第一课 常用逻辑用语
题组训练一 四种命题的关系及其真假判断
1．命题“若一个数是偶数，则它能被2整除”的逆命题是( )
A．“若一个数是偶数，则它不能被2整除”
B．“若一个数能被2整除，则它是偶数”
C．“若一个数不是偶数，则它不能被2整除”
D．“若一个数不能被2整除，则它不是偶数”
2．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．给出下列几个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；
③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设有两个命题：
(1)不等式|x|－|x－1|>a的解集为 ；
(2)函数f(x)＝恒有意义，如果这两个命题至少有一个是假命题，则a的取值范围为________．
【解析】1.选B.命题“若一个数是偶数，则它能被2整除”的条件是“一个数是偶数”，结论是“它能被2整除”，所以它的逆命题是“若一个数能被2整除，则它是偶数”．
2．选B.命题“若a>－3，则a>－6”为真命题，它的逆命题为“若a>－6，则a>－3”，为假命题；它的否命题为“若a≤－3，则a≤－6”，为假命题；它的逆否命题为“若a≤－6，则a≤－3”，为真命题．故真命题的个数为2.
3．选B.对于①，否命题是“不全等三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题．
4.－＝其取值范围是，不等式|x|－|x－1|>a的解集为 ，
即|x|－|x－1|≤a恒成立，若(1)为真命题，则a≥1，若(2)为真命题，则a2－4≤0，－2≤a≤2，(1)(2)均为真命题，可得1≤a≤2，所以若(1)(2)至少有一个是假命题，则a<1或a>2.
答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)
命题真假的判断方法
题组训练二 充分条件、必要条件与充要条件
1．设p：1
1，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“a cos A＝b cos B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＝1 D．λ1λ2＝－1
4．已知直线l1：x＋ay＋2＝0和l2：(a－2)x＋3y＋6a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________．
【解析】1.选A.利用充分条件必要条件的定义求解．由2x>1，得x>0，所以p q，但qD /p，所以p是q的充分不必要条件．
2．选A.由a cos A＝b cos B sin 2A＝sin 2B，
所以A＝B或2A＋2B＝π，可知关系．
3．选C.A，B，C三点共线 ＝λ λ1a＋b＝λa＋λλ2b λ1λ2＝1.
4.＝≠，得a＝－1(舍去)，a＝3.
答案：3
条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假．
(2)等价法：利用A B与B A，B A与A B，A B与B A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
题组训练三 含逻辑联结词的命题
1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
2．短道速滑队组织6名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员)参加冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为( )
A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名
B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名
C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名
D．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名
3．已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n α，则m∥α；命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是( )
A．p∨q B．(p)∨q C．(p)∧q D．p∧q
4．已知命题p：不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a∈(0，4)，命题q：“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(q)
C．(p)∧(q) D．(p)∧q
【解析】1.选C.函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；直线x＝不是y＝cos x的图象的对称轴，命题q为假命题，故p∧q为假．
2．选D.(q)∧r是真命题意味着q为真，q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假，只能p为真(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．
3．选B.命题q：若a>b，则ac>bc为假命题，命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n α，则m∥α也为假命题，因此只有(p)∨q为真命题．
4．选D.命题p：a＝0时，可得1>0恒成立；a≠0时，可得解得0命题q：由x2－2x－8>0解得x>4或x<－2.因此“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，是真命题．故(p)∧q是真命题．
1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键
关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”的含义的理解，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．
2．判断命题真假的步骤
题组训练四 全称命题与特称命题
1．命题p： x<0，x2≥2x，则命题p为( )
A． x0<0，x≥2x0 B． x0≥0，x<2x0
C． x0<0，x<2x0 D． x0≥0，x≥2x0
2．已知命题p：“ x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“ x0∈R，x＋4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．[e，4] B．[1，4]
C．(4，＋∞) D．(－∞，1]
3．在下列几个命题中，真命题的个数是( )
① x∈R，x2＋x＋3＞0；
② x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
③ α0，β0∈R，使sin (α0＋β0)＝sin α0＋sin β0；
④ x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．命题p： x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定p是________．
【解析】1.选C.p： x0<0，x<2x0.
