第一章空间几何体复习提升练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2（含答案）
文档属性
| 名称 | 第一章空间几何体复习提升练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 337.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-08 10:56:36 | ||
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文档简介
本章复习提升
易混易错练
易错点1 三视图问题中忽视长度关系与实虚线或几何体的摆放位置而致错
1.(★★☆)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )
A. B. C. D.
2.(★★☆)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图是( )
易错点2 求几何体的表面积时考虑不全致错
3.(★★☆)一个机器零件的三视图如图所示,其中侧视图是一个半圆与边长为a的正方形,俯视图是一个半圆内切于边长为a的正方形.若该机器零件的表面积为96+4π,则a的值为( )
A.4 B.2 C.8 D.6
4.(★★☆)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( )
A.20π B.24π C.28π D.32π
易错点3 对几何体分类讨论不全致错
5.(★★☆)球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为 .
6.(★★☆)已知半径为5的球O被两平行平面所截,两截面圆的半径分别为3和4,求分别以两截面为上、下底面的圆台的侧面积.
思想方法练
一、函数与方程思想在求表面积、体积中的应用
1.(★★★)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗实(虚)线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A.π B.6π C.11π D.12π
2.(★★☆)一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.
(1)求圆锥的侧面积;
(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大 并求出侧面积的最大值.
3.(★★☆)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,求三棱锥P-DCE的外接球的体积.
二、转化与化归思想在求体积或距离中的应用
4.(★★☆)如图,△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB垂直于平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5,求此几何体的体积.
5.(★★☆)如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角.其中OA、OB、OC两两垂直,三个侧面OAB、OAC、OBC的面积分别为1.5 cm2、1 cm2、3 cm2,求三棱锥O-ABC的体积.
6.(★★☆)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A到平面A1BD的距离d.
答案全解全析
易混易错练
1.A 抠点法.在长方体ABCD-A1B1C1D1中抠点,
(1)由正视图可知:C1D1上没有点;
(2)由侧视图可知:B1C1上没有点;
(3)由俯视图可知:CC1上没有点;
(4)由正(俯)视图可知:D,E处有点,由俯视图中虚线可知B,F处有点,A点排除.
由上述可还原出四棱锥为A1-BEDF,如图所示.
S四边形BEDF=1×1=1,=×1×1=.故选A.
2.D A的正视图和俯视图不符合要求,B的正视图和侧视图不符合要求,C的俯视图显然也不符合要求.
3.A 该几何体为一个正方体与四分之一个球的组合体,所以表面积为6a2+×4π×=96+4π,所以a=4.
4.C 由三视图可知该几何体是一个圆柱和一个圆锥的组合体,其表面积为π×3×5+2π×1×2+π×32=28π.故选C.
5.答案 或
解析 如图所示,设球的半径为r,则球心到该圆锥底面的距离为,于是圆锥的底面半径为=,高为或.若高为,则该圆锥的体积为×π××=πr3,球的体积为πr3,∴该圆锥的体积和此球体积的比值为=.同理可得高为时,比值为.
6.解析 ①当两截面圆在球心O的同侧时,如图(1)所示,AB为较大的截面圆的直径,O1为较大的截面圆的圆心,CD为较小的截面圆的直径,O2为较小的截面圆的圆心,梯形ABDC为圆台的轴截面,由题意,知OO1=3,OO2=4,则圆台的高为O1O2=1,AC=,所以圆台的侧面积S侧=π(3+4)×=7π.
图(1)
②当两截面圆在球心O的异侧时,如图(2)所示,AB为较大的截面圆的直径,O1为较大的截面圆的圆心,CD为较小的截面圆的直径,O2为较小的截面圆的圆心,梯形ABDC为圆台的轴截面,由题意,知OO1=3,OO2=4,则圆台的高为O1O2=7,AC=5,所以圆台的侧面积为S侧=π(3+4)×5=35π.
图(2)
思想方法练
1.C 可将该三棱锥S-ABC放到长方体中,如图所示,取线段AC的中点O1,过O1作O1P垂直于平面ABC,交长方体的上底面于点P,因为△ABC是直角三角形,所以外接球的球心O必在线段PO1上,连接SO、SP、OC,设OO1=x,球的半径为R,易得SP=,O1C=,
所以解得R2=,
所以该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=11π.故选C.
