4.3.1 空间直角坐标系题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2第四章（Word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 4.3.1 空间直角坐标系题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2第四章（Word版，含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 129.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-08 10:38:15 | ||
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文档简介
4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
基础过关练
题组一 空间直角坐标系
1.点M(a,b,0),N(0,a,b),P(a,0,b)分别在平面( )
A.xOy,yOz,xOz上 B.yOz,xOy,xOz上
C.xOz,yOz,xOy上 D.xOy,xOz,yOz上
2.点A(-1,2,1)在x轴上的射影和在xOy平面上的射影的坐标分别为( )
A.(-1,0,1),(-1,2,0)
B.(-1,0,0),(-1,2,0)
C.(-1,0,0),(-1,0,0)
D.(-1,2,0),(-1,2,0)
3.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则四边形AA1B1B对角线的交点坐标为( )
A. B.
C. D.
4.(湖北荆州高一期末)设A(1,-1,1),B(3,1,5),则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是( )
A.在y轴上 B.在xOy平面内
C.在xOz平面内 D.在yOz平面内
5.设z是任意实数,相应的点P(2,2,z)运动的轨迹是( )
A.一个平面 B.一条直线
C.一个圆 D.一个球
6.(河南禹州高一期中)如图,棱长为的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的x轴,y轴,z轴上,则顶点D的坐标为( )
A.(1,1,1) B.(,,)
C.(,,) D.(2,2,2)
题组二 空间中点的对称问题
7.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位置关系是( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于z轴对称 D.关于原点对称
8.在空间直角坐标系中,已知点M(a,b,c).给出下列命题:
①点M关于x轴对称的点M1的坐标为(a,-b,c);
②点M关于yOz平面对称的点M2的坐标为(a,-b,-c);
③点M关于y轴对称的点M3的坐标为(a,-b,c);
④点M关于原点对称的点M4的坐标为(-a,b,-c).
其中真命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
9.(安徽天长关塘中学高一期末)在空间直角坐标系Oxyz中,点(-1,2,-4)关于原点O对称的点的坐标为 .
10.(四川阆中中学高二期中)点P(-3,2,1)关于点Q(1,2,-3)对称的点M的坐标为 .
11.(江苏高二期末)在空间中,点(3,4,5)关于x轴对称的点的坐标为 .
12.(四川雅安中学高二月考)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是 .
能力提升练
一、选择题
1.(陕西高一期末,★★☆)点P(a,b,c)到坐标平面yOz的距离是( )
A. B.|a| C.|b| D.|c|
2.(★★☆)在空间直角坐标系中,点P(2,3,4)和点Q(-2,-3,-4)的位置关系是( )
A.关于x轴对称 B.关于yOz平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对
3.(★★☆)设x,y为任意实数,则相应的所有点P(x,y,3)的集合是( )
A.z轴上的两个点
B.过z轴上的(0,0,3)点且与z轴垂直的直线
C.过z轴上的(0,0,3)点且与z轴垂直的平面
D.以上答案都有可能
4.(★★☆)设y∈R,则点P(1,y,2)构成的集合为( )
A.垂直于xOz平面的一条直线
B.平行于xOz平面的一条直线
C.垂直于y轴的一个平面
D.平行于y轴的一个平面
5.(★★☆)点A(2,3-μ,-1+v)关于x轴对称的点为A'(λ,7,-6),则( )
A.λ=-2,μ=-1,v=-5 B.λ=2,μ=-4,v=-5
C.λ=2,μ=10,v=8 D.λ=2,μ=10,v=7
6.(2018四川成都外国语学校高一上期中,★★☆)已知线段AB的两个端点的坐标分别为A(9,-3,4)、B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( )
A.xOy平行 B.xOz平行
C.yOz平行 D.xOz或yOz平行
7.(★★☆)在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )
A.(4,0,6) B.(-4,7,-6)
C.(-4,0,-6) D.(-4,7,0)
二、填空题
8.(★★☆)已知平行四边形ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为 .
9.(★★☆)已知三角形ABC的三个顶点A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4),则三角形的重心的坐标为 .
10.(★★☆)若点P(a,b,c)既在平面xOy内,又在平面yOz内,则a+c= .
11.(云南高一期末,★★☆)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AD=4,AB=6,如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则该长方体的中心M的坐标为 .
三、解答题
12.(★★☆)四面体PABC中,PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=2,PC=1,E为线段AB的中点,建立适当的空间直角坐标系,并写出P、A、B、C、E的坐标.
13.(★★☆)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5,侧棱长为13,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.
