人教版数学八上高分笔记之导与练14.3.2.1运用平方差公式因式分解（原卷+答案）

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14.3.2因式分解
第1课时 运用平方差公式分解因式
知识要点：
两个数的平方差，等于这两个数的 与这两个数的 的乘积，用式子表示为______＿
【点睛】先利用平方差公式因式分解，最后应检验最后的结果是否还能继续因式分解.
典例讲解
题型一、多次运用平方差公式分解因式
例1、把多项式-x4＋16分解因式，其结果为（ )
A.(4+x2)(2+x)(2-x)
B.(x2+4)(x2-4)
C.(16+x2)(4+x)(4-x)
D.-(4+x2)(2+x)(2-x)
变式练习：
1、分解因式：3a4-3b4＝________
2、分解因式：16x4-1.
题型二、利用因式分解求值
例2、［整体思想］若2m＋n＝25，m-2n＝2，则（m＋3n）2-（3m-n）2的值为（ )
A.200 B.-200 C.100 D.-100
变式练习：
3、［温州鹿城区期中］若x＋y＝3，x-y＝1，则x2-y2的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.-3
4、［孝感安陆市期末］若a＋b＝3，则a2＋6b-b2的值为（ ）
A.3 B.6 C.9 D.12
5、已知4x2-y2＝8，且2x＋y＝4，求2x-y的值.
基础练习：
1．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A.a2-b2 B.-a2-b2 C.a2+b2 D.a2+2a
2．因式分解x2-9y2的正确结果是（ ）
A.(x+9y)(x-9y) B.(x+3y)(x-3y) C.(x-3y)2 D.(x-9y)2
3．计算752-252等于（ ）
A.50 B.500 C.5000 D.7100
4．分解因式：（1）x2-9＝ ;(2)a2-4b2=______________
5．若x＋y＝-4，x-y＝2，则x2-y2的值是__________
6．若a＋b＝2，则a2-b2＋4b的值为（ ）
A.4 B.3 C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3)
7．一个长方形的面积是（x2-4）㎡，其长为（x＋2）m，则其宽为 _________.
8．将边长分别为（a＋b）和（a-b）的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果是 _________
9．把下列各式分解因式：
(1)x3-16x; (2)(x-1)2-4;
(3)(2a+1)2-a2; (4)x4-a4;
(5)16(a+b)2-9(a-b)2; (6)x2(a-b)+(b-a).
10．求证：不论n取何正整数，（n＋5）2-（n-1）2一定是12的倍数．
11.已知4m＋n＝40,2m-3n＝5，求（m＋2n）2-（3m-n）2的值．
12．如图，在一个边长为a的正方形木板上，锯掉边长为b的四个小正方形，当a＝18dm，b＝6dm时，求剩余部分的面积.
答案：
知识要点：
1．两个数的平方差，等于这两个数的 和 与这两个数的差 的乘积，用式子表示为＿a2-b2＝（a＋b）（a-b）
分解因式：（2a＋b）2-（a＋2b）2．
【点睛】先利用平方差公式因式分解，最后应检验最后的结果是否还能继续因式分解.
【解】原式＝3（a-b）（a＋b）．
典例讲解
题型一、多次运用平方差公式分解因式
例1、把多项式-x4＋16分解因式，其结果为（ )
A.(4+x2)(2+x)(2-x)
B.(x2+4)(x2-4)
C.(16+x2)(4+x)(4-x)
D.-(4+x2)(2+x)(2-x)
思路分析
答案：A
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.要注意在第一次分解完成以后，要检查是否还能继续分解.
变式练习：
1、分解因式：3a4-3b4＝________
解：原式＝（x2＋y2）（x2-y2）＝（x2＋y2）（x-y）·(x+y);
2、分解因式：16x4-1.
解：原式＝（4x2＋1）（2x＋1）（2x-1）．
题型二、利用因式分解求值
例2、［整体思想］若2m＋n＝25，m-2n＝2，则（m＋3n）2-（3m-n）2的值为（ )
A.200 B.-200 C.100 D.-100
答案：B
解题策略：通过分解因式将式子变形，化为含有已知式子的形式，然后整体代入求值.
变式练习：
3、［温州鹿城区期中］若x＋y＝3，x-y＝1，则x2-y2的值为（ C ）
A.1 B.2 C.3 D.-3
4、［孝感安陆市期末］若a＋b＝3，则a2＋6b-b2的值为（ C ）
A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】因为a＋b＝3，所以原式＝（a＋b）（a-b)+6b=3(a-b)+6b=3a+3b=3(a+b)=9.故选C.
5、已知4x2-y2＝8，且2x＋y＝4，求2x-y的值.
解：因为4x2-y2＝8，所以（2x＋y）（2x-y）＝8．又2x＋y＝4，
所以4（2x-y）＝8，所以2x-y＝2．
基础练习：
1．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（A）
A.a2-b2 B.-a2-b2 C.a2+b2 D.a2+2a
2．因式分解x2-9y2的正确结果是（ B ）
A.(x+9y)(x-9y) B.(x+3y)(x-3y) C.(x-3y)2 D.(x-9y)2
3．计算752-252等于（ C ）
A.50 B.500 C.5000 D.7100
4．分解因式：（1）x2-9＝（x＋3）（x-3） ;(2)a2-4b2= (a+2b)(a-2b)
5．若x＋y＝-4，x-y＝2，则x2-y2的值是 -8
6．若a＋b＝2，则a2-b2＋4b的值为（ A ）
A.4 B.3 C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3)
7．一个长方形的面积是（x2-4）㎡，其长为（x＋2）m，则其宽为 (x-2) m.
8．将边长分别为（a＋b）和（a-b）的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果是 4ab
9．把下列各式分解因式：
(1)x3-16x; (2)(x-1)2-4;
解：x（x＋4）（x-4）； 解：（x＋1）（x-3）；
(3)(2a+1)2-a2; (4)x4-a4;
解：（3a＋1）（a＋1）； 解：（x2＋a2）（x＋a）（x-a）；
(5)16(a+b)2-9(a-b)2; (6)x2(a-b)+(b-a).
解：（7a＋b）（a＋7b）； 解：（a-b）（x＋1）（x-1）．
10．求证：不论n取何正整数，（n＋5）2-（n-1）2一定是12的倍数．
解：（n＋5）2-（n-1）2＝12（n＋2），
因为n是正整数，∴（n＋5）2-（n-1）2一定是12的倍数．
11.已知4m＋n＝40,2m-3n＝5，求（m＋2n）2-（3m-n）2的值．
解：原式＝（m＋2n＋3m-n）（m＋2n-3m＋n）＝（4m＋n）（-2m＋3n）＝40x（-5）＝-200．
12．如图，在一个边长为a的正方形木板上，锯掉边长为b的四个小正方形，当a＝18dm，b＝6dm时，求剩余部分的面积.
解：a2-4b2＝（a＋2b）（a-2b）＝（18＋12）（18-12）＝30x6＝180（d㎡）
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