第三章函数的应用复习提升练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修1（含答案）

第三章　函数的应用
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视对参数取值范围的讨论导致错误
1.(★★☆)若函数f(x)=ax2-x-1的负零点有且仅有一个,求实数a的取值范围.
2.(★★☆)若函数f(x)=2ax2+x-在(0,1)内有零点,求实数a的取值范围.
易错点2　忽视实际问题中函数的定义域导致错误
3.(★★☆)一个等腰三角形的周长为20,则其底边长y关于其腰长x的函数关系式是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=20-2x(0C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(54.(★★☆)如图所示,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0(1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域;
(2)当BC为何值时,花圃的面积最大
易错点3　忽视分段函数的计算方法导致错误
5.(★★☆)某购物网站在2018年11月开展“全部6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”.小淘在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品42件,为使花钱总数最少(不能多买),他最少需要下的订单张数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(河北定州中学高一上月考,★★☆)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数根,则实数k的取值范围是　　　　.
7.(2018河南郑州一中高一上期中,★★☆)某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.
(1)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式;
(2)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少 如果订购1 000个,利润又是多少 (工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)
8.(四川绵阳高一上期末检测,★★☆)目前,某市出租车的计价标准是:路程2 km以内(含2 km)按起步价8元收取,超过2 km后的路程按1.9元/km收取,但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1+50%)=2.85元/km).
(1)若0(2)某乘客行程为16 km,他准备先乘一辆出租车行驶8 km,然后换乘另一辆出租车完成余下路程,请问:他这样做是否比只乘一辆出租车完成全程更省钱
思想方法练
一、函数与方程思想在解决函数问题中的应用
1.(★★☆)在x克a%的盐水中加入y克b%的盐水,浓度变为c%,则x与y的函数关系式为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=·x B.y=·x
C.y=·x D.y=·x
2.(★★★)原有一片面积为a的森林,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等.经计算,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林的剩余面积为原面积的.
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,已经砍伐了多少年
(3)今后最多还能砍伐多少年
二、数形结合思想在解决函数零点问题中的应用
3.(浙江温州十五校联合体高一上期中联考,★★☆)函数f(x)=|log2x|-e-x的所有零点的积为m,则有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.m=1 B.m∈(0,1)
C.m∈(1,2) D.m∈(2,+∞)
4.(江西新余一中高一上月考,★★☆)设f(x)=|x-1|·(x+1)-x,若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数解,则实数k的取值范围是(　　)
A.1C.0A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
三、分类与整合思想在解决函数零点问题中的应用
6.(★★☆)函数f(x)=的零点为　　　　　　　　.
7.(湖南长沙一中高一上期中,★★★)函数f(x)=|x2-1|+x2+kx.
(1)若k=2,求函数f(x)的零点;
(2)若函数f(x)在(0,2)上有两个不同的零点x1,x2,求k的取值范围,并证明:+<4.
四、转化与化归思想在解决函数零点问题中的应用
8.(★★★)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(1,4)
C.(0,1)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,4)
9.(★★☆)若函数f(x)=alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是　　　　.
10.(★★☆)若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)上恰有一个零点,则a的取值范围是　　　　　
答案全解全析
第三章　函数的应用
本章复习提升
易混易错练
1.解析　当a=0时, f(x)=-x-1,令f(x)=0,得x=-1,符合题意;
当a>0时,此函数图象开口向上, f(0)=-1<0,结合二次函数图象知符合题意;
当a<0时,此函数图象开口向下, f(0)=-1<0,由图象(图略)得即a=-.
综上可知,实数a的取值范围为∪[0,+∞).
2.解析　当a=0时,f(x)=x-,令f(x)=0,得x=,∈(0,1),符合题意.
当a≠0时,
①若方程2ax2+x-=0在(0,1)内有两个相等实数根,则此时无解;
②若方程2ax2+x-=0在(0,1)内只有一个实数根,
当f(1)=2a+1-≠0,即a≠-时,有f(0)·f(1)=-<0,解得a>-,
即此时a>-,且a≠0;
当f(1)=0,即a=-时,方程为-x2+x-=0,解得x1=x2=1 (0,1),不符合题意;
③若方程2ax2+x-=0在(0,1)内有两个不等实数根,即f(x)在(0,1)内有两个零点.
因为f(0)=-,所以函数f(x)的图象开口向下,则有
此时无解.
综上可知,实数a的取值范围是.
3.D　由题意知,2x+y=20,∴y=20-2x.由三角形三边关系得解得54.解析　(1)要使树在花圃内或在花圃的边界上,则矩形ABCD中,BC≥a,CD≥4,
因为篱笆长为16 m,所以当BC=x m时,CD=(16-x)m.
由于BC≥a,CD≥4,故a≤x≤12,
所以y=f(x)=x(16-x)=-x2+16x,
其定义域为[a,12].