2．选A.p∧q为真 p，q都为真．由p为真得出a≥e，由q为真得出a≤4，所以e≤a≤4.
3．选D.①中，x2＋x＋3＝＋≥＞0，故①为真命题；
②中， x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，故②也为真命题；
③中，当α＝，β＝－时，sin (α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③为真命题；
④中，当x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故④为真命题．
4．答案： x0∈R，f(x0)对于全称命题与特称命题的否定除了否定命题的结论外，还必须对量词进行转换，尤其对省略了量词的全称命题进行否定时更要谨慎，以防出错．
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6含有一个量词的命题的否定
1.全称命题的否定
全称命题 p 结论
x∈M，p(x) x0∈M，p(x0) 全称命题的否定是特称命题
(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗？
提示：形式不唯一．例如“所有的正方形都是菱形”，它的否定是“并不是所有的正方形都是菱形”，也可以是“有些正方形不是菱形”．
(2)对省略量词的命题如何进行否定？
提示：许多全称命题中省略了全称量词，对这些命题进行否定时，应先加上量词“所有的”或“任意的”，再对它进行否定．
2．特称命题的否定
特称命题 p 结论
x0∈M，p(x0) x∈M，p(x) 特称命题的否定是全称命题
(1)对特称命题的否定的关键是什么？
提示：特称命题的否定是全称命题，对特称命题的否定的关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．
(2)命题的否定与否命题有什么区别？
提示：否命题是对命题的条件和结论同时否定，而命题的否定只对命题的结论进行否定．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)命题p：“所有指数函数都是单调函数”，则p：“所有指数函数都不是单调函数”．( × )
提示：命题p：“所有指数函数都是单调函数”是全称命题，它的否定是特称命题不是全称命题．
(2)命题p：“所有指数函数都是单调函数”，则p：“有些指数函数不是单调函数”．( √ )
提示：命题p：“所有指数函数都是单调函数”是全称命题，它的否定是特称命题，“有些指数函数不是单调函数”．
(3)命题p：“有的质数是偶数”，则p：“所有质数都不是偶数”．( √ )
提示：命题p：“有的质数是偶数”是特称命题，它的否定是全称命题， “所有质数都不是偶数”．
(4)命题p：“有的质数是偶数”，则p：“有的质数是奇数”．( × )
提示：命题p：“有的质数是偶数”是特称命题，它的否定是全称命题，并且要对结论进行否定， 应为“所有质数都不是偶数”．
2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A，2x∈B，则( )
A.p： x∈A，2x B B．p： x A，2x B
C.p： x0 A，2x0∈B D．p： x0∈A，2x0 B
【解析】选D.根据题意可，知命题p： x∈A，2x∈B的否定是p： x0∈A，2x0 B.
3．(教材二次开发：例题改编)命题“ x∈R，sin x≤1”的否定是“__________________”．
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ x∈R，sin x≤1”的否定是 x0∈R，sin x0>1.
答案： x0∈R，sin x0>1
类型一 含有量词的命题的否定(数学抽象)
【典例】1.命题 x∈R，ex－x－1≥0的否定是( )
A. x∈R，ex－x－1≤0
B. x∈R，ex－x－1≥0
C. x0∈R，ex0－x0－1≤0
D. x0∈R，ex0－x0－1<0
【解析】选D.因为命题 x∈R，ex－x－1≥0是全称命题，
所以其否定是特称命题，即 x0∈R，ex0－x0－1<0.
2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数，它的平方是有理数
B.任意一个无理数，它的平方不是有理数
C.存在一个有理数，它的平方是有理数
D.存在一个无理数，它的平方不是有理数
【思路导引】首先分清是全称命题还是特称命题，然后对它进行否定，得出结论．
【解析】选B.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是特称命题，含存在量词“存在”，否定后应为全称命题，含有全称量词 “任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，所以其否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
1．对全称命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．
(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
2．全称命题否定后的真假判断方法
全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可．
命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定是_________________________．
【解析】全称命题的否定是特称命题，命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定应为“有些长方体不是四棱柱”．
答案：有些长方体不是四棱柱
类型二 含有量词的命题否定的应用(数学抽象、逻辑推理)
【典例】1.若命题p：“ x0∈R，2x－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
【思路导引】先求p，再求参数的取值范围．
【解析】p： x∈R，2x2－3ax＋9≥0为真命题．
则Δ＝9a2－72≤0，解得－2≤a≤2.
