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27.2.1 相似三角形的判定（3）教案
课题 27.2.1 相似三角形的判定（3） 单元 第27单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 理解并掌握“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似” 的判定定理。会运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题。3.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维。
重点 “两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法。
难点 运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题判定两三角形相似的方法1.定义法: 对应角相等，对应边的比相等 的两个三角形相似.2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 相似 .3. 三边 对应成比例的两个三角形相似. 学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等、对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。 类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和2来判断两个三角形相似呢？如图，小方格的边长都是1.任意画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A ,=k ，动手计算它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？这两个三角形另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？∵小方格边长都是1∴=k，B′C′=，BC=3∴=k∵∴ △ABC ∽△A′B′C′.∴ ∠B=∠B'，∠C=∠C′.探究结果：如果∠A=∠A ,=k那么△ABC ∽△A′B′C′.教师提问：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，，∠A＝∠A′.求证:△ABC∽△A′B′C′.证明：在△A′B′C′的边A′B′ (或延长线)上截取A′D=AB, 过点 D 作 DE∥B′C′.∵ DE∥B′C′∴△A′DE∽△A′B′C′.∴又∵ ，A′D=AB∴ A′E=AC在△ABC和△A′DE中，A′D=AB，∠A＝∠A′，A′E=AC∴ △A′DE ≌△ABC∴ △ABC ∽△A′B′C′. 思考自议回答问题，回顾知识。 教师出示问题师生一起回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识。从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。
讲授新课 提炼概念利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似.简称“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．”符号语言：∵, ∠B=∠B′∴ △ ABC ∽ △A′B′C.【想一想】思考：对于△ABC和△A′B′C′，如果，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？不会。如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等。教师归纳：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.三、典例精讲【例】根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．解：，=，∴又 ∠A′ = ∠A∴ △ABC ∽△A′B′C′. 教师出示问题，师生共同探究关于两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的知识。 通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
课堂检测 四、巩固训练 1.如图，D是△ABC的边AC上一点，那么下面四个命题中错误的是 ( )A．如果∠ADB＝∠ABC，则△ADB∽△ABCB．如果∠ABD＝∠C，则△ABD∽△ACBC．如果＝，则△ABC∽△ADBD．如果＝，则△ADB∽△ABC答案：D3．如图所示，添上条件： ________________ ___________________________________________________，则△ABC∽△ADE.BC∥DE或∠ABC＝∠ADE或∠ACB＝∠AED或＝(答案不唯一) ∴△ABC∽△AED.如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. 4或95.已知：D，E是△ABC的边AB，AC上的点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9.求证：△ABC∽△AED.证明：∵AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9.∴＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠A＝∠A，
课堂小结 三角形相似的判定方法定理：__________________，且____________的两个三角形相似．两边对应成比例 夹角相等注意：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似．
A
B
C
D
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27.2.1 相似三角形的判定（3）学案
课题 27.2.1 相似三角形的判定（3） 单元 第27单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 理解并掌握“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似” 的判定定理。会运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题。3.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维。
重点 “两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法。
难点 运用“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题。
教学过程
导入新课 【引入思考】 判定两三角形相似的方法1.定义法: 的两个三角形相似.2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 .3. 对应成比例的两个三角形相似. 学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等、对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。 类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和2来判断两个三角形相似呢？如图，小方格的边长都是1.任意画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A ,=k ，动手计算它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？这两个三角形另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？
新知讲解 教师提问：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，，∠A＝∠A′.求证:△ABC∽△A′B′C′.提炼概念 利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似.简称“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．”符号语言：∵, ∠B=∠B′∴ △ ABC ∽ △A′B′C.【想一想】思考：对于△ABC和△A′B′C′，如果，∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？典例精讲 【例】根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
课堂练习 巩固训练1.如图，D是△ABC的边AC上一点，那么下面四个命题中错误的是 ( )A．如果∠ADB＝∠ABC，则△ADB∽△ABCB．如果∠ABD＝∠C，则△ABD∽△ACBC．如果＝，则△ABC∽△ADBD．如果＝，则△ADB∽△ABC3．如图所示，添上条件： ________________ ___________________________________________________，则△ABC∽△ADE.如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. 5.已知：D，E是△ABC的边AB，AC上的点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9.求证：△ABC∽△AED. 引入思考∵小方格边长都是1∴=k，B′C′=，BC=3∴=k∵∴ △ABC ∽△A′B′C′.∴ ∠B=∠B'，∠C=∠C′.探究结果：如果∠A=∠A ,=k那么△ABC ∽△A′B′C′.∴△A′DE∽△A′B′C′.∴又∵ ，A′D=AB∴ A′E=AC在△ABC和△A′DE中，A′D=AB，∠A＝∠A′，A′E=AC∴ △A′DE ≌△ABC∴ △ABC ∽△A′B′C′. 提炼概念典例精讲 【例】根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．解：，=，∴又 ∠A′ = ∠A∴ △ABC ∽△A′B′C′. 巩固训练答案：D3.BC∥DE或∠ABC＝∠ADE或∠ACB＝∠AED或＝(答案不唯一) 4. 4或95.证明：∵AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9.∴＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠A＝∠A，
课堂小结 小角形相似的判定方法定理：__________________，且____________的两个三角形相似．两边对应成比例 夹角相等注意：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似．
A
B
C
D
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人教版 九年级下
27.2.1 相似三角形的判定（3）
新知导入
情境引入
判断两三角形相似
1.定义法: 的两个三角形相似.
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 .
对应角相等，对应边的比相等
相似
3. 对应成比例的两个三角形相似.
三边
新知导入
合作学习
学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等、对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
A
B
C
B′
C′
(A′)
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
A(A′)
B
C
B′
C′
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
证明：
在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
∴
合作探究
A
B
C
D
E
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
∵ A′D=AB，
∴
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
提炼概念
相似三角形的判定定理（三）：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
归纳总结：
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 ∠B=∠B′，
这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
A
B
C
思考：
A′
B′
B″
C′
两个三角形两边对应成比例，相等的角一定要是两条对应边的夹角才能证明相似！
典例精讲
例1、根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，
∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
解：∵
∴
又 ∠A′ = ∠A，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
归纳概念
利用三角形两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法：
首先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列 找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似.
课堂练习
1.如图，D是△ABC的边AC上一点，那么下面四个命题中错误的是 ( )
D
知识点拨：当 △ADP ∽△ACB 时，
AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
△ADP 和 △ABC 相似．
A
B
C
D
4 或 9
P
P
4.如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
5.已知：D，E是△ABC的边AB，AC上的点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9.
求证：△ABC∽△AED.
作业布置
教材课后配套作业题。
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