4.2.3直线与圆的方程的应用题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2第四章（含答案）
文档属性
| 名称 | 4.2.3直线与圆的方程的应用题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2第四章（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 190.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-08 10:38:40 | ||
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文档简介
4.2.3 直线与圆的方程的应用
基础过关练
题组一 直线与圆的方程在平面几何中的应用
1.在圆x2+y2-2x-6y=0内过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
2.一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短距离是( )
A.4 B.5 C.3-1 D.2
3.若圆O:x2+y2=4和圆C:(x+2)2+(y-2)2=4关于直线l对称,则直线l的方程为( )
A.x-y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-2=0 D.x+y+2=0
4.过圆x2+y2-4x=0外一点(m,n)作圆的两条切线,当这两条切线互相垂直时,m,n满足的关系式是( )
A.(m-2)2+n2=4 B.(m+2)2+n2=4
C.(m-2)2+n2=8 D.(m+2)2+n2=8
5.圆x2+y2+y+m=0与其关于直线x+2y-1=0对称的圆总有四条公切线,则m的取值范围是 .
6.方程=kx+2有唯一解,则实数k的范围是 .
7.如图,A、B是直线l上的两点,且AB=2.两个半径长相等的动圆分别与l相切于A、B点,C是这两个圆的公共点,求圆弧AC,CB与线段AB围成封闭图形的面积S的最大值.
8.已知圆O:x2+y2=1,点P(3,4),以OP为直径的圆C与圆O交于A、B两点.
(1)PA与OA、PB与OB具有怎样的位置关系
(2)由(1)还可以得到什么结论 你能否将这一结论推广.
题组二 直线与圆的方程的实际应用
9.一辆宽1.6 m的卡车,要经过一个半径长为3.6 m的半圆形隧道,则这辆卡车的高度不得超过( )
A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m
10.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,求城市B处于危险区内的时间.
11.如图所示是一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱桥顶部离水面2 m,水面宽12 m,若水面下降1 m,求水面的宽.
12.某化肥公司在A,B两地设立了两个零售点,他们统一了价格.某地农民从两地之一购得化肥后运回的费用是:A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍.已知A,B两地距离为10千米,顾客选择A地或B地购买化肥的标准是:运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时,“点P”所在曲线的形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点
能力提升练
一、选择题
1.(2018豫南九校高一期末,★★☆)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-1=0,则y-2x的最小值和最大值分别为 ( )
A.-9,1 B.-10,1 C.-9,2 D.-10,2
2.(山西运城中学、芮城中学期中联考,★★☆)若圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在点A,使|OA|≤,则实数a的取值范围是( )
A.(-3,-1)∪(1,3) B.(-3,3)
C.[-1,1] D.[-3,-1]∪[1,3]
3.(甘肃天水一中高一上学期期末,★★☆)已知半径长为1的动圆与定圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.(x-5)2+(y+7)2=25
B.(x-5)2+(y+7)2=3或(x-5)2+(y+7)2=5
C.(x-5)2+(y+7)2=9
D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
二、填空题
4.(★★☆)若圆x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2-2by+b2=1外离,则a2+b2的范围是 .
5.(四川绵阳期末教学质量检测,★★☆)若A(-3,y0)是直线l:x+y+a=0(a>0)上的点,直线l与圆C:(x-)2+(y+2)2=12相交于M、N两点,若△MCN为等边三角形,则过点A作圆C的切线,切点为P,则|AP|= .
三、解答题
6.(江苏高一期末,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y-2)2=1.
(1)若圆E的半径长为2,圆E与x 轴相切且与圆C外切,求圆E的标准方程;
(2)若过原点O的直线l与圆C相交于A,B 两点,且|OA|=|AB|,求直线l的方程.
7.(2018安徽六安一中高一期末,★★☆)已知圆O:x2+y2=1和定点T(2,1),由圆O外一动点P(m,n)向圆O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PT|.
(1)求证:动点P在定直线上;
(2)求线段PQ长的最小值,并写出此时点P的坐标.