答案：[－2，2]
2．命题“ x∈{x|x≥1}，x2＋x＋m≥0”是假命题，求实数m的取值范围．
【思路导引】可以直接求出原命题为真命题的参数的范围，再求补集；也可以转化为命题的否定为真命题求参数的范围．
【解析】方法一：若原命题是真命题，即对于 x∈{x|x≥1}，x2＋x＋m≥0恒成立，
令f(x)＝x2＋x＋m，则f(1)≥0，即2＋m≥0，解得m≥－2.要使原命题是假命题，则实数m的取值范围是m<－2.
方法二：依题意，原命题的否定为“ x0∈{x|x≥1}，x＋x0＋m<0”，令f(x)＝x2＋x＋m，只要f(1)<0即可，即2＋m<0，解得m<－2.
含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
(1)对于全称命题“ x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(或a＜f(x)min).
(2)对于特称命题“ x0∈M，a＞f(x0)(或a＜f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max).
(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．
(2021·北海高二检测)已知命题p： x0∈R，使x－4x0＋a<0成立，命题q： x∈R，＋≥a恒成立．
(1)若命题p为真，求实数a的取值范围；
(2)若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
【解析】(1)p为真，即x2－4x＋a≥0恒成立，故Δ≤0，
即16－4a≤0，解得a≥4，故a的取值范围为a≥4.
(2)由(1)可知命题p为假命题，则a≥4，故命题p为真，则a<4，
对命题q，若其为真，则＋≥a 恒成立，
则＋≥＝3≥a，
解得a≤3，故命题q，若其为假，则a>3；
又由p或q为真，p且q为假，则p，q中一个为真，一个为假，
即或解得a∈，
故实数a的取值范围为31．已知命题p： x<1，总有x<1，则p为( )
A． x0≥1，使得x0≥1
B． x0<1，使得x0≥1
C． x<1，总有x≥1
D． x≥1，总有x≥1
【解析】选B.根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“p： x<1，总有x<1”的否定为：“ x0<1，使得x0≥1”．
2．命题p： x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0，4] B．(－∞，0]∪[4，＋∞)
C．[0，4] D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
【解析】选D.当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有即解得04.
3．已知命题p： x>0，ln (x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(q)
C．(p)∧q D．(p)∧(q)
【解析】选B.因为x>0，所以x＋1>1，所以ln (x＋1)>ln 1＝0.所以命题p为真命题，所以p为假命题．
因为a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2所以p∧q为假命题，p∧(q)为真命题，(p)∧q为假命题，(p)∧(q)为假命题．
4．若“ x∈R，x2－2ax＋a＋6>0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
【解析】由题得“ x0∈R，x－2ax0＋a＋6≤0”，
所以4a2－4(a＋6)≥0，所以a2－a－6≥0，
所以(a－3)(a＋2)≥0，所以a≥3或a≤－2.