2.解析 (1)圆锥的母线长为=2(cm),
所以圆锥的侧面积S1=π×2×2=4π(cm2).
(2)圆锥的轴截面如图所示.
设圆柱的底面半径为r cm,则根据三角形相似,有=,∴r=,
∴圆柱的侧面积S2=2πrx=(-x2+6x)=-[(x-3)2-9],
∴当x=3时,圆柱的侧面积取得最大值,最大值为6π cm2.
3.解析 由题意易知,三棱锥P-DCE为正三棱锥,各侧棱长均为1,P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心,设中心为O,则OD=OE=OC=,在Rt△POD中,OP2=PD2-OD2=,则OP=.易知外接球的球心必在OP上,设球心为O',则O'P=O'D,设O'P=O'D=R,
则在Rt△OO'D中,OO'2+OD2=O'D2,即(OP-O'P)2+OD2=O'D2,∴+=R2,解得R=,∴三棱锥P-DCE的外接球的体积为πR3=.
4.解析 如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,将几何体的体积转化为一个三棱柱和一个四棱锥的体积之和,即V几何体=V三棱柱+V四棱锥.
由题意知V三棱柱=×8×6×3=72,
V四棱锥=S梯形MNEF·DN=××(1+2)×6×8=24,
所以几何体的体积为72+24=96.
5.解析 设OA、OB、OC的长依次为x cm、y cm、z cm,则由已知可得解得显然三棱锥O-ABC的底面积和高是不易求出的,于是我们不妨转换视角,将三棱锥O-ABC看成以C为顶点,以OAB为底面的三棱锥C-OAB.易知OC为三棱锥C-OAB的高,于是VO-ABC=VC-OAB=S△OAB·OC=×1.5×2=1(cm3),即三棱锥O-ABC的体积为1 cm3.
6.解析 如图所示,在三棱锥A1-ABD中,AA1是三棱锥A1-ABD的高,AB=AD=AA1=a,A1B=BD=A1D=a.
∵=,=×a××a=a2,
∴×a2·a=×a2·d,∴d=a.
故A到平面A1BD的距离为a.
易混易错练
易错点1 三视图问题中忽视长度关系与实虚线或几何体的摆放位置而致错
1.(★★☆)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )
A. B. C. D.
2.(★★☆)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图是( )
易错点2 求几何体的表面积时考虑不全致错
3.(★★☆)一个机器零件的三视图如图所示,其中侧视图是一个半圆与边长为a的正方形,俯视图是一个半圆内切于边长为a的正方形.若该机器零件的表面积为96+4π,则a的值为( )
A.4 B.2 C.8 D.6
4.(★★☆)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( )
A.20π B.24π C.28π D.32π
易错点3 对几何体分类讨论不全致错
5.(★★☆)球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为 .
6.(★★☆)已知半径为5的球O被两平行平面所截,两截面圆的半径分别为3和4,求分别以两截面为上、下底面的圆台的侧面积.
思想方法练
一、函数与方程思想在求表面积、体积中的应用
1.(★★★)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗实(虚)线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A.π B.6π C.11π D.12π
2.(★★☆)一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.
(1)求圆锥的侧面积;
(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大 并求出侧面积的最大值.
3.(★★☆)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,求三棱锥P-DCE的外接球的体积.
二、转化与化归思想在求体积或距离中的应用
4.(★★☆)如图,△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB垂直于平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5,求此几何体的体积.
5.(★★☆)如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角.其中OA、OB、OC两两垂直,三个侧面OAB、OAC、OBC的面积分别为1.5 cm2、1 cm2、3 cm2,求三棱锥O-ABC的体积.
6.(★★☆)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A到平面A1BD的距离d.
答案全解全析
易混易错练
1.A 抠点法.在长方体ABCD-A1B1C1D1中抠点,
(1)由正视图可知:C1D1上没有点;
(2)由侧视图可知:B1C1上没有点;
(3)由俯视图可知:CC1上没有点;
(4)由正(俯)视图可知:D,E处有点,由俯视图中虚线可知B,F处有点,A点排除.
由上述可还原出四棱锥为A1-BEDF,如图所示.