8.(★★☆)如图所示,船行前方的河道上有一座圆拱桥,正常水位时,拱圈的最高点距水面9 m,拱圈内水面宽22 m,船体在水面以上部分高6.5 m,船顶部宽4 m,此时船可以通行无阻.近日水位暴涨了2.7 m,船已经不能通过桥洞,船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,则船身至少降低多少才能通过桥洞 (精确到0.01 m)
9.(★★★)已知圆C与圆D:x2+y2-4x-2y+3=0关于直线l:4x+2y-5=0对称.
(1)求圆C的方程;
(2)若点P(2,0),M(0,2),设Q为圆C上一动点.
①求△QPM面积的最大值,并求出取最大值时点Q的坐标;
②在①的结论下,过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点,若直线QA、QB的倾斜角互补,问直线AB与直线PM是否垂直 请说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.B 圆的方程化为(x-1)2+(y-3)2=10,由圆的性质可知最长弦AC=2,最短弦BD的中点为E(0,1),设圆的圆心为F,则F(1,3),故EF==,所以BD=2×=2,所以S四边形ABCD=AC·BD=10.
2.A 圆C的圆心坐标为(2,3),半径长r=1.点A(-1,1)关于x轴对称的点A'的坐标为(-1,-1).因为点A'在反射光线所在直线上,所以最短距离为|A'C|-r,即-1=4.
3.B 两圆的圆心分别为O(0,0),C(-2,2),由题意知,l为线段OC的垂直平分线,故其方程为x-y+2=0.
4.C 圆x2+y2-4x=0的圆心坐标为(2,0),半径长r=2.由题意,易知点(m,n)到圆心(2,0)的距离为2,所以(m-2)2+n2=8.
5.答案
解析 ∵曲线x2+y2+y+m=0表示圆,
∴12-4m>0,解得m<.
易知圆x2+y2+y+m=0的圆心为,半径长为,
∵对称圆与已知圆总有四条公切线,
∴对称圆与已知圆相离,
∴已知圆与直线x+2y-1=0相离,
∴>,解得m>-.
综上可知,m的取值范围是.
6.答案 k<-2或k>2或k=±
解析 方程=kx+2有唯一解可转化为直线y=kx+2与半圆x2+y2=1(y≥0)只有一个交点,结合图形,
易得k<-2或k>2或k=±.
7.解析 如图,当两圆外切于点C时,S最大.所求面积为阴影部分的面积,此时,圆的半径长r=1,所以S=2×1-2×=2-.
8.解析 (1)如图,点A在圆C上,OP为圆C的直径,所以OA⊥PA,同理可得OB⊥PB.
(2)由(1)还可以得到:PA是圆O的切线,PB也是圆O的切线.
这一结论可以推广为:圆O外一点P,以OP为直径的圆与圆O交于A、B两点,则PA、PB是圆O的切线.
9.B 建立平面直角坐标系如图所示,则
|OA|=3.6 m,|AB|=0.8 m,则|OB|=≈3.5 m,所以卡车的高度不得超过3.5 m.
10.解析 如图,以A地为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,设以B(40,0)为圆心,30 km为半径长的圆与直线y=x交于M、N两点,则当台风中心在MN之间(含端点)时,城市B处于危险区.过B作BH⊥MN,垂足为H,连接BN,易得BH=AB·sin 45°=20 km,则MN=2NH=2=20 km,
又台风中心的移动速度为20 km/h,
故城市B处于危险区内的时间为1 h.
11.解析 如图,建立平面直角坐标系,
设初始水面在AB处,则由已知得A(6,-2),设圆C的半径长为r(r>0),则C(0,-r),故圆C的方程为x2+(y+r)2=r2,将A(6,-2)代入,得r=10,所以圆C的方程为x2+(y+10)2=100.①
当水面下降1 m到A'B'时,设A'(x0,-3)(x0>0).将A'(x0,-3)代入①式,得x0=,所以水面下降1 m后,水面的宽为2 m.
