3.2.1几类不同增长的函数模型 题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修1（Word版，含解析）

第三章　函数的应用
3.2　函数模型及其应用
3.2.1　几类不同增长的函数模型
基础过关练
题组一　不同增长函数模型的比较
1.下列函数中,增长速度越来越慢的是(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=6x B.y=log6x
C.y=x6 D.y=6x
2.“红豆生南国,春来发几枝”.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是(　　)
A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t
C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2
3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用(　　)
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
4.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是　　　　.
5.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图.
(1)指出图中C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).
题组二　不同增长函数模型的应用
6.某厂一月份的产量为a,二月份增产10%,三月份比二月份减产10%,设三月份的产量为b,则(　　)
A.a>b B.a7.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台,第二个月销售了200台,第三个月销售了400台,第四个月销售了790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4,x∈N*)之间关系的是(　　)
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100x
8.某国2015年至2018年国内生产总值(单位:万亿元)如下表所示:
年份 2015 2016 2017 2018
x(年份代码) 0 1 2 3
生产总值y(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8
(1)画出函数图象,猜想y与x之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式;
(2)利用得出的关系式求生产总值,并与表中实际生产总值进行比较;
(3)利用关系式预测2032年该国的国内生产总值.
9.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来拟合h与t的关系,你认为哪个符合 并预测第8年松树的高度.
t(年) 1 2 3 4 5 6
h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
10.(山东潍坊高一上期末)汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶,当汽车被设定为定速巡航状态时,电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量,使汽车始终保持在所设定的车速行驶,而无需司机操纵油门,从而减轻疲劳,促进安全,节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况,选择一段长度为240 km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的下列数据:
v/(km/h) 0 40 60 80 120
F/L 0 10 20
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:
F(v)=av3+bv2+cv,F(v)=+a,F(v)=klogav+b.其中a>0,且a≠1,b≠0,c≠0,k≠0.
(1)请选出你认为最符合实际的的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)这辆汽车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少
题组三　不同增长的函数模型的图象特征
11.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是(　　)
12.(山东潍坊高一上期末)已知函数y=xa,y=bx,y=logcx的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.aC.a13.函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,比较f(6),g(6), f(2 020),g(2 020)的大小.
14.已知函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,+∞),试分别写出使不等式:①log2x<2x答案全解全析
第三章　函数的应用
3.2　函数模型及其应用
3.2.1　几类不同增长
的函数模型
基础过关练
1.B　A中函数的增长速度越来越快,C中函数在(0,+∞)上的增长速度越来越快,D中一次函数的增长速度不变,只有B中对数函数的增长速度越来越慢,符合题意.
2.A　根据已知所给的散点图,观察得到图象在第一象限,且从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数的增长趋势可得,用指数函数拟合最好,故选A.
3.D　结合选项可知,只有对数函数模型符合题目要求.
4.答案　y2
解析　以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据图象(图略)可知,变量y2关于x呈指数型函数变化.
5.解析　(1)由函数图象特征及变化趋势,知曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,
曲线C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x);当x∈(x1,x2)时,g(x)f(x).
g(x)呈直线增长,函数值变化是均匀的, f(x)随着x的增大而逐渐增大,其函数的增长速度越来越慢.
6.A　由题易得二月份的产量为a(1+10%),
∴三月份的产量为b=a(1+10%)(1-10%)=a=a×,∴b7.C　将题目中的数据代入各函数中,易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.
8.解析　(1)根据题表中数据作出散点图如图.
从函数的图象可以看出,画出的点近似地落在一条直线上,设所求的函数关系式为y=kx+b(k≠0).
把直线经过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式,解得k=0.677 7,b=8.206 7.
∴函数关系式为y=0.677 7x+8.206 7.
(2)由得到的函数关系式计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为
0.677 7×1+8.206 7=8.884 4(万亿元),0.677 7×2+8.206 7=9.562 1(万亿元),
与实际的生产总值相比,误差不超过0.1万亿元.
(3)2032年,即x=17,
由(1)得y=0.677 7×17+8.206 7=19.727 6(万亿元),
即预测2032年该国的国内生产总值为19.727 6万亿元.
9.解析　根据题表中数据作出散点图如图.
由图象可以看出增长的速度越来越慢,用一次函数模型拟合不合适,选用对数函数模型比较合理.
不妨将(2,1)代入h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.
故可用函数h=log3(t+1)来拟合这个实际问题.
当t=8时,求得h=log3(8+1)=2(米),
故可预测第8年松树的高度为2米.
10.解析　(1)由题意可知,符合本题的函数模型必须满足定义域为[0,120],且在[0,120]上为增函数.
函数F(v)=v+a在[0,120]上是减函数,所以不符合题意;
函数F(v)=klogav+b的v≠0,即定义域不可能为[0,120],也不符合题意;
所以选择函数F(v)=av3+bv2+cv,
由已知数据得
解得
所以F(v)=v3-v2+v(0≤v≤120).
(2)设这辆车在该测试路段的总耗油量为y,行驶时间为t,由题意得,
y=F·t
=v3-v2+v·
=v2-v+70
=(v-80)2+30.
因为0≤v≤120,所以当v=80时,y有最小值30.
所以这辆汽车在该测试路段上以80 km/h的速度行驶时总耗油量最少,最少为30 L.
11.D　设该林区的森林原有蓄积量为a,
由题意得,ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),
∴y=f(x)的图象大致为D中图象.
12.A　由题中图象知,01,c>1.
在函数y=bx中,当x=1时,y=b∈(1,2),
在函数y=logcx中,当y=1时,x=c∈(2,3).
因此,a13.解析　(1)曲线C1对应的函数为g(x)=x3,曲线C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f(1)=2>g(1)=1, f(2)=4g(10)=1 000,
∴1由题图可以看出,当x1f(x)当x>x2时, f(x)>g(x),
∴f(2 020)>g(2 020).
又g(2 020)>g(6),
∴f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6).
14.解析　(1)∵函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数,∴f(x)=2x.
(2)作出函数y=2x,y=x2,y=log2x在同一直角坐标系中的图象,
可得22=4,24=42=16,
①∵log2x<2x②∵log2x4,解集为(0,2)∪(4,+∞).