S四边形BEDF=1×1=1,=×1×1=.故选A.
2.D A的正视图和俯视图不符合要求,B的正视图和侧视图不符合要求,C的俯视图显然也不符合要求.
3.A 该几何体为一个正方体与四分之一个球的组合体,所以表面积为6a2+×4π×=96+4π,所以a=4.
4.C 由三视图可知该几何体是一个圆柱和一个圆锥的组合体,其表面积为π×3×5+2π×1×2+π×32=28π.故选C.
5.答案 或
解析 如图所示,设球的半径为r,则球心到该圆锥底面的距离为,于是圆锥的底面半径为=,高为或.若高为,则该圆锥的体积为×π××=πr3,球的体积为πr3,∴该圆锥的体积和此球体积的比值为=.同理可得高为时,比值为.
6.解析 ①当两截面圆在球心O的同侧时,如图(1)所示,AB为较大的截面圆的直径,O1为较大的截面圆的圆心,CD为较小的截面圆的直径,O2为较小的截面圆的圆心,梯形ABDC为圆台的轴截面,由题意,知OO1=3,OO2=4,则圆台的高为O1O2=1,AC=,所以圆台的侧面积S侧=π(3+4)×=7π.
图(1)
②当两截面圆在球心O的异侧时,如图(2)所示,AB为较大的截面圆的直径,O1为较大的截面圆的圆心,CD为较小的截面圆的直径,O2为较小的截面圆的圆心,梯形ABDC为圆台的轴截面,由题意,知OO1=3,OO2=4,则圆台的高为O1O2=7,AC=5,所以圆台的侧面积为S侧=π(3+4)×5=35π.
图(2)
思想方法练
1.C 可将该三棱锥S-ABC放到长方体中,如图所示,取线段AC的中点O1,过O1作O1P垂直于平面ABC,交长方体的上底面于点P,因为△ABC是直角三角形,所以外接球的球心O必在线段PO1上,连接SO、SP、OC,设OO1=x,球的半径为R,易得SP=,O1C=,
所以解得R2=,
所以该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=11π.故选C.
2.解析 (1)圆锥的母线长为=2(cm),
所以圆锥的侧面积S1=π×2×2=4π(cm2).
(2)圆锥的轴截面如图所示.
设圆柱的底面半径为r cm,则根据三角形相似,有=,∴r=,
∴圆柱的侧面积S2=2πrx=(-x2+6x)=-[(x-3)2-9],
∴当x=3时,圆柱的侧面积取得最大值,最大值为6π cm2.
3.解析 由题意易知,三棱锥P-DCE为正三棱锥,各侧棱长均为1,P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心,设中心为O,则OD=OE=OC=,在Rt△POD中,OP2=PD2-OD2=,则OP=.易知外接球的球心必在OP上,设球心为O',则O'P=O'D,设O'P=O'D=R,
则在Rt△OO'D中,OO'2+OD2=O'D2,即(OP-O'P)2+OD2=O'D2,∴+=R2,解得R=,∴三棱锥P-DCE的外接球的体积为πR3=.
4.解析 如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,将几何体的体积转化为一个三棱柱和一个四棱锥的体积之和,即V几何体=V三棱柱+V四棱锥.
由题意知V三棱柱=×8×6×3=72,
V四棱锥=S梯形MNEF·DN=××(1+2)×6×8=24,
所以几何体的体积为72+24=96.
5.解析 设OA、OB、OC的长依次为x cm、y cm、z cm,则由已知可得解得显然三棱锥O-ABC的底面积和高是不易求出的,于是我们不妨转换视角,将三棱锥O-ABC看成以C为顶点,以OAB为底面的三棱锥C-OAB.易知OC为三棱锥C-OAB的高,于是VO-ABC=VC-OAB=S△OAB·OC=×1.5×2=1(cm3),即三棱锥O-ABC的体积为1 cm3.
6.解析 如图所示,在三棱锥A1-ABD中,AA1是三棱锥A1-ABD的高,AB=AD=AA1=a,A1B=BD=A1D=a.
∵=,=×a××a=a2,
∴×a2·a=×a2·d,∴d=a.
故A到平面A1BD的距离为a.