 D.±16
8．若m＝2n＋7，则㎡-4mn＋4n2的值是 49
9．分解因式：
(1)-2xy-x2-y2; (2)(a+b)2+6(a+b)+9;
解：-（x＋y）2； 解：（a＋b＋3）2；
(3)a(a+4)+4; (4)a4-2a2+1.
解：（a＋2）2； 解：（a＋1）2（a-1）2．
10.已知x＋y＝4，xy＝2，求x3y＋2x2y2＋xy3的值．
解：原式＝xy（x＋y）2＝32．
11.若a2＋b2-6a＋10b＋34＝0，求a＋b的值．
解：（a-3）2＋（b＋5）2＝0，∴a＋b＝-2．
12.．若ΔABC的三边长分别是a，b，c．
（1）当b2-c2＋2ab-2ac＝0时，求证：ΔABC是等腰三角形；
（2）求证：a2＋c2-b2-2ac＜0．
解：（1）（b＋c）（b-c）＋2a（b-c）＝0，即（b-c）（b＋c＋2a）＝0，根据题意，得b＋c＋2a为正，因此b-c＝0，∴b＝c，即ΔABC是等腰三角形；
(2)a2-b2+c2-2ac=(a2-2ac+c2)-b2=(a-c)2-b2=(a+b-c)(a-b-c), 根据三角形的三边关系可知，a＋b-c为正，a-b-c为负，∴a2＋c2-b2-2ac＜0
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14.3 因式分解
第2课时 运用完全平方公式分解因式
知识要点：
两个数的 ，加上（或减去）这两数的乘积的 倍，等于这两个数的和（或差）的 用式子表示为＿________
2．分解因式：（1）x2＋4x＋4＝__________ (2)x2-4x+4= _________
易错点睛：
若9x2＋kxy＋4y2是一个完全平方式，则k的值为 ________
典例讲解：
题型一、利用完全平方公式求值
例1、［整体思想］已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解题策略:求值问题中，如果根据已知条件不容易求出单个字母的值，就可以通过因式分解构造含有已知数值的式子，再整体代入求值.
变式练习：
［成都中考］已知a＝7-3b，则a2＋6ab＋9b2的值为______
2、已知㎡＝3n＋a，n＝3m＋a，m≠n，求㎡＋2mn＋n2的值．
题型二、因式分解在三角形中的应用
例2、［转化思想］如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，求三角形的周长.
解题策略：运用完全平方公式，将原式化为几个非负数的和等于0的形式，可得每个非负数都等于0．
变式练习：
3、阅读下列材料：
例题：若x2＋y2-2x＋6y＋10＝0，求x和y的值.
解：因为x2＋y2-2x＋6y＋10＝0，
所以x2-2x＋1＋x2＋6y＋9＝0，即（x-1）2＋（y＋3）2＝0．
所以x-1＝0，y＋3＝0．
所以x＝1，y＝-3．
根据上述材料解答下列问题：
（1）已知x2＋5y2＋4xy-2y＋1＝0，求2x-3y的值；
（2）已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边长，且满足5a2＋b2＝6a＋4ab-9，求该三角形的周长.
基础练习：
1．下列式子中是完全平方式的是（ ）
A.a2+2a+1 B.a2+2a+4 C.a2-2b+b2 D.a2+ab+b2
2．若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是（ ）
A.16 B.8 C.4 D.2
3．把4a2-4a＋1分解因式，结果正确的是（ ）
A.(4a-1)2 B.(4a+1)2 C.(2a-1)2 D.(2a+1)2
4．填空：（1）若x2-6x＋k是完全平方式，则k＝________
（2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝ _______
5．把代数式ax2-4ax＋4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A.a(x-2)2 B.a(x+2)2 C.a(x-4)2 D.a(x+2)(x-2)
6．计算：872＋87x26＋132＝________
7．已知x2＋kxy＋64y2是完全平方式，则k的值是（ )
A.8 B.±8 C.16 D.±16
8．若m＝2n＋7，则㎡-4mn＋4n2的值是_______
9．分解因式：
(1)-2xy-x2-y2; (2)(a+b)2+6(a+b)+9;
(3)a(a+4)+4; (4)a4-2a2+1.
10.已知x＋y＝4，xy＝2，求x3y＋2x2y2＋xy3的值．
11.若a2＋b2-6a＋10b＋34＝0，求a＋b的值．
12.．若ΔABC的三边长分别是a，b，c．
（1）当b2-c2＋2ab-2ac＝0时，求证：ΔABC是等腰三角形；
（2）求证：a2＋c2-b2-2ac＜0．
答案：
知识要点：
1．两个数的 平方和 ，加上（或减去）这两数的乘积的2 倍，等于这两个数的和（或差）的 平方用式子表示为＿a2±2ab＋b2＝（a±b）2
2．分解因式：（1）x2＋4x＋4＝（x＋2）2 (2)x2-4x+4= （x-2）2
易错点睛：
若9x2＋kxy＋4y2是一个完全平方式，则k的值为 ±12
【点睛】 形如a2±2ab＋b2的式子都是完全平方式，题容易漏解.