12.解析 如图所示,以A,B所在直线为x轴,线段AB的中点为原点,建立平面直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).
设P地的坐标为(x,y),到A地的运费为3a元/千米,到B地的运费为a元/千米.
当P地到A,B两地购货总费用相等时,
3a=a,
因为a>0,
所以3=.
两边平方,得9(x+5)2+9y2=(x-5)2+y2,
即+y2=,所以点P在以点为圆心,为半径长的圆上.
(1)当点P在以点为圆心,为半径长的圆上时,居民到A,B两地购货总费用相等.
(2)当点P在上述圆内时,
+y2<,
即3a·(3)同理可知,当点P在上述圆外时,到B地购货合算.
能力提升练
一、选择题
1.A x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,y-2x可看作是直线y=2x+b在y轴上的截距,当直线y=2x+b与圆相切时,b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-9或b=1,所以y-2x的最大值为1,最小值为-9.
2.D 问题可转化为圆(x-a)2+(y-a)2=8和圆x2+y2=2相交或相切,设圆(x-a)2+(y-a)2=8的圆心为O1(a,a),半径长R=2,圆x2+y2=2的圆心为O(0,0),半径长r=,
两圆圆心距d==|a|,由R-r≤|OO1|≤R+r,得2-≤|a|≤2+,解得1≤|a|≤3,即a∈[-3,-1]∪[1,3],故选D.
3.D 如图,由圆A:(x-5)2+(y+7)2=16,得圆心A的坐标为(5,-7),半径长R=4,且动圆的半径长r=1,根据图象可知:当圆B与圆A内切时,圆心B的轨迹是以A为圆心,半径长等于R-r=4-1=3的圆,则圆B的方程为(x-5)2+(y+7)2=9.
当圆C与圆A外切时,圆心C的轨迹是以A为圆心,半径长等于R+r=4+1=5的圆,则圆C的方程为(x-5)2+(y+7)2=25.
综上,动圆圆心的轨迹方程为(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9.
二、填空题
4.答案 (3+2,+∞)
解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),、(0,b),1,因为两圆外离,所以>+1,即a2+b2>3+2.
5.答案 6
解析 因为△MCN为等边三角形,圆C的圆心为C(,-2),半径长r=2,所以根据点C到直线l的距离可得:=3=,即|a+1|=6,因为a>0,所以a=5,所以直线l的方程为x+y+5=0,又A(-3,y0)在直线l上,所以-9+y0+5=0,所以y0=4,即A(-3,4),
所以|AP|===6.
三、解答题
6.解析 (1)设圆E的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,故圆心E的坐标为(a,b),半径长r=2.
又圆E与x轴相切,所以|b|=2.①
因为圆E与圆C外切,所以|EC|=3,即=3.②
由①②解得a=±3,b=2,
故圆E的标准方程为(x+3)2+(y-2)2=4或(x-3)2+(y-2)2=4.
(2)解法一:设A(x0,y0),
因为|OA|=|AB|,所以A为线段OB的中点,从而B(2x0,2y0),
因为A,B都在圆C上,
所以
解得或
故直线l的方程为y=±x.
解法二:设线段AB的中点为M,连接CM,CA.
设|AM|=t,|CM|=d.
因为|OA|=|AB|,所以|OM|=3t,
在Rt△ACM中,d2+t2=1,③
在Rt△OCM中,d2+(3t)2=4.④
由③④解得d=.
由题可知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程为y=kx(k≠0),
则d==,解得k=±,
故直线l的方程为y=±x.
7.解析 (1)证明:由|PQ|=|PT|得|PQ|2=|OP|2-1=|PT|2,∴m2+n2-1=(m-2)2+(n-1)2,∴2m+n-3=0,
即动点P在定直线2x+y-3=0上.
(2)由(1)可得y=-2x+3,
|PQ|===
=,
故当x=时,|PQ|min=,
即线段PQ长的最小值为,此时P.
