第四章 圆与方程复习提升练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 第四章 圆与方程复习提升练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 93.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-08 10:57:30 | ||
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文档简介
本章复习提升
易混易错练
易错点1 对圆心位置考虑不全致错
1.(★★☆)已知某圆圆心C在x轴上,半径长为5,且在y轴上截得线段AB的长为8,则圆的标准方程为( )
A.(x+3)2+y2=25 B.x2+(y±3)2=25
C.(x±3)2+y2=5 D.(x±3)2+y2=25
2.(★★☆)求半径长为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.
易错点2 忽视圆的一般方程表示圆的条件致错
3.(★★☆)若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为( )
A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.1
4.(★★☆)已知定点A(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0的外部,求k的取值范围.
易错点3 直线与圆、圆与圆位置关系的相关问题中,忽略直线的斜率不存在致错
5.(★★☆)已知圆C的圆心在x轴正半轴上,半径长为5,且与直线4x+3y+17=0相切.
(1)求圆C的标准方程;
(2)设点M,过点M作直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程;
(3)设P是直线x+y+6=0上的点,过P点作圆C的切线PA,PB,切点分别为A,B求证:经过A,P,C 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
6.(★★☆)如图所示,过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD,已知正方形的边长为2,OP=2,连接AP、BP、CP、DP,M、N分别是AB、BC的中点,以O为原点,射线OM、ON、OP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.若E、F分别为线段PA、PB的中点,求A、B、C、D、E、F的坐标.
思想方法练
一、数形结合思想在求取值范围(或最值)中的应用
1.(★★☆)设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q的坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为 .
2.(★★☆)若直线y=x+b与曲线y=有公共点,试求b的取值范围.
二、分类讨论思想在求解过程中的应用
3.(★★☆)已知圆C经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
三、函数与方程思想在直线与圆的位置关系中的应用
4.(2018福建莆田一中高一期末,★★★)已知圆M:x2+(y-6)2=16,点P是直线l:x-2y=0上的一个动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)当切线PA的长度为4时,求线段PM的长度;
(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当P在直线l上运动时,圆N是否过定点 若过,求出所有定点的坐标;若不过,说明理由;
(3)求线段AB长度的最小值.
5.(2017北京二中高一模块考试,★★★)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的方程为x2+y2-8x+11=0,直线l的方程为(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.
(1)当m=1时,求直线l被圆C截得的弦长;
(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时,求直线l的方程;
(3)在(2)的前提下,若P为直线l上的动点,且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为,求点P的横坐标的取值范围.
四、转化与化归思想在求最值中的应用
6.(2018江西高安中学高一期末,★★☆)已知点M(a,b)在直线3x+4y=10上,则的最小值为 .
7.(★★☆)已知实数x、y满足x2+y2+2x-4y+1=0.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求的最大值和最小值.
答案全解全析
易混易错练
1.D 由题意知|AC|=5,|AB|=8,
所以|AO|=4,
在Rt△AOC中,|OC|===3.
如图所示,有两种情况:
故圆心C的坐标为(3,0)或(-3,0),故所求圆的标准方程为(x±3)2+y2=25.
2.解析 因为圆与直线y=0相切且半径长为4,故设圆心C的坐标为(a,4)或(a,-4),又易知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心坐标为A(2,1),半径长为3.若两圆相切,则|CA|=3+4=7或|CA|=4-3=1.
当C的坐标为(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),
所以a=2±2.
此时所求圆的方程为(x-2-2)2+(y-4)2=16或(x-2+2)2+(y-4)2=16;
当C的坐标为(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),
所以a=2±2.
此时所求圆的方程为(x-2-2)2+(y+4)2=16或(x-2+2)2+(y+4)2=16.
综上,所求圆的方程为(x-2-2)2+(y-4)2=16或(x-2+2)2+(y-4)2=16或(x-2-2)2+(y+4)2=16或(x-2+2)2+(y+4)2=16.
3.C ∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,∴[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又圆C过原点,∴2m2-6m+4=0,解得m=2或m=1(舍去),∴m=2.
4.解析 由题意可得
解得-5.解析 (1)设圆心C(a,0)(a>0),圆心C(a,0)到直线4x+3y+17=0的距离为d,
则由直线和圆相切可得=5,解得a=2(负值舍去),
即圆C的标准方程为(x-2)2+y2=25.