答案：(－∞，－2]∪[3，＋∞)
5．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
【解析】－1>－2>－3，－1＋(－2)＝－3>－3，矛盾，所以－1，－2，－3可验证该命题是假命题．
答案：－1，－2，－3(答案不唯一)
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6全称量词 存在量词
1.全称量词与全称命题
定 义 符号表示
全称量词 表示整体或全部的含义的短语，如“所有的”“任意一个”
全称命题 含有全称量词的命题 x∈M，p(x)
(1)常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“凡是”等．
(2)是否所有的全称命题都含有全称量词？
提示：全称命题是陈述集合中所有元素都具有的某种性质，有些全称命题省略了全称量词，如“有理数是实数”就是“所有的有理数都是实数”．
2．存在量词与特称命题 定 义 符号表示
存在量词 表示个别或一部分的含义的短语，如“存在一个”“至少有一个”
特称命题 含有存在量词的命题 x0∈M，p(x0)
常见的存在量词有哪些？
提示：常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”“大部分”等．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“有的实数是无限不循环小数”是特称命题，是真命题．( √ )
提示：.“有的实数是无限不循环小数”含有存在量词“有的”是特称命题，且是真命题．
(2)“有些三角形不是等腰三角形” 是特称命题，是真命题．( √ )
提示：(“有些三角形不是等腰三角形”含有存在量词“有些” 是特称命题，且是真命题．
(3)“2x＋1是整数(x∈R)”是全称命题，是假命题．( √ )
提示： “2x＋1是整数(x∈R)”就是“所有的2x＋1是整数(x∈R)”含有全称量词，是全称命题，且是假命题．
(4)“对所有的x∈R，x＞3” 是全称命题，是真命题．( × )
提示：“对所有的x∈R，x＞3” 含有全称量词“所有的”是全称命题，是假命题．
2．(2021·天水高二检测)下列命题含有全称量词的是( )
A.某些函数图象不过原点
B.实数的平方为正数
C.方程x2＋2x＋5＝0有实数解
D.素数中只有一个偶数
【解析】选B.“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程x2＋2x＋5＝0有实数解”即“存在实数x，使x2＋2x＋5＝0”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是特称命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称命题，其省略了全称量词“所有的”．
3．(教材二次开发：思考改编)命题p： x0∈R，x＋2x0＋5<0是____________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”).
答案：特称命题 假
类型一 全称命题与特称命题的判断(数学抽象、逻辑推理)
1．特称命题“存在实数x0，使x＋1<0”可写成( )
A.若x∈R，则x2＋1>0
B. x∈R，x2＋1<0
C. x0∈R，x＋1<0
D.以上都不正确
【解析】选C.特称命题中“存在”可用符号“ ”表示．
2．判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°.
(2)有的向量方向不定．
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
(4)矩形的对角线不相等．
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
【解析】(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路
【注意】全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．
【补偿训练】
下列命题中，不是全称命题的是( )
A.任何一个实数加0都等于它本身
B.正整数都是有理数
C.每一条直线都有倾斜角
D.一定存在没有最大值的二次函数
【解析】选D.“任何一个实数加0都等于它本身”含有全称量词，是全称命题； “正整数都是有理数”就是“所有的正整数都是有理数”含有全称量词，是全称命题；“每一条直线都有倾斜角”含有全称量词，是全称命题；“一定存在没有最大值的二次函数”含有存在量词，是特称命题，不是全称命题
类型二 全称命题、特称命题的真假判断(逻辑推理)
1．下列命题中的假命题是( )
A. x0∈R，lg x0＝0 B． x0∈R，tan x0＝1
C. x∈R，x2>0 D． x∈R，ex>0
【解析】选C.对于A，x0＝1时，lg x0＝0；
对于B，x0＝kπ＋(k∈Z)时，tan x0＝1；
对于C，当x＝0时x2＝0，所以C中命题为假命题；
对于D，ex>0恒成立．
2．下列命题中的真命题是( )
A. φ∈R，函数f(x)＝sin (2x＋φ)都不是偶函数
B. α0，β0∈R，使cos (α0＋β0)＝cos α0＋cos β0
C.向量a＝(2，1)，b＝(－1，0)，则a在b方向上的投影为2
D.“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件
【解析】选B.对于A，当φ＝时，f(x)＝cos 2x，为偶函数，故A为假命题；对于B，令α0＝，β0＝－，则cos (α0＋β0)＝cos ＝，cos α0＋cos β0＝＋0＝，cos (α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B为真命题；
对于C，向量a＝(2，1)，b＝(－1，0)，则a在b方向上的投影为＝＝－2，故C为假命题；
对于D，|x|≤1，即－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，则|x|≤1不一定成立，所以“|x|≤1”为“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题．
3．指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0.
(2)对任意实数x1，x2，若x1(3)存在两个相交平面垂直于同一条直线．
(4) x0∈R，使x＋1<0.