8.解析 在正常水位时,设水面与桥横截面的交线为x轴,过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,
如图所示,则A,B,D三点的坐标分别为(-11,0),(11,0),(0,9),
又圆心C在y轴上,故可设C(0,b).
因为|CD|=|CB|,所以(9-b)2=112+b2,解得b=-,
所以圆拱桥所在圆的方程为x2+=.
当x=2时,求得y≈8.820(m),即在x=2 m的地方拱圈距正常水位时的水面约8.820 m,距涨水后的水面约8.820-2.7=6.120(m),因为船高6.5 m,
所以船身至少降低6.5-6.120=0.38 m,船才能顺利通过桥洞.
9.解析 (1)将圆D:x2+y2-4x-2y+3=0化为标准方程为(x-2)2+(y-1)2=2.
∴圆心D(2,1),半径长为.
设圆C的圆心为(a,b),
∵圆C与圆D关于直线4x+2y-5=0对称,
∴圆心D(2,1)与C(a,b)关于直线l:4x+2y-5=0对称,且两圆圆心的中点在l上,
∴解得
∴圆C的方程为x2+y2=2.
(2)①因为点P(2,0),M(0,2),所以|PM|=2,直线PM的方程为x+y=2.
设点Q到直线PM的距离为h,圆心C到直线PM的距离为d,则d==.
S△QPM=|PM|·h=h.
要使△QPM的面积取得最大值,则需h取得最大值,易知h取最大值时,点Q与圆心C的连线与直线PM垂直,
故有hmax=d+r=+=2,
所以(S△QPM)max=×2=4.
此时点Q的坐标为(-1,-1).
②直线AB与直线PM垂直.理由如下:
因为过点Q(-1,-1)作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点,直线QA、QB的倾斜角互补,所以直线QA、QB的斜率都存在.
设直线QA的斜率为k,则直线QB的斜率为-k,所以直线QA的方程为y+1=k(x+1),
由得(1+k2)x2+2k(k-1)x+k2-2k-1=0,
又因为点Q(-1,-1)在圆C上,
所以xA·(-1)=,
所以xA=,
同理,xB=,
所以kAB==
==1,
又kPM==-1,所以kPM·kAB=-1,
故直线AB与直线PM垂直.
基础过关练
题组一 直线与圆的方程在平面几何中的应用
1.在圆x2+y2-2x-6y=0内过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
2.一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短距离是( )
A.4 B.5 C.3-1 D.2
3.若圆O:x2+y2=4和圆C:(x+2)2+(y-2)2=4关于直线l对称,则直线l的方程为( )
A.x-y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-2=0 D.x+y+2=0
4.过圆x2+y2-4x=0外一点(m,n)作圆的两条切线,当这两条切线互相垂直时,m,n满足的关系式是( )
A.(m-2)2+n2=4 B.(m+2)2+n2=4
C.(m-2)2+n2=8 D.(m+2)2+n2=8
5.圆x2+y2+y+m=0与其关于直线x+2y-1=0对称的圆总有四条公切线,则m的取值范围是 .
6.方程=kx+2有唯一解,则实数k的范围是 .
7.如图,A、B是直线l上的两点,且AB=2.两个半径长相等的动圆分别与l相切于A、B点,C是这两个圆的公共点,求圆弧AC,CB与线段AB围成封闭图形的面积S的最大值.
8.已知圆O:x2+y2=1,点P(3,4),以OP为直径的圆C与圆O交于A、B两点.
(1)PA与OA、PB与OB具有怎样的位置关系
(2)由(1)还可以得到什么结论 你能否将这一结论推广.
题组二 直线与圆的方程的实际应用
9.一辆宽1.6 m的卡车,要经过一个半径长为3.6 m的半圆形隧道,则这辆卡车的高度不得超过( )
A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m
10.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,求城市B处于危险区内的时间.
11.如图所示是一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱桥顶部离水面2 m,水面宽12 m,若水面下降1 m,求水面的宽.