(2)若直线l的斜率不存在,即l:x=-1,
代入圆的方程可得y=±4,即有|AB|=8,符合题意;
若直线l的斜率存在,可设直线l:y-=k(x+1),
即2kx-2y+3+2k=0,
圆C到直线l的距离d==,
由|AB|=8,得2=8,
解得d=3,即=3,解得k=,则直线l的方程为3x-4y+9=0,
所以l的方程为3x-4y+9=0或x=-1.
(3)证明:由于P是直线x+y+6=0上的点,
设P(m,-m-6),由切线的性质可得AC⊥PA,
经过A,P,C三点的圆是以线段PC为直径的圆,
则方程为(x-2)(x-m)+y(y+m+6)=0,
整理可得(x2+y2-2x+6y)+m(y-x+2)=0,
令x2+y2-2x+6y=0,且y-x+2=0.
解得或
则经过A,P,C三点的圆必过定点,所有定点的坐标为(2,0),(-2,-4).
6.解析 易求出B点坐标为(1,1,0).因为A,C,D与B点分别关于xOz平面、yOz平面、坐标原点对称,所以A(1,-1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0).
又因为E、F分别为线段PA、PB的中点,且P(0,0,2),所以E,F.
思想方法练
1.答案 -2
解析 函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4在x轴及下方的部分,令点Q的坐标为(x,y),则所以y=-3,即x-2y-6=0,作出图象,如图所示,
由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d==>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-2.
2.解析 如图,在坐标系内作出曲线y=(半圆).当直线y=x+b与半圆y=相切时,有=2,所以b=2.
当直线y=x+b过点(2,0)时,b=-2.
所以直线l1:y=x-2,直线l2:y=x+2.
当直线l:y=x+b夹在l1与l2之间(包括l1,l2)时,l与曲线y=有公共点,所以截距b的取值范围为[-2,2].
3.解析 (1)设圆心的坐标为C(a,-2a),
则=.
化简,得a2-2a+1=0,解得a=1.
所以C点坐标为(1,-2),
半径长r=|AC|==.
故圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,符合题意.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,
由题意得=1,解得k=-,
则直线l的方程为y=-x.
综上所述,直线l的方程为x=0或3x+4y=0.
4.解析 (1)由题意知,圆M的半径长r=4,圆心M(0,6),
∵PA是圆的一条切线,∴∠MAP=90°.
∴|PM|==8.
(2)圆N过定点.
设P(2a,a),∵∠MAP=90°,∴经过A,P,M三点的圆N以线段MP为直径,
∴圆心N,半径长为=,
∴圆N的方程为(x-a)2+=,
即x2+y2-6y+a(-2x-y+6)=0,
由解得或
∴圆N过定点(0,6),.
(3)由(2)知,圆N的方程为x2+y2-2ax-ay-6y+6a=0,①
圆M:x2+(y-6)2=16,
即x2+y2-12y+20=0,②
②-①得2ax+(a-6)y+20-6a=0,即为直线AB的方程.
又圆心M(0,6)到直线AB的距离d==,
∴|AB|=2=2
=8,
∴当a=时,线段AB的长度有最小值.
5.解析 (1)圆C的标准方程为(x-4)2+y2=5,圆心为(4,0),半径长r=.
当m=1时,直线l的方程为3x+2y-11=0,
圆心C到直线l的距离d==,∴所求弦长为2=.
(2)圆心(4,0)到直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0的距离d=
==,
设所截弦长为a,则a2+d2=r2,
∴当d取得最大值时,所截弦长最短,
又d==,
令=t,则d=.
令g(t)=2t2+6t+5=2+5
=2+,
∴当t=-时,g(t)取得最小值.
此时m==-,d取得最大值,弦长取得最小值,
∴所求直线l的方程为x-y-2=0.
(3)设P(x0,x0-2),以P为圆心,为半径长画圆,当圆P与圆C刚好相切时,
|CP|==2,
解得x0=0或x0=6,
易知圆P与圆C有两个交点时符合题意,
∴点P的横坐标的取值范围为(0,6).
6.答案 2
解析 易知表示点M与原点的距离,而点M(a,b)在直线3x+4y=10上,
∴的最小值为原点到直线3x+4y=10的距离,即()min==2,
∴的最小值为2.
7.解析 方程x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,
此方程表示以(-1,2)为圆心,2为半径长的圆.设圆的半径长为r.
(1)表示圆上的点(x,y)与定点(4,0)连线的斜率,
所以令=k,即y=k(x-4).
当直线y=k(x-4)与已知圆相切时(如图),取得最值,
所以=2,解得k=0或k=-.
因此的最小值为-,最大值为0.
(2)=,它表示圆上的点(x,y)与定点(1,0)的距离.