【解析】(1)是全称命题．因为ax>0(a>0，且a≠1)恒成立，所以命题(1)是真命题．
(2)是全称命题．存在x1＝0，x2＝π，x1(3)是特称命题．由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，所以命题(3)是假命题．
(4)是特称命题．对任意x∈R，x2＋1>0，所以命题(4)是假命题．
全称命题与特称命题的真假判断的技巧
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可．
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
类型三 利用全称命题与特称命题求参数范围(逻辑推理、数学抽象)
【典例】1.若对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a＜0成立，则实数a的取值范围是__________．
【思路导引】1ax2＋2x＋a＜0恒成立，对应的二次函数图象开口向下，且与x轴无公共点．
【解析】因为对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a＜0成立，所以解得a<－1.
答案：(－∞，－1)
2．若“ x0∈，tan x0≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
【思路导引】 x0∈，tan x0≤m，即x∈[0，]时，
(tan x)min≤m.
【解析】原命题等价于y＝tan x在上的最小值小于或等于m，又y＝tan x在上的最小值为0，
所以m≥0，即m的最小值为0.
答案：0
将本例1的条件改为“ x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0成立”，结果会怎样？
【解析】 x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0成立，于是有
a≤0或解得a<1.
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)转化为恒成立问题：含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．
(2)转化为方程或不等式有解问题：含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．
1．若命题“ x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________．
【解析】由题意知当x>3，有x>a恒成立，则a≤3.
答案：(－∞，3]
2．若命题“ x0∈R使x＋x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
【解析】由题意得若命题“ x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，
则命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是真命题，
则需Δ≤0 2－4≤0 －1≤a≤3.
答案：
【补偿训练】
1.命题p： x0∈[0，π]，使sin 【解析】由0≤x≤π得≤x＋≤，
所以－≤sin ≤1.
而命题p： x0∈[0，π]，使sin 因为p为真命题，所以a>－.
答案：
2．(2020·承德高二检测)已知命题p： x0∈R，使x－mx0＋1＝0，命题q： x∈R，有x2－2x＋m>0.若命题q∨(p∧q)为真，p为真，求实数m的取值范围．
【解析】由于p为真，所以p为假，则p∧q为假．又q∨(p∧q)为真，故q为真，即p假、q真．
命题p为假，即关于x的方程x2－mx＋1＝0无实数解，则m2－4<0，解得－21.故实数m的取值范围是(1，2).
1．下列命题中特称命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；
②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等；
④对任意一个x∈Z，2x2＋1为奇数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选B.根据全称命题和特称命题的定义可知，①②④是全称命题，③是特称命题．
2．“ x∈R，都有k≤x2＋1恒成立”是真命题，则实数k的取值范围是________．
【解析】因为x2＋1≥1，即x2＋1的最小值为1，要使“k≤x2＋1恒成立”，只需k≤min，即k≤1.
答案：k≤1
3．设p：不等式x2＋(m－1)x＋1>0的解集为R；q： x∈(0，＋∞)，m≤x＋恒成立，若“p且q”为假，“p或q”为真，则实数m的取值范围为________．
【解析】若p为真，判别式Δ<0，则(m－1)2－4<0，
所以－1由“p且q”为假，“p或q”为真，可知p，q一真一假，
(1)当p为真q为假时，2(2)当q为真p为假时，m≤－1，
综上所述，m的取值范围为(－∞，－1]∪(2，3).
答案：(－∞，－1]∪(2，3)
4．设常数a∈R，命题“存在x∈R，使x2＋ax－4a≤0”为假命题，则a的取值范围为________．
【解析】命题：“存在x0∈R，使x＋ax0－4a≤0”为假命题，
即x＋ax0－4a>0恒成立，必须Δ<0，
即：a2＋16a<0，解得－16答案：(－16，0)
5．(1)设集合S＝{直线}，p(x)：与圆x2＋y2＝4相切，试用不同的表述方式写出全称命题：“ l∈S，p(x)”．
(2)设q(x)：x2>x，试用不同的表述方式写出特称命题：“存在x0∈R，q(x0)”．
【解析】(1)可以有以下几种不同的表述：
①对所有的直线l，都与圆x2＋y2＝4相切；
②任意的直线l，都与圆x2＋y2＝4相切；
③每一条直线l，都与圆x2＋y2＝4相切；
④凡是直线l，都与圆x2＋y2＝4相切．
(2)可以有以下几种不同的表述：
①存在实数x0，使得x>x0成立；
②至少有一个实数x0，使得x>x0成立；
③对有些实数x0，使得x>x0成立．
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8简单的逻辑联结词
1. 用逻辑联结词构成新命题
(1)“且”的含义是什么？
提示：“且”表示同时的意思，类似于集合中的交集．x∈A∩B，即x∈A且x∈B.