12.某化肥公司在A,B两地设立了两个零售点,他们统一了价格.某地农民从两地之一购得化肥后运回的费用是:A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍.已知A,B两地距离为10千米,顾客选择A地或B地购买化肥的标准是:运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时,“点P”所在曲线的形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点
能力提升练
一、选择题
1.(2018豫南九校高一期末,★★☆)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-1=0,则y-2x的最小值和最大值分别为 ( )
A.-9,1 B.-10,1 C.-9,2 D.-10,2
2.(山西运城中学、芮城中学期中联考,★★☆)若圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在点A,使|OA|≤,则实数a的取值范围是( )
A.(-3,-1)∪(1,3) B.(-3,3)
C.[-1,1] D.[-3,-1]∪[1,3]
3.(甘肃天水一中高一上学期期末,★★☆)已知半径长为1的动圆与定圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.(x-5)2+(y+7)2=25
B.(x-5)2+(y+7)2=3或(x-5)2+(y+7)2=5
C.(x-5)2+(y+7)2=9
D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
二、填空题
4.(★★☆)若圆x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2-2by+b2=1外离,则a2+b2的范围是 .
5.(四川绵阳期末教学质量检测,★★☆)若A(-3,y0)是直线l:x+y+a=0(a>0)上的点,直线l与圆C:(x-)2+(y+2)2=12相交于M、N两点,若△MCN为等边三角形,则过点A作圆C的切线,切点为P,则|AP|= .
三、解答题
6.(江苏高一期末,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y-2)2=1.
(1)若圆E的半径长为2,圆E与x 轴相切且与圆C外切,求圆E的标准方程;
(2)若过原点O的直线l与圆C相交于A,B 两点,且|OA|=|AB|,求直线l的方程.
7.(2018安徽六安一中高一期末,★★☆)已知圆O:x2+y2=1和定点T(2,1),由圆O外一动点P(m,n)向圆O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PT|.
(1)求证:动点P在定直线上;
(2)求线段PQ长的最小值,并写出此时点P的坐标.
8.(★★☆)如图所示,船行前方的河道上有一座圆拱桥,正常水位时,拱圈的最高点距水面9 m,拱圈内水面宽22 m,船体在水面以上部分高6.5 m,船顶部宽4 m,此时船可以通行无阻.近日水位暴涨了2.7 m,船已经不能通过桥洞,船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,则船身至少降低多少才能通过桥洞 (精确到0.01 m)
9.(★★★)已知圆C与圆D:x2+y2-4x-2y+3=0关于直线l:4x+2y-5=0对称.
(1)求圆C的方程;
(2)若点P(2,0),M(0,2),设Q为圆C上一动点.
①求△QPM面积的最大值,并求出取最大值时点Q的坐标;
②在①的结论下,过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点,若直线QA、QB的倾斜角互补,问直线AB与直线PM是否垂直 请说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.B 圆的方程化为(x-1)2+(y-3)2=10,由圆的性质可知最长弦AC=2,最短弦BD的中点为E(0,1),设圆的圆心为F,则F(1,3),故EF==,所以BD=2×=2,所以S四边形ABCD=AC·BD=10.
2.A 圆C的圆心坐标为(2,3),半径长r=1.点A(-1,1)关于x轴对称的点A'的坐标为(-1,-1).因为点A'在反射光线所在直线上,所以最短距离为|A'C|-r,即-1=4.
3.B 两圆的圆心分别为O(0,0),C(-2,2),由题意知,l为线段OC的垂直平分线,故其方程为x-y+2=0.
4.C 圆x2+y2-4x=0的圆心坐标为(2,0),半径长r=2.由题意,易知点(m,n)到圆心(2,0)的距离为2,所以(m-2)2+n2=8.
5.答案
解析 ∵曲线x2+y2+y+m=0表示圆,
∴12-4m>0,解得m<.
易知圆x2+y2+y+m=0的圆心为,半径长为,
∵对称圆与已知圆总有四条公切线,
∴对称圆与已知圆相离,
∴已知圆与直线x+2y-1=0相离,
∴>,解得m>-.