因为定点(1,0)到已知圆的圆心的距离d==2,
所以的最大值为d+r=2+2,最小值为d-r=2-2.
易混易错练
易错点1 对圆心位置考虑不全致错
1.(★★☆)已知某圆圆心C在x轴上,半径长为5,且在y轴上截得线段AB的长为8,则圆的标准方程为( )
A.(x+3)2+y2=25 B.x2+(y±3)2=25
C.(x±3)2+y2=5 D.(x±3)2+y2=25
2.(★★☆)求半径长为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.
易错点2 忽视圆的一般方程表示圆的条件致错
3.(★★☆)若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为( )
A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.1
4.(★★☆)已知定点A(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0的外部,求k的取值范围.
易错点3 直线与圆、圆与圆位置关系的相关问题中,忽略直线的斜率不存在致错
5.(★★☆)已知圆C的圆心在x轴正半轴上,半径长为5,且与直线4x+3y+17=0相切.
(1)求圆C的标准方程;
(2)设点M,过点M作直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程;
(3)设P是直线x+y+6=0上的点,过P点作圆C的切线PA,PB,切点分别为A,B求证:经过A,P,C 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
6.(★★☆)如图所示,过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD,已知正方形的边长为2,OP=2,连接AP、BP、CP、DP,M、N分别是AB、BC的中点,以O为原点,射线OM、ON、OP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.若E、F分别为线段PA、PB的中点,求A、B、C、D、E、F的坐标.
思想方法练
一、数形结合思想在求取值范围(或最值)中的应用
1.(★★☆)设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q的坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为 .
2.(★★☆)若直线y=x+b与曲线y=有公共点,试求b的取值范围.
二、分类讨论思想在求解过程中的应用
3.(★★☆)已知圆C经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
三、函数与方程思想在直线与圆的位置关系中的应用
4.(2018福建莆田一中高一期末,★★★)已知圆M:x2+(y-6)2=16,点P是直线l:x-2y=0上的一个动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)当切线PA的长度为4时,求线段PM的长度;
(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当P在直线l上运动时,圆N是否过定点 若过,求出所有定点的坐标;若不过,说明理由;
(3)求线段AB长度的最小值.
5.(2017北京二中高一模块考试,★★★)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的方程为x2+y2-8x+11=0,直线l的方程为(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.
(1)当m=1时,求直线l被圆C截得的弦长;
(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时,求直线l的方程;
(3)在(2)的前提下,若P为直线l上的动点,且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为,求点P的横坐标的取值范围.
四、转化与化归思想在求最值中的应用
6.(2018江西高安中学高一期末,★★☆)已知点M(a,b)在直线3x+4y=10上,则的最小值为 .
7.(★★☆)已知实数x、y满足x2+y2+2x-4y+1=0.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求的最大值和最小值.
答案全解全析
易混易错练
1.D 由题意知|AC|=5,|AB|=8,
所以|AO|=4,
在Rt△AOC中,|OC|===3.
如图所示,有两种情况:
故圆心C的坐标为(3,0)或(-3,0),故所求圆的标准方程为(x±3)2+y2=25.
2.解析 因为圆与直线y=0相切且半径长为4,故设圆心C的坐标为(a,4)或(a,-4),又易知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心坐标为A(2,1),半径长为3.若两圆相切,则|CA|=3+4=7或|CA|=4-3=1.
当C的坐标为(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),
所以a=2±2.
此时所求圆的方程为(x-2-2)2+(y-4)2=16或(x-2+2)2+(y-4)2=16;
当C的坐标为(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),
所以a=2±2.
此时所求圆的方程为(x-2-2)2+(y+4)2=16或(x-2+2)2+(y+4)2=16.
综上,所求圆的方程为(x-2-2)2+(y-4)2=16或(x-2+2)2+(y-4)2=16或(x-2-2)2+(y+4)2=16或(x-2+2)2+(y+4)2=16.
3.C ∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,∴[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又圆C过原点,∴2m2-6m+4=0,解得m=2或m=1(舍去),∴m=2.
4.解析 由题意可得
解得-
则由直线和圆相切可得=5,解得a=2(负值舍去),
即圆C的标准方程为(x-2)2+y2=25.
(2)若直线l的斜率不存在,即l:x=-1,
代入圆的方程可得y=±4,即有|AB|=8,符合题意;
若直线l的斜率存在,可设直线l:y-=k(x+1),
即2kx-2y+3+2k=0,
圆C到直线l的距离d==,
由|AB|=8,得2=8,
解得d=3,即=3,解得k=,则直线l的方程为3x-4y+9=0,
所以l的方程为3x-4y+9=0或x=-1.
