3.2.2双曲线的几何性质　同步练习——2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

双曲线的几何性质
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．y=4x B． C．y=±2x D．
2．若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A． B．4 C．6 D．9
3．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．若双曲线：（，）的一条渐近线与直线：平行，则直线，间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
6．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＝1 B．a≥1
C．a>1 D．07．已知双曲线的离心率等于2，，分别是C的左、右焦点，A为C的右顶点，P在C的渐近线上且，若的面积为，则C的虚轴长等于（ ）
A． B．4 C． D．2
8．双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为等边三角形，则以下说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．若双曲线的实轴长为2，则
C．若双曲线的焦距为，则点的纵坐标为
D．点在以为直径的圆上
二、多选题
9．已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）．
A．的焦点在轴上 B．
C．的实轴长为6 D．的离心率为
10．已知双曲线，对于且，则下列四个选项中因k改变而变化的是（ ）
A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程
11．设，分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的取值范围是
C．到渐近线的距离随着的增大而减小 D．当时，的实轴长是虚轴长的3倍
12．双曲线的左、右焦点分别为，点为的左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，，垂足为.当的最小值为3时，的中点在双曲线上，则（ ）
A．的方程为 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．的方程为
三、填空题
13．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则________．
14．双曲线上的一点P到左焦点的距离为6，则这样的点P有________个．
15．已知是坐标原点，是双曲线的左焦点，过作轴的垂线，垂线交该双曲线的一条渐近线于点，在另一条渐近线上取一点，使得，若，则双曲线的离心率为__________.
16．已知双曲线，以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，过双曲线的右焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为___________．
四、解答题
17．求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程.
18．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点
，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：·＝0；
19．已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
20．已知双曲线C：的离心率为，且经过.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P Q，设P Q中点为M，求三角形面积的取值范围.
参考答案
1．C
2．D
3．C
4．A
5．D
6．B
7．B
如图，
双曲线的离心率等于2，①
设F1，F2分别是C的左、右焦点,
双曲线在一三象限的渐近线的斜率为: ②
A为C的右顶点，P在C的渐近线上，且,
所以，的面积为3a,
可得，③，
解①②③可得b=2,
所以C的虚轴长等于4.
故选: D
8．D
∵为等边三角形，∴
∵，
由对称性可知，
又∵
∴在中，
∴，∵，∴
对于A选项：双曲线的渐近线方程为，故A错误；
对于B选项：∵实轴长为2，∴即，
∵，，∴，
∴
∴故B错误；
对于C选项：∵若双曲线的焦距为，∴
∵，，∴，
∴
设A点的纵坐标为，
∴，即，故C错误；
对于D选择：∵
∴
∴点在以为直径的圆上，故D正确.
故选：D.
9．AD
10．AC
11．ABC
因为，所以，故A正确；
因为双曲线焦点在轴上，由且，得的取值范围是，故B正确；
因为到渐近线的距离等于虚半轴长为，其在上单调递减，故C正确；
当时，的实轴长为，虚轴长4，的实轴长是虚轴长的倍，故D错误．
故选：ABC.
12．BCD
因为，所以
因为焦点到渐近线的距离为，所以的最小值为，所以 不妨设直线为，因为，所以点，，的中点为.将其代入双曲线的方程，得，即，解得 又因为，所以，故双曲线的方程为，离心率为，渐近线方程为
故选：BCD
13．
14．
双曲线的标准方程为，
则，，
所以，
所以左焦点，右顶点为，
如图，
当点P为右顶点时，点P到左焦点的距离为6，
所以右支上只有一个点到左焦点的距离为6，
当点P在左支上时，存在两个点到左焦点的距离为6，
故答案为：3
15．
设双曲线的半焦距为，且不妨设.
由知，，
所以直线的方程为，
由，解得，
又，
所以，
解得，
所以双曲线的离心率.
故答案为：
16．
方法一：因为以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，
所以，
所以．
设为坐标原点，不妨设点在第一象限，易知，
因为，
所以，
所以，
所以，化简可得，
所以，
解得，
所以双曲线的标准方程为，
方法二：因为以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，
所以，
所以．设为坐标原点，双曲线的左焦点为，
因为，所以，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的标准方程为，
故答案为：．
17．
解：
设双曲线方程为，
由题意易求得，又双曲线过点，
所以；因为，所以，.
故所求双曲线的方程为.
18．（1）；（2）证明见解析.
解：
（1）∵，
∴双曲线的实轴、虚轴相等.
则可设双曲线方程为
∵双曲线过点，
∴，即.
∴双曲线方程为..
（2）证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则，.
∴，
∵M点在双曲线上，
∴，即，
∴·.
19．（1）（2）
解：
（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为
所以，
由可得 ,解得，，
故双曲线的标准方程为
（2）设，AB中点的坐标为
则①，②，
②①得：，
即，又，
所以，
所以直线的方程为，即
20．（1）；（2）.
解：
（1）由题题意，得
，
解得.
所以，双曲线C的方程为.
（2）设直线的方程为与双曲线C方程联立：
，消元得
设P Q两点的纵坐标为，则：
，解得.
设点M的纵坐标为，由题点M为的中点，即
所以，
易知表达式在上单调递减，故三角形面积的取值范围为