(2)“或”的含义是什么？
提示：“或”表示至少一个的意思，类似于集合中的并集．x∈A∪B，即x∈A或x∈B.
(3)p是命题p的否命题吗？
提示：不是．p是命题p的否定，不是命题p的否命题．若命题p “若m，则n”，那么，p：“若m，则n”．
2．含有逻辑联结词的命题真假判断
p q p∧q p∨q p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
命题p与命题p的真假一定相反吗？
提示：一定．若命题p是真命题，则命题p一定是假命题；若命题p是假命题，则命题p一定是真命题．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1) “10或15是5的倍数”是p∨q形式的命题，是真命题．( √ )
提示：命题“10或15是5的倍数”即“10是5的倍数或15是5的倍数”，是p∨q形式的命题，是真命题．
(2)“方程x2＋1＝0没有实数根”是p形式的命题，是真命题．( √ )
提示： “方程x2＋1＝0没有实数根”是“方程x2＋1＝0有实数根”的否定，是p形式的命题，是真命题．
(3)“有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形”是p∧q形式的命题，是真命题．( √ )
提示：“有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形”即“有两个角为45°的三角形是等腰三角形且是直角三角形”，是p∧q形式的命题，是真命题．
2．若p∧q是假命题，则( )
A.p是真命题，q是假命题
B.p，q均为假命题
C.p，q至少有一个是假命题
D.p，q至少有一个是真命题
【解析】选C.当p，q都是真命题 p∧q是真命题，其逆否命题为： p∧q是假命题 p，q至少有一个是假命题，可得C正确．
3．(教材二次开发：例题改编)“5≥5”是________形式的新命题，它是________(“真”或“假”)命题．
【解析】5≥5，即5＞5或5＝5.真命题．
答案：p∨q 真
类型一 含有逻辑联结词的命题的构成(数学抽象)
1．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示( )
A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米
C．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米
D．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米
【解析】选D.命题p∨q为“甲的试跳成绩超过2米或乙的试跳成绩超过2米”，所以p∨q表示甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米．
2．指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
(1)方程x2－3＝0没有有理根．
(2)矩形的对角线互相平分且相等．
(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
【解析】(1)这个命题是“p”形式的命题，其中
p：方程x2－3＝0有有理根．
(2)这个命题是“p∧q”形式的命题，其中p：矩形的对角线互相平分，q：矩形的对角线相等．
(3)这个命题是“p∨q”形式的命题，其中p：1是方程
x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
用逻辑联结词构造新命题的两个步骤
提醒：有的命题表面上不含逻辑联结词，但有与联结词等效的词语，注意辨识．
【补偿训练】
1.分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题．
p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
【解析】p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．
2．分别用“p或q”“p且q”“非p”填空．
(1)“正弦函数既是奇函数又是周期函数”是________形式．
(2)“负数的对数无意义”是________形式．
(3)“e≥2”是________形式．
【解析】(1)“正弦函数既是奇函数又是周期函数”是“正弦函数是奇函数且正弦函数是周期函数”，是p且q的形式．(2)“负数的对数无意义”是非p的形式．(3)“e≥2”即“e>2或e＝2”，是p或q的形式．
答案：(1)p且q (2)非p (3)p或q
类型二 含逻辑联结词命题的真假判断(数学抽象、逻辑推理)
【典例】1.(2021·德阳高二检测)已知命题p：函数y＝2－ax＋1恒过(1，2)点；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q
【思路导引】首先判断命题p，q的真假，再结合含有逻辑联结词的命题真假判断得出结论．
【解析】选B.函数y＝2－ax＋1恒过定点(－1，1)，
所以命题p错误；若函数f(x－1)为偶函数，
所以有f(－x－1)＝f(x－1)，关于直线x＝－1对称，
所以命题q错误；所以p为真，q为真，所以p∧q为真．
2．已知命题p：在△ABC中，C>B是sin C>sin B的充分不必要条件，命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件，则( )
A．p假q真 B．p真q假
C．p∨q为假 D．p∧q为真
【思路导引】首先判断命题p，q的真假，再结合含有逻辑联结词的命题真假判断得出结论．
【解析】选C.在△ABC中，C>B是sin C>sin B的充要条件，所以命题p是假命题；当c＝0时，a>b不能推得ac2>bc2，命题q为假命题．所以A，B错误．根据含有逻辑联结词的命题真假判断可得p∨q为假命题， p∧q为假命题．
3．(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