(3)证明:由于P是直线x+y+6=0上的点,
设P(m,-m-6),由切线的性质可得AC⊥PA,
经过A,P,C三点的圆是以线段PC为直径的圆,
则方程为(x-2)(x-m)+y(y+m+6)=0,
整理可得(x2+y2-2x+6y)+m(y-x+2)=0,
令x2+y2-2x+6y=0,且y-x+2=0.
解得或
则经过A,P,C三点的圆必过定点,所有定点的坐标为(2,0),(-2,-4).
6.解析 易求出B点坐标为(1,1,0).因为A,C,D与B点分别关于xOz平面、yOz平面、坐标原点对称,所以A(1,-1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0).
又因为E、F分别为线段PA、PB的中点,且P(0,0,2),所以E,F.
思想方法练
1.答案 -2
解析 函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4在x轴及下方的部分,令点Q的坐标为(x,y),则所以y=-3,即x-2y-6=0,作出图象,如图所示,
由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d==>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-2.
2.解析 如图,在坐标系内作出曲线y=(半圆).当直线y=x+b与半圆y=相切时,有=2,所以b=2.
当直线y=x+b过点(2,0)时,b=-2.
所以直线l1:y=x-2,直线l2:y=x+2.
当直线l:y=x+b夹在l1与l2之间(包括l1,l2)时,l与曲线y=有公共点,所以截距b的取值范围为[-2,2].
3.解析 (1)设圆心的坐标为C(a,-2a),
则=.
化简,得a2-2a+1=0,解得a=1.
所以C点坐标为(1,-2),
半径长r=|AC|==.
故圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,符合题意.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,
由题意得=1,解得k=-,
则直线l的方程为y=-x.
综上所述,直线l的方程为x=0或3x+4y=0.
4.解析 (1)由题意知,圆M的半径长r=4,圆心M(0,6),
∵PA是圆的一条切线,∴∠MAP=90°.
∴|PM|==8.
(2)圆N过定点.
设P(2a,a),∵∠MAP=90°,∴经过A,P,M三点的圆N以线段MP为直径,
∴圆心N,半径长为=,
∴圆N的方程为(x-a)2+=,
即x2+y2-6y+a(-2x-y+6)=0,
由解得或
∴圆N过定点(0,6),.
(3)由(2)知,圆N的方程为x2+y2-2ax-ay-6y+6a=0,①
圆M:x2+(y-6)2=16,
即x2+y2-12y+20=0,②
②-①得2ax+(a-6)y+20-6a=0,即为直线AB的方程.
又圆心M(0,6)到直线AB的距离d==,
∴|AB|=2=2
=8,
∴当a=时,线段AB的长度有最小值.
5.解析 (1)圆C的标准方程为(x-4)2+y2=5,圆心为(4,0),半径长r=.
当m=1时,直线l的方程为3x+2y-11=0,
圆心C到直线l的距离d==,∴所求弦长为2=.
(2)圆心(4,0)到直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0的距离d=
==,
设所截弦长为a,则a2+d2=r2,
∴当d取得最大值时,所截弦长最短,
又d==,
令=t,则d=.
令g(t)=2t2+6t+5=2+5
=2+,
∴当t=-时,g(t)取得最小值.
此时m==-,d取得最大值,弦长取得最小值,
∴所求直线l的方程为x-y-2=0.
(3)设P(x0,x0-2),以P为圆心,为半径长画圆,当圆P与圆C刚好相切时,
|CP|==2,
解得x0=0或x0=6,
易知圆P与圆C有两个交点时符合题意,
∴点P的横坐标的取值范围为(0,6).
6.答案 2
解析 易知表示点M与原点的距离,而点M(a,b)在直线3x+4y=10上,
∴的最小值为原点到直线3x+4y=10的距离,即()min==2,
∴的最小值为2.
7.解析 方程x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,
此方程表示以(-1,2)为圆心,2为半径长的圆.设圆的半径长为r.
(1)表示圆上的点(x,y)与定点(4,0)连线的斜率,
所以令=k,即y=k(x-4).
当直线y=k(x-4)与已知圆相切时(如图),取得最值,
所以=2,解得k=0或k=-.
因此的最小值为-,最大值为0.
(2)=,它表示圆上的点(x,y)与定点(1,0)的距离.
因为定点(1,0)到已知圆的圆心的距离d==2,
所以的最大值为d+r=2+2,最小值为d-r=2-2.