【解】9x2＋kxy＋4y2是完全平方式，.kxy=±2x3x·2y,∴k=±12.
典例讲解：
题型一、利用完全平方公式求值
例1、［整体思想］已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
思路分析
解：原式＝ab（a2＋2ab＋b2）＝ab（a＋b）2．
当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2x52＝50．
解题策略:求值问题中，如果根据已知条件不容易求出单个字母的值，就可以通过因式分解构造含有已知数值的式子，再整体代入求值.
变式练习：
1、［成都中考］已知a＝7-3b，则a2＋6ab＋9b2的值为49
2、已知㎡＝3n＋a，n＝3m＋a，m≠n，求㎡＋2mn＋n2的值．
解：因为㎡＝3n＋a，n＝3m＋a，所以㎡-㎡＝3n-3m，所以（m＋n）（m-n）＋3（m-n）＝0，所以（m-n）［（m＋n）＋3］＝0，因为m≠n，所以（m＋n）＋3＝0，所以m＋n＝-3，所以㎡＋2mn＋n2＝（m＋n）2＝（-3）2＝9．
题型二、因式分解在三角形中的应用
例2、［转化思想］如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，求三角形的周长.
解：因为a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，所以a2-6a＋9＋b2-8b＋16＋c2-10c＋25＝0， 即（a-3）2＋（b-4）2＋（c-5）2＝0．所以a-3＝0，b-4＝0，c-5＝0，所以a＝3，b＝4，c＝5．因为3＋4＞5，所以能组成三角形．所以a＋b＋c＝3＋4＋5＝12，即三角形的周长为12．
解题策略：运用完全平方公式，将原式化为几个非负数的和等于0的形式，可得每个非负数都等于0．
变式练习：
3、阅读下列材料：
例题：若x2＋y2-2x＋6y＋10＝0，求x和y的值.
解：因为x2＋y2-2x＋6y＋10＝0，
所以x2-2x＋1＋x2＋6y＋9＝0，即（x-1）2＋（y＋3）2＝0．
所以x-1＝0，y＋3＝0．
所以x＝1，y＝-3．
根据上述材料解答下列问题：
（1）已知x2＋5y2＋4xy-2y＋1＝0，求2x-3y的值；
（2）已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边长，且满足5a2＋b2＝6a＋4ab-9，求该三角形的周长.
解：（1）2x-3y＝2x（-2）-3x1＝-7．
（2）该三角形的周长为15．
基础练习：
1．下列式子中是完全平方式的是（ A ）
A.a2+2a+1 B.a2+2a+4 C.a2-2b+b2 D.a2+ab+b2
2．若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是（ A ）
A.16 B.8 C.4 D.2
3．把4a2-4a＋1分解因式，结果正确的是（ C ）
A.(4a-1)2 B.(4a+1)2 C.(2a-1)2 D.(2a+1)2
4．填空：（1）若x2-6x＋k是完全平方式，则k＝ 9
（2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝ ±4
5．把代数式ax2-4ax＋4a分解因式，下列结果中正确的是（ A ）
A.a(x-2)2 B.a(x+2)2 C.a(x-4)2 D.a(x+2)(x-2)
6．计算：872＋87x26＋132＝10000
7．已知x2＋kxy＋64y2是完全平方式，则k的值是（ D )
A.8 B.±8 C.16 D.±16
8．若m＝2n＋7，则㎡-4mn＋4n2的值是 49
9．分解因式：
(1)-2xy-x2-y2; (2)(a+b)2+6(a+b)+9;
解：-（x＋y）2； 解：（a＋b＋3）2；
(3)a(a+4)+4; (4)a4-2a2+1.
解：（a＋2）2； 解：（a＋1）2（a-1）2．
10.已知x＋y＝4，xy＝2，求x3y＋2x2y2＋xy3的值．
解：原式＝xy（x＋y）2＝32．
11.若a2＋b2-6a＋10b＋34＝0，求a＋b的值．
解：（a-3）2＋（b＋5）2＝0，∴a＋b＝-2．
12.．若ΔABC的三边长分别是a，b，c．
（1）当b2-c2＋2ab-2ac＝0时，求证：ΔABC是等腰三角形；
（2）求证：a2＋c2-b2-2ac＜0．
解：（1）（b＋c）（b-c）＋2a（b-c）＝0，即（b-c）（b＋c＋2a）＝0，根据题意，得b＋c＋2a为正，因此b-c＝0，∴b＝c，即ΔABC是等腰三角形；
(2)a2-b2+c2-2ac=(a2-2ac+c2)-b2=(a-c)2-b2=(a+b-c)(a-b-c), 根据三角形的三边关系可知，a＋b-c为正，a-b-c为负，∴a2＋c2-b2-2ac＜0
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