3.2 简单的三角恒等变换 题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4（Word版，含解析）

第三章　三角恒等变换
3.2　简单的三角恒等变换
基础过关练
题组一　求值
1.(陕西高一期末)已知cos=-,0<α<,则cos=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B. C. D.-
2.设5π<θ<6π,cos=a,则sin=(　　)
A. B.
C.- D.-
3.若f(x)=2tan x-,则f的值是(　　)
A.- B.8 C.4 D.-4
4.已知sin-cos=-,450°<α<540°,求tan的值.
题组二　化简
5.函数f(x)=(06.(吉林蛟河一中高一月考)化简-=(　　)
A.2sin 3 B.2cos 3 C.-2sin 3 D.-2cos 3
7.化简的结果是(　　)
A.-cos 1 B.cos 1
C.cos 1 D.-cos 1
8.化简+2sin2得(　　)
A.2+sin α B.2+sin
C.2 D.2+sin
9.若θ∈(π,2π),试化简.
10.已知π<α<,化简:
+.
题组三　三角恒等变换的综合应用
11.函数f(x)=cos2,x∈R,则f(x)(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
12.(山东冠县实验高级中学高一期中)已知函数f(x)=3cos2x-sin2x+3,则函数(　　)
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为5
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为6
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为5
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为6
13.(广东中山高一下期末)求下列各式的值:
(1)-;
(2).
14.已知向量a=,b=(sin x,-cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)求函数f(x)在上的最大值和最小值.
15.(北京朝阳高一上期末质检)已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x+.
(1)若点P在角α的终边上,求tan 2α和f(α)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期;
(3)若x∈,求函数f(x)的最小值.
16.(浙江温州高一上期末)已知向量a=(sin x,2sin x),b=(cos x,0),设函数f(x)=|a+b|.
(1)解不等式f(x)≥;
(2)是否存在实数t∈(3,+∞),使函数y=f(x)在(3,t)内单调递增,若存在,求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.
能力提升练
一、选择题
1.(广西河池中学高一下月考,★★☆)设a=cos 2°-sin 2°,b=,c=,则有　(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.aC.b2.(★★☆)已知函数f(x)=cos2·cos2,则f等于(　　)
A. B. C. D.
3.(河南郑州高一下期末,★★☆)要得到函数y=2cos2x+sin 2x-的图象,只需将函数y=2sin 2x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.(河南高一期末,★★☆)若函数f(x)=sin x+cos x-2sin xcos x+1-a有零点,则实数a的取值范围为(　　)
A. B.[-,2]
C.[-2,] D.
5.(河南郑州高一下期末,★★☆)设f(x)=asin 2x+bcos 2x,ab≠0,若f(x)≤对任意x∈R成立,则下列命题中正确命题的个数是(　　)
(1)f =0;
(2)<;
(3)f(x)不具有奇偶性;
(4)f(x)的单调递增区间是(k∈Z);
(5)可能存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
6.(2018江西上饶高一下联考,★★☆)设向量a=,b=,若a∥b,则sin的值是　　　　.
7.(安徽安庆高一上期末,★★☆)若A为不等边△ABC的最小内角,则f(A)=的值域为　　　　.
三、解答题
8.(湖南师大附中高一期中,★★☆)已知2sin x=cos x.
(1)求sin2x-sin xcos x的值;
(2)若π9.(乌鲁木齐市第四中学高一期中,★★☆)已知向量a=(2sin x-cos x,sin x),b=(cos x,sin x),f(x)=a·b+1.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)当x∈时,求f(x)的值域.
答案全解全析
第三章　三角恒等变换
3.2　简单的三角
恒等变换
基础过关练
1.B　因为cos=2cos2-1=-,所以cos=±,又因为0<α<,所以cos=.
2.D　∵5π<θ<6π,∴∈,,
∴sin=-=-.
3.B　f(x)=2tan x-
=2tan x+=2tan x+.
又tan ==
==,
∴f =2×++2=8.
4.解析　由题意得sin -cos 2=,
即1-sin α=,得sin α=.
∵450°<α<540°,∴cos α=-,
∴tan ===2.
5.B　f(x)=3cos2+4sin2cos2-2
=
==3×+-2=|cos x|(06.A　因为-=-,<3<π,所以原式=sin 3-cos 3+sin 3+cos 3=2sin 3.
7.C　原式=====cos 1.
8.C　原式=1+2sin cos +1-cos2-=2+sin α-cos-α=2+sin α-sin α=2.
9.解析　∵θ∈(π,2π),∴sin θ<0,
∴==
=-tan .
10.解析　原式=+
.
∵π<α<,∴<<,
∴cos<0,sin>0,
∴原式=
+
=-+
=-cos.