(2)由(1)得,y=f(x)=-x2+16x=-(x-8)2+64,x∈[a,12],其图象的对称轴为直线x=8,且0若8若05.C　要使6折后的价格满300元,则原价应满500元,因为每张订单金额必须是48的整数倍,所以每张订单中的商品数不小于11,若每张订单购买的商品数分别为11,11,11,9,则应下4张订单,但最后一张订单金额不满500元,不能参加“满减”活动,可将最后一个订单中的9件商品分到前3个订单中,此时只需下3张订单,所以他最少需要下3张订单.
6.答案　(-1,0)
解析　作出f(x)的图象和直线y=k如图所示,
要使f(x)=k有三个不同的实数根,
则需-1故实数k的取值范围为(-1,0).
7.解析　(1)若实际出厂单价为51元,则订购量为100+=550(个),
当0当100当x≥550时,P=51.
因此,P=
(2)设工厂获得的利润为L元,
当订购500个时,L=×500=6 000;
当订购1 000个时,L=(51-40)×1 000=11 000.
故当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6 000元;如果订购1 000个,利润是11 000元.
8.解析　(1)由题意,得车费f(x)关于路程x的函数为
f(x)=
即f(x)=
(2)只乘一辆车的车费为f(16)=2.85×16-5.3=40.3,
换乘两辆车的车费为2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8,
∵40.3>38.8,∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.
思想方法练
1.B　据题意有=c%,所以=c,即ax+by=cx+cy,
所以(b-c)y=(c-a)x,所以y=·x.
2.解析　(1)设每年砍伐面积的百分比为x,
则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,
解得x=1-,
所以所求百分比为1-.
(2)设经过n年的砍伐,森林的剩余面积为原面积的,则a·=a,即=,解得n=5,所以到今年为止,已经砍伐了5年.
(3)设该片森林一共可砍伐m年,则a=a,
即=,解得m=20,
所以该片森林一共可砍伐20年,故今后最多还能砍伐20-5=15(年).
3.B　令f(x)=0得|log2x|=e-x=,在同一平面直角坐标系中,作出函数y=|log2x|与y=的图象如图所示.
由图象知, f(x)=0有两实数解,且0∴-log2x1=,log2x2=,
∴log2x1+log2x2=-,
∴log2(x1·x2)=-<0,
从而04.B　f(x)=|x-1|(x+1)-x=即f(x)=若x∈(-∞,1],则当x=-时,函数f(x)取得最大值;若x∈(1,+∞),则f(x)单调递增,f(x)>f(1)=-1,作出y=f(x)的图象如图所示.
由图可知,当-15.B　由f(x)=0得x3=-x,同理,log2x=-x,2x=-x.
在同一直角坐标系中作出相关函数图象如图所示,
由图象知,c6.答案　2,-
解析　当x≥0时,由2x-4=0,得x=2;当x<0时,由2x2-3x-2=0,得x=-或x=2(舍去).故函数f(x)的零点是2,-.
7.解析　(1)若k=2,则f(x)=|x2-1|+x2+2x.
当x≥1或x≤-1时, f(x)=0可化为
x2-1+x2+2x=0,即2x2+2x-1=0,
解得x=或x=(舍去);
当-1解得x=-.
综上所述, f(x)的零点为,-.
(2)当0设f(x)的两个零点x1,x2都在(1,2)内,
则x1·x2=-,与x1,x2∈(1,2)不符合,
因此,两个零点分别在(0,1]和(1,2)内.
不妨设x1∈(0,1],x2∈(1,2),
由x1∈(0,1],且f(x)=kx+1,
得f(x1)=kx1+1=0,k=-≤-1.
由x2∈(1,2),且f(x)=2x2+kx-1,得
f(1)·f(2)<0 (k+1)(2k+7)<0 -综上所述,-证明:设g(k)=+,
∵x1=-,x2=或x2=(舍去),
∴g(k)=+=-k+==.
∴g(k)在上递减,
∴g(k)=+即+<4.
8.D　函数y=logax(x>0)的图象与函数h(x)=loga(-x)(x<0)的图象关于y轴对称,则函数f(x)图象上有且仅有两个点关于y轴对称的问题可转化为函数y=loga(-x)-|x+3|在-4≤x<0上有唯一零点的问题.
当0当a>1时,由函数h(x)=loga(-x)与f(x)=|x+3|(-4≤x<0)的图象有唯一交点,得loga4>1,又a>1,所以1综上所述,a的取值范围是(0,1)∪(1,4).所以D选项是正确的.
9.答案　
解析　∵函数y=log2x,y=4x在其定义域上单调递增,∴函数f(x)=alog2x+a·4x+3在区间上单调且连续,
∴要想函数f(x)在上有零点,则f·f(1)<0,即(-a+2a+3)(4a+3)<0,解得-310.答案　(1,+∞)
解析　f(x)在(0,1)上恰有一个零点,可转化为2a=+在(0,1)内有唯一解.
设t=(x∈(0,1)),则t∈(1,+∞),2a=t+t2.由2a=+在(0,1)内有唯一解,得2a=t+t2在(1,+∞)上有唯一解.设h(t)=t+t2,易知函数h(t)=t+t2在(1,+∞)上单调递增,
依题意得2a>h(1)=2,即a>1,故a的取值范围是(1,+∞).