14.(★★☆)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的空间直角坐标系,并写出各点的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.A 根据xOy平面上的点,竖坐标为0,yOz平面上的点的横坐标为0,xOz平面上的点的纵坐标为0,知M(a,b,0)在xOy平面上,N(0,a,b)在yOz平面上,P(a,0,b)在xOz平面上.故选A.
2.B 在空间直角坐标系中,点在某坐标轴或坐标平面上的射影满足下列条件:与坐标轴或坐标平面对应的坐标不变,其他的坐标为0.故选B.
3.B 如图,四边形AA1B1B对角线的交点的横坐标为线段AB的中点的横坐标,竖坐标为线段AA1的中点的竖坐标,纵坐标为0,所以四边形AA1B1B对角线的交点坐标为.故选B.
4.C ∵A(1,-1,1),B(3,1,5),∴线段AB的中点为(2,0,3).∵线段AB中点的纵坐标为0,∴此点是xOz平面内的点.故选C.
5.B 轨迹是过点(2,2,0)且与z轴平行的一条直线.
6.A 因为AB=BC=AC=,所以OA=OB=OC=1,将正四面体ABCD放入正方体中,如图所示,所以点D的坐标为(1,1,1).故选A.
7.B 由A,B两点的横坐标、竖坐标均互为相反数,纵坐标相同可知A,B关于y轴对称.
8.D ①点M关于x轴对称的点M1的坐标为(a,-b,-c),故命题①错误;
②点M关于yOz平面对称的点M2的坐标为(-a,b,c),故命题②错误;
③点M关于y轴对称的点M3的坐标为(-a,b,-c),故命题③错误;
④点M关于原点对称的点M4的坐标为(-a,-b,-c),故命题④错误.故选D.
9.答案 (1,-2,4)
10.答案 (5,2,-7)
解析 设M(x,y,z),因为点P关于点Q对称的点为M,所以Q是线段MP的中点,所以解得所以M(5,2,-7).
11.答案 (3,-4,-5)
解析 在空间中,点关于x轴对称的点:横坐标不变,纵坐标、竖坐标取相反数.
点(3,4,5)关于x轴对称的点的坐标为(3,-4,-5).
12.答案 (,-1,2)
解析 ∵直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,∴B(,1,0),∴顶点B1的坐标是(,1,2),则其关于xAz对称的点的坐标为(,-1,2).
能力提升练
一、选择题
1.B 由题意可知点P(a,b,c)到坐标平面yOz的距离是|a|,故选B.
2.C 点P和点Q的横、纵、竖坐标均互为相反数,故它们关于坐标原点对称.
3.C 由于点P的竖坐标为定值3,故当x,y∈R时,点P组成的集合为过点(0,0,3)且与z轴垂直的平面.
4.A 由空间直角坐标系的定义,易知点P(1,y,2)(y∈R)构成的集合为垂直于xOz平面的一条直线.
5.D 由对称性知解得
6.C ∵线段AB的两个端点的横坐标相等,纵坐标和竖坐标不等,故线段AB与坐标平面yOz平行.
7.C 点M关于y轴对称的点是M'(-4,7,-6),点M'在xOz平面上的射影的坐标为(-4,0,-6).
二、填空题
8.答案 (5,13,-3)
解析 设平行四边形ABCD的两条对角线的交点为P,则点P为AC,BD的中点.由A(4,1,3),C(3,7,-5),得点P的坐标为.又点B(2,-5,1),所以点D的坐标为(5,13,-3).
9.答案
解析 设重心坐标为(x,y,z).由题意得x==,y==1,z==.
10.答案 0
解析 点P在平面xOy和平面yOz的交线上,即y轴上,由y轴上点的坐标特征知a=0,c=0,b∈R,所以a+c=0.
11.答案 (2,3,1)
解析 由题意得B(4,6,0),D1(0,0,2),
因为M点是线段BD1的中点,所以点M的坐标为(2,3,1).
三、解答题
12.解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,1),又因为点E是线段AB的中点,所以点E的坐标是(1,1,0).
13.解析 若建立如图(1)所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为P(0,0,12),A,B,C,D.
若建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为P(0,0,12),A(5,0,0),B(0,5,0),C(-5,0,0),D(0,-5,0).
14.解析 如图所示,取AC的中点O和A1C1的中点O1,连接BO、OO1,可得BO⊥AC,BO⊥OO1,分别以OB,OC, OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.因为各棱长均为1,所以|OA|=|OC|=|O1C1|=|O1A1|=,|OB|=,因为A,B,C均在坐标轴上,所以A,B,C.因为点A1,B1,C1在xOy平面内的正投影分别为点A,B,C,且BB1=1,所以A1,B1,C1.