综上可知,m的取值范围是.
6.答案 k<-2或k>2或k=±
解析 方程=kx+2有唯一解可转化为直线y=kx+2与半圆x2+y2=1(y≥0)只有一个交点,结合图形,
易得k<-2或k>2或k=±.
7.解析 如图,当两圆外切于点C时,S最大.所求面积为阴影部分的面积,此时,圆的半径长r=1,所以S=2×1-2×=2-.
8.解析 (1)如图,点A在圆C上,OP为圆C的直径,所以OA⊥PA,同理可得OB⊥PB.
(2)由(1)还可以得到:PA是圆O的切线,PB也是圆O的切线.
这一结论可以推广为:圆O外一点P,以OP为直径的圆与圆O交于A、B两点,则PA、PB是圆O的切线.
9.B 建立平面直角坐标系如图所示,则
|OA|=3.6 m,|AB|=0.8 m,则|OB|=≈3.5 m,所以卡车的高度不得超过3.5 m.
10.解析 如图,以A地为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,设以B(40,0)为圆心,30 km为半径长的圆与直线y=x交于M、N两点,则当台风中心在MN之间(含端点)时,城市B处于危险区.过B作BH⊥MN,垂足为H,连接BN,易得BH=AB·sin 45°=20 km,则MN=2NH=2=20 km,
又台风中心的移动速度为20 km/h,
故城市B处于危险区内的时间为1 h.
11.解析 如图,建立平面直角坐标系,
设初始水面在AB处,则由已知得A(6,-2),设圆C的半径长为r(r>0),则C(0,-r),故圆C的方程为x2+(y+r)2=r2,将A(6,-2)代入,得r=10,所以圆C的方程为x2+(y+10)2=100.①
当水面下降1 m到A'B'时,设A'(x0,-3)(x0>0).将A'(x0,-3)代入①式,得x0=,所以水面下降1 m后,水面的宽为2 m.
12.解析 如图所示,以A,B所在直线为x轴,线段AB的中点为原点,建立平面直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).
设P地的坐标为(x,y),到A地的运费为3a元/千米,到B地的运费为a元/千米.
当P地到A,B两地购货总费用相等时,
3a=a,
因为a>0,
所以3=.
两边平方,得9(x+5)2+9y2=(x-5)2+y2,
即+y2=,所以点P在以点为圆心,为半径长的圆上.
(1)当点P在以点为圆心,为半径长的圆上时,居民到A,B两地购货总费用相等.
(2)当点P在上述圆内时,
+y2<,
即3a·
能力提升练
一、选择题
1.A x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,y-2x可看作是直线y=2x+b在y轴上的截距,当直线y=2x+b与圆相切时,b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-9或b=1,所以y-2x的最大值为1,最小值为-9.
2.D 问题可转化为圆(x-a)2+(y-a)2=8和圆x2+y2=2相交或相切,设圆(x-a)2+(y-a)2=8的圆心为O1(a,a),半径长R=2,圆x2+y2=2的圆心为O(0,0),半径长r=,
两圆圆心距d==|a|,由R-r≤|OO1|≤R+r,得2-≤|a|≤2+,解得1≤|a|≤3,即a∈[-3,-1]∪[1,3],故选D.
3.D 如图,由圆A:(x-5)2+(y+7)2=16,得圆心A的坐标为(5,-7),半径长R=4,且动圆的半径长r=1,根据图象可知:当圆B与圆A内切时,圆心B的轨迹是以A为圆心,半径长等于R-r=4-1=3的圆,则圆B的方程为(x-5)2+(y+7)2=9.
当圆C与圆A外切时,圆心C的轨迹是以A为圆心,半径长等于R+r=4+1=5的圆,则圆C的方程为(x-5)2+(y+7)2=25.
综上,动圆圆心的轨迹方程为(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9.
二、填空题
4.答案 (3+2,+∞)
解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),、(0,b),1,因为两圆外离,所以>+1,即a2+b2>3+2.