11.D　由cos 2x=2cos2x-1,
得f(x)=cos2x+=
=+cos2x+=-,
所以f(-x)=+,故f(x)≠f(-x),且-f(x)≠f(-x),
所以该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
12.B　依题意f(x)=3×-+3=2cos 2x+4,故最小正周期为T==π,最大值为2+4=6,故选B.
13.解析　(1)原式=
=
===4.
(2)原式=
=
===.
14.解析　(1)f(x)=a·b=sin x·cos x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin2x-,故函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(3)由(1)知f(x)=sin,
∵x∈,∴2x-∈,
结合正弦函数的图象可得函数f(x)在上的最大值为1,最小值为-.
15.解析　(1)因为点P,-在角α的终边上,
所以sin α=-,cos α=,tan α=-,
tan 2α===-.
f(α)=sin 2α-2sin2α+
=2sin αcos α-2sin2α+
=2×-×-2×-2+
=0.
(2)f(x)=sin 2x-2sin2x+
=sin 2x+cos 2x
=2sin2x+,
所以f(x)的最小正周期为π.
(3)因为x∈0,,
所以≤2x+≤,
所以-≤sin2x+≤1,
所以当2x+=,即x=时,f(x)有最小值-.
16.解析　(1)由题意得,
f(x)=
=
=.
令≥,
得sin2x-≥,
得+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z).
∴不等式的解集是x≤x≤kπ+,k∈Z.
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间是kπ-,kπ+(k∈Z).
由题知当k=1时,f(x)在,内单调递增,且3∈,满足条件,
所以当3∴3能力提升练
一、选择题
1.D　由题意可得,a=cos 2°-sin 2°
=sin 30°cos 2°-cos 30°sin 2°=sin 28°,
b==tan 28°,
c===sin 25°,
结合三角函数线和三角函数的单调性可得c2.A　f(x)=cos2·cos2
=·
=·=,
所以f ==.
故选A.
3.C　y=2cos2x+sin 2x-=(2cos2x-1)+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2cos 2x+sin 2x=2sin=2sin 2,故只需将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度.故选C.
4.D　令f(x)=0,得a=sin x+cos x-2sin xcos x+1,
∵(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x,令t=sin x+cos x=sin∈[-,],
则2sin xcos x=t2-1,∴sin x+cos x-2sin x·cos x+1=t-(t2-1)+1=-t2+t+2,
构造函数g(t)=-t2+t+2,其中-≤t≤,
则g(t)=-+,
∴g(t)max=g=,g(t)min=g(-)=-,
∴当-≤a≤时,直线y=a与函数y=g(t)的图象在区间[-,]上有交点,
∴实数a的取值范围是,故选D.
5.B　f(x)=sin(2x+θ)其中tan θ=.由于f(x)≤对任意x∈R成立,故x=是函数f(x)图象的对称轴,所以2×+θ=kπ+,k∈Z,∴θ=kπ+,k∈Z,
所以f(x)=sin
=±sin.
对于(1),f=±sin2×+=0,故(1)正确.对于(2),计算得=,故(2)错误.对于(3),根据f(x)的解析式可知,f(x)是非奇非偶函数,故(3)正确.对于(4),由于f(x)的解析式有两种情况,故单调性要分情况讨论,故(4)错误.对于(5),要使经过点(a,b)的直线与函数f(x)没有交点,则此直线和x轴平行,且|b|>,两边平方得b2>a2+b2,与已知矛盾,所以不存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交,故(5)错误.综上,正确的命题有两个,故选B.
二、填空题
6.答案　-
解析　因为a∥b,
所以cos α+=sin α,
所以cos α+=sin α,
所以sinα-=,
所以sin2α-=sin2α--
=-cos2α-=2sin2α--1
=-1=-.
7.答案　(0,-1]
解析　∵A为不等边△ABC的最小内角,
∴A∈,设t=sin A+cos A,
则t=sin A+cos A=sin∈(1,].
又2sin Acos A=(sin A+cos A)2-1=t2-1,
∴f(A)===t-1∈(0,-1].故答案为(0,-1].
三、解答题
8.解析　(1)由2sin x=cos x得tan x=,
则sin2x-sin xcos x=
==-.
(2)解法一:tan x==,
则tan2+4tan-1=0,解得tan=-2±,
由π0,得π则<<,∴tan=-2-.
解法二:由π0,得π从而sin x=-,cos x=-,
tan=====-2-.
9.解析　(1)f(x)=a·b+1=(2sin x-cos x)·cos x+sin2x+1
=2sin xcos x-cos2x+sin2x+1
=sin 2x-(cos2x-sin2x)+1
=sin 2x-cos 2x+1
=2sin+1,
由于函数y=sin u的单调递减区间为,
所以令+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
因此函数y=f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(2)∵x∈,∴2x-∈-,,∴sin∈,
∴2sin+1∈[1-,2],因此函数y=f(x)在区间上的值域为[1-,2].