4.3.1 空间直角坐标系
基础过关练
题组一 空间直角坐标系
1.点M(a,b,0),N(0,a,b),P(a,0,b)分别在平面( )
A.xOy,yOz,xOz上 B.yOz,xOy,xOz上
C.xOz,yOz,xOy上 D.xOy,xOz,yOz上
2.点A(-1,2,1)在x轴上的射影和在xOy平面上的射影的坐标分别为( )
A.(-1,0,1),(-1,2,0)
B.(-1,0,0),(-1,2,0)
C.(-1,0,0),(-1,0,0)
D.(-1,2,0),(-1,2,0)
3.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则四边形AA1B1B对角线的交点坐标为( )
A. B.
C. D.
4.(湖北荆州高一期末)设A(1,-1,1),B(3,1,5),则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是( )
A.在y轴上 B.在xOy平面内
C.在xOz平面内 D.在yOz平面内
5.设z是任意实数,相应的点P(2,2,z)运动的轨迹是( )
A.一个平面 B.一条直线
C.一个圆 D.一个球
6.(河南禹州高一期中)如图,棱长为的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的x轴,y轴,z轴上,则顶点D的坐标为( )
A.(1,1,1) B.(,,)
C.(,,) D.(2,2,2)
题组二 空间中点的对称问题
7.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位置关系是( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于z轴对称 D.关于原点对称
8.在空间直角坐标系中,已知点M(a,b,c).给出下列命题:
①点M关于x轴对称的点M1的坐标为(a,-b,c);
②点M关于yOz平面对称的点M2的坐标为(a,-b,-c);
③点M关于y轴对称的点M3的坐标为(a,-b,c);
④点M关于原点对称的点M4的坐标为(-a,b,-c).
其中真命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
9.(安徽天长关塘中学高一期末)在空间直角坐标系Oxyz中,点(-1,2,-4)关于原点O对称的点的坐标为 .
10.(四川阆中中学高二期中)点P(-3,2,1)关于点Q(1,2,-3)对称的点M的坐标为 .
11.(江苏高二期末)在空间中,点(3,4,5)关于x轴对称的点的坐标为 .
12.(四川雅安中学高二月考)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是 .
能力提升练
一、选择题
1.(陕西高一期末,★★☆)点P(a,b,c)到坐标平面yOz的距离是( )
A. B.|a| C.|b| D.|c|
2.(★★☆)在空间直角坐标系中,点P(2,3,4)和点Q(-2,-3,-4)的位置关系是( )
A.关于x轴对称 B.关于yOz平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对
3.(★★☆)设x,y为任意实数,则相应的所有点P(x,y,3)的集合是( )
A.z轴上的两个点
B.过z轴上的(0,0,3)点且与z轴垂直的直线
C.过z轴上的(0,0,3)点且与z轴垂直的平面
D.以上答案都有可能
4.(★★☆)设y∈R,则点P(1,y,2)构成的集合为( )
A.垂直于xOz平面的一条直线
B.平行于xOz平面的一条直线
C.垂直于y轴的一个平面
D.平行于y轴的一个平面
5.(★★☆)点A(2,3-μ,-1+v)关于x轴对称的点为A'(λ,7,-6),则( )
A.λ=-2,μ=-1,v=-5 B.λ=2,μ=-4,v=-5
C.λ=2,μ=10,v=8 D.λ=2,μ=10,v=7
6.(2018四川成都外国语学校高一上期中,★★☆)已知线段AB的两个端点的坐标分别为A(9,-3,4)、B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( )
A.xOy平行 B.xOz平行
C.yOz平行 D.xOz或yOz平行
7.(★★☆)在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )
A.(4,0,6) B.(-4,7,-6)
C.(-4,0,-6) D.(-4,7,0)
二、填空题
8.(★★☆)已知平行四边形ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为 .
9.(★★☆)已知三角形ABC的三个顶点A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4),则三角形的重心的坐标为 .
10.(★★☆)若点P(a,b,c)既在平面xOy内,又在平面yOz内,则a+c= .
11.(云南高一期末,★★☆)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AD=4,AB=6,如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则该长方体的中心M的坐标为 .
三、解答题
12.(★★☆)四面体PABC中,PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=2,PC=1,E为线段AB的中点,建立适当的空间直角坐标系,并写出P、A、B、C、E的坐标.
13.(★★☆)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5,侧棱长为13,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.