①p1∧p4 ②p1∧p2 ③p2∨p3 ④p3∨p4
【思路导引】判断p1，p2，p3，p4的真假 判断所给命题的真假．
【解析】对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，
所以，AB 平面α，即l3 平面α，命题p1为真命题；对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；对于命题p3，空间中两条直线相交、平行或异面，命题p3为假命题；对于命题p4，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，因为直线l 平面α，所以直线m⊥直线l，命题p4为真命题．综上可知，p1∧p4为真命题，p1∧p2为假命题，p2∨p3为真命题，p3∨p4为真命题．
答案：①③④
判断含逻辑联结词的命题真假的两个步骤
给出下列两个命题：命题p：空间任意三个向量都是共面向量；命题q：“>”是“ln xA．p∧q B．p∨q
C．(p)∧q D．(p)∨q
【解析】选D.平行于同一平面的向量叫共面向量，故空间任意三个向量不一定都是共面向量，例如在三条两两垂直的直线上取向量，则不共面，故命题p为假命题；
由x>y解得xy”不是“ln x【补偿训练】
分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假．
①p：1∈{2，3}，q：2∈{2，3}；
②p：2是奇数，q：2是合数；
③p：4≥4，q：23不是偶数；
④p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－2q：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|x>5或x<－2}．
【解析】①因为p是假命题，q是真命题，所以p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是真命题．
②因为p是假命题，q是假命题，所以p∨q是假命题，p∧q是假命题，p是真命题．
③因为p是真命题，q是真命题，所以p∨q是真命题，p∧q是真命题，p是假命题．
④因为p是真命题，q是假命题，所以p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是假命题．
类型三 逻辑联结词的应用(数学抽象、逻辑推理)
已知含有逻辑联结词的命题真假判断简单命题的真假
【典例】若p，q是两个简单命题，p或q的否定是真命题，则必有( )
A．p真q真 B．p假q假
C．p真q假 D．p假q真
【思路导引】由已知推出p或q的真假，再判断p，q的真假．
【解析】选B.p或q的否定是真命题，则p或q是假命题，所以p，q都是假命题．
在逻辑联结词的应用中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对已知条件的分析、运用，得出结论．
将本例中“p或q的否定是真命题”，改为“p且q的否定是假命题”，结论如何？
【解析】因为p且q的否定是假命题，所以p且q是真命题，所以p和q都是真命题．
利用含有逻辑联结词的命题真假求参数范围
【典例】已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．
【思路导引】由p∨q为真， p∧q为假得p，q的真假，然后求参数m的取值范围．
【解析】因为p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，
所以所以m＞2.
因为q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，所以Δ＜0，即16(m－2)2－16＜0，所以16(m2－4m＋3)＜0，所以1＜m＜3.
因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p为真，q为假或者p为假，q为真．
即或
解得m≥3或1＜m≤2.
所以m的取值范围为{m|m≥3或1＜m≤2}．
应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤
(1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B.
(2)讨论p，q的真假．
(3)由p，q的真假转化为相应的集合间的关系．
(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．
提醒：当p，q中有假命题时，求参数范围应从求真命题的补集入手，可简化运算，减少出错．
1．已知p：m<0，q：x2＋mx＋1>0对一切实数x恒成立，若p∧q为真，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)
【解析】选D.q：x2＋mx＋1>0对一切实数恒成立，
所以Δ＝m2－4<0，所以－2p：m<0，因为p∧q为真，所以p，q均为真，
所以所以－22．已知p：－1≤x≤3，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，所以x≤1－a或x≥1＋a，所以q：1－a又因为p：－1≤x≤3，p是q的必要不充分条件，
所以根据题意，得，解得0答案：(0，2]
3．若p：关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，q：函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R.若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．
【解析】根据关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集为{x|x<0}知00的解集为R，则解得a>.因为p∨q为真，p∧q为假．所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”．故或
解得01.