5.答案 6
解析 因为△MCN为等边三角形,圆C的圆心为C(,-2),半径长r=2,所以根据点C到直线l的距离可得:=3=,即|a+1|=6,因为a>0,所以a=5,所以直线l的方程为x+y+5=0,又A(-3,y0)在直线l上,所以-9+y0+5=0,所以y0=4,即A(-3,4),
所以|AP|===6.
三、解答题
6.解析 (1)设圆E的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,故圆心E的坐标为(a,b),半径长r=2.
又圆E与x轴相切,所以|b|=2.①
因为圆E与圆C外切,所以|EC|=3,即=3.②
由①②解得a=±3,b=2,
故圆E的标准方程为(x+3)2+(y-2)2=4或(x-3)2+(y-2)2=4.
(2)解法一:设A(x0,y0),
因为|OA|=|AB|,所以A为线段OB的中点,从而B(2x0,2y0),
因为A,B都在圆C上,
所以
解得或
故直线l的方程为y=±x.
解法二:设线段AB的中点为M,连接CM,CA.
设|AM|=t,|CM|=d.
因为|OA|=|AB|,所以|OM|=3t,
在Rt△ACM中,d2+t2=1,③
在Rt△OCM中,d2+(3t)2=4.④
由③④解得d=.
由题可知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程为y=kx(k≠0),
则d==,解得k=±,
故直线l的方程为y=±x.
7.解析 (1)证明:由|PQ|=|PT|得|PQ|2=|OP|2-1=|PT|2,∴m2+n2-1=(m-2)2+(n-1)2,∴2m+n-3=0,
即动点P在定直线2x+y-3=0上.
(2)由(1)可得y=-2x+3,
|PQ|===
=,
故当x=时,|PQ|min=,
即线段PQ长的最小值为,此时P.
8.解析 在正常水位时,设水面与桥横截面的交线为x轴,过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,
如图所示,则A,B,D三点的坐标分别为(-11,0),(11,0),(0,9),
又圆心C在y轴上,故可设C(0,b).
因为|CD|=|CB|,所以(9-b)2=112+b2,解得b=-,
所以圆拱桥所在圆的方程为x2+=.
当x=2时,求得y≈8.820(m),即在x=2 m的地方拱圈距正常水位时的水面约8.820 m,距涨水后的水面约8.820-2.7=6.120(m),因为船高6.5 m,
所以船身至少降低6.5-6.120=0.38 m,船才能顺利通过桥洞.
9.解析 (1)将圆D:x2+y2-4x-2y+3=0化为标准方程为(x-2)2+(y-1)2=2.
∴圆心D(2,1),半径长为.
设圆C的圆心为(a,b),
∵圆C与圆D关于直线4x+2y-5=0对称,
∴圆心D(2,1)与C(a,b)关于直线l:4x+2y-5=0对称,且两圆圆心的中点在l上,
∴解得
∴圆C的方程为x2+y2=2.
(2)①因为点P(2,0),M(0,2),所以|PM|=2,直线PM的方程为x+y=2.
设点Q到直线PM的距离为h,圆心C到直线PM的距离为d,则d==.
S△QPM=|PM|·h=h.
要使△QPM的面积取得最大值,则需h取得最大值,易知h取最大值时,点Q与圆心C的连线与直线PM垂直,
故有hmax=d+r=+=2,
所以(S△QPM)max=×2=4.
此时点Q的坐标为(-1,-1).
②直线AB与直线PM垂直.理由如下:
因为过点Q(-1,-1)作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点,直线QA、QB的倾斜角互补,所以直线QA、QB的斜率都存在.
设直线QA的斜率为k,则直线QB的斜率为-k,所以直线QA的方程为y+1=k(x+1),
由得(1+k2)x2+2k(k-1)x+k2-2k-1=0,
又因为点Q(-1,-1)在圆C上,
所以xA·(-1)=,
所以xA=,
同理,xB=,
所以kAB==
==1,
又kPM==-1,所以kPM·kAB=-1,
故直线AB与直线PM垂直.