14.(★★☆)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的空间直角坐标系,并写出各点的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.A 根据xOy平面上的点,竖坐标为0,yOz平面上的点的横坐标为0,xOz平面上的点的纵坐标为0,知M(a,b,0)在xOy平面上,N(0,a,b)在yOz平面上,P(a,0,b)在xOz平面上.故选A.
2.B 在空间直角坐标系中,点在某坐标轴或坐标平面上的射影满足下列条件:与坐标轴或坐标平面对应的坐标不变,其他的坐标为0.故选B.
3.B 如图,四边形AA1B1B对角线的交点的横坐标为线段AB的中点的横坐标,竖坐标为线段AA1的中点的竖坐标,纵坐标为0,所以四边形AA1B1B对角线的交点坐标为.故选B.
4.C ∵A(1,-1,1),B(3,1,5),∴线段AB的中点为(2,0,3).∵线段AB中点的纵坐标为0,∴此点是xOz平面内的点.故选C.
5.B 轨迹是过点(2,2,0)且与z轴平行的一条直线.
6.A 因为AB=BC=AC=,所以OA=OB=OC=1,将正四面体ABCD放入正方体中,如图所示,所以点D的坐标为(1,1,1).故选A.
7.B 由A,B两点的横坐标、竖坐标均互为相反数,纵坐标相同可知A,B关于y轴对称.
8.D ①点M关于x轴对称的点M1的坐标为(a,-b,-c),故命题①错误;
②点M关于yOz平面对称的点M2的坐标为(-a,b,c),故命题②错误;
③点M关于y轴对称的点M3的坐标为(-a,b,-c),故命题③错误;
④点M关于原点对称的点M4的坐标为(-a,-b,-c),故命题④错误.故选D.
9.答案 (1,-2,4)
10.答案 (5,2,-7)
解析 设M(x,y,z),因为点P关于点Q对称的点为M,所以Q是线段MP的中点,所以解得所以M(5,2,-7).
11.答案 (3,-4,-5)
解析 在空间中,点关于x轴对称的点:横坐标不变,纵坐标、竖坐标取相反数.
点(3,4,5)关于x轴对称的点的坐标为(3,-4,-5).
12.答案 (,-1,2)
解析 ∵直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,∴B(,1,0),∴顶点B1的坐标是(,1,2),则其关于xAz对称的点的坐标为(,-1,2).
能力提升练
一、选择题
1.B 由题意可知点P(a,b,c)到坐标平面yOz的距离是|a|,故选B.
2.C 点P和点Q的横、纵、竖坐标均互为相反数,故它们关于坐标原点对称.
3.C 由于点P的竖坐标为定值3,故当x,y∈R时,点P组成的集合为过点(0,0,3)且与z轴垂直的平面.
4.A 由空间直角坐标系的定义,易知点P(1,y,2)(y∈R)构成的集合为垂直于xOz平面的一条直线.
5.D 由对称性知解得
6.C ∵线段AB的两个端点的横坐标相等,纵坐标和竖坐标不等,故线段AB与坐标平面yOz平行.
7.C 点M关于y轴对称的点是M'(-4,7,-6),点M'在xOz平面上的射影的坐标为(-4,0,-6).
二、填空题
8.答案 (5,13,-3)
解析 设平行四边形ABCD的两条对角线的交点为P,则点P为AC,BD的中点.由A(4,1,3),C(3,7,-5),得点P的坐标为.又点B(2,-5,1),所以点D的坐标为(5,13,-3).
9.答案
解析 设重心坐标为(x,y,z).由题意得x==,y==1,z==.
10.答案 0
解析 点P在平面xOy和平面yOz的交线上,即y轴上,由y轴上点的坐标特征知a=0,c=0,b∈R,所以a+c=0.
11.答案 (2,3,1)
解析 由题意得B(4,6,0),D1(0,0,2),
因为M点是线段BD1的中点,所以点M的坐标为(2,3,1).
三、解答题
12.解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,1),又因为点E是线段AB的中点,所以点E的坐标是(1,1,0).
13.解析 若建立如图(1)所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为P(0,0,12),A,B,C,D.
若建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为P(0,0,12),A(5,0,0),B(0,5,0),C(-5,0,0),D(0,-5,0).
14.解析 如图所示,取AC的中点O和A1C1的中点O1,连接BO、OO1,可得BO⊥AC,BO⊥OO1,分别以OB,OC, OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.因为各棱长均为1,所以|OA|=|OC|=|O1C1|=|O1A1|=,|OB|=,因为A,B,C均在坐标轴上,所以A,B,C.因为点A1,B1,C1在xOy平面内的正投影分别为点A,B,C,且BB1=1,所以A1,B1,C1.