所以a的取值范围是∪(1，＋∞).
1．若p∧q是真命题，则( )
A．p是真命题，q是假命题
B．p，q均为真命题
C．p是假命题，q是真命题
D．p，q均是假命题
【解析】选B.因为p∧q是真命题，故p，q均为真命题．
2．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(p)∨q B．p∧q
C．(p)∨(q) D．(p)∧(q)
【解析】选C.由已知得p是真命题，q是假命题，
所以p是假命题，q是真命题．
所以 (p)∨q为假命题；p∧q为假命题；(p)∨(q)为真命题；(p)∧(q)为假命题．
3．(教材二次开发：思考改编)下列命题中是“p或q”形式的命题的是( )
A．函数y＝ln x是减函数
B．函数y＝ax(a>1)是增函数
C．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根
D．28是5的倍数或是7的倍数
【解析】选D.选项A，B中的命题不是由逻辑联结词构成的命题，故不是“p或q”形式的命题；选项C中的命题可写成“2是方程x2－4＝0的根且2是方程x－2＝0的根”，该命题是“p且q”形式的命题；选项D中的命题可写成“28是5的倍数或28是7的倍数”，该命题是“p或q”形式的命题．
4．若p为真命题，q为假命题，则“p∨q”是________命题．
【解析】若p为真命题，q为假命题，则“p∨q”是真命题．
答案：真
5．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“q”都为假，则x的值组成的集合为______________．
【解析】因为“p∧q”为假，“q”为假，所以q为真，p为假．
故即
因此，x的值可以是－1，0，1，2.
答案：{－1，0，1，2}
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10充要条件的应用
充要条件：若p q且q p，则记作p q，此时p是q的充分必要条件，简称
充要条件．
“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；而p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( √ )
提示：p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”，是相互等价的命题．
(2)设x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的必要而不充分条件．( × )
提示：由|x|>1，解得x>1或x＜－1，故“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件．
(3)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件. ( √ )
提示：因为 a>0，b>0，若a＋b≤4，
所以 2≤ a＋b≤4.所以 ab≤4，此时充分性成立．
当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4，这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．
综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．
2．“x2>2 017”是“x2>2 016”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.若x2>2 017，因为2 017>2 016，故x2>2 016，
故“x2>2 017”可以推出“x2>2 016”，取a2＝2 016.5，
则a2>2 016，a2>2 017不成立，
所以 “x2>2 016”可以推不出“x2>2 017”，
所以“x2>2 017”是“x2>2 016”的充分不必要条件．
3．方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件是________，它的一个充分不必要条件可以是________．
【解析】因为方程x2－2x＋a＝0有实根，
所以Δ≥0，即(－2)2－4a≥0，解得a≤1，
反之，当a≤1时，Δ≥0，则方程x2－2x＋a＝0有实根，
所以a≤1是方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件，
当a＝1时，方程x2－2x＋1＝0有实根x＝1，而当方程x2－2x＋a＝0有实根时不一定是a＝1，
所以a＝1是方程x2－2x＋a＝0有实根的一个充分不必要条件．
答案：a≤1 a＝1(答案不唯一)
类型一 充要条件的判断(逻辑推理)
应用定义判断充要条件
【典例】1.“m>”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【思路导引】由方程无实数解，先得出m的范围，再判断．
【解析】选B.方程x2＋x＋m＝0无实数解 Δ＝1－4m＜0 m>.
2．(2021·成都高二检测)设a>0，b>0，则“lg (ab)>0”是“lg (a＋b)>0”的( )
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【思路导引】注意前提条件，应用充要条件的定义判断．
【解析】选A.因为lg (ab)>0，所以ab>1，a>0，b>0，显然a，b中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符．故由lg (ab)>0 lg (a＋b)>0，由lg (a＋b)>0，可得a＋b>1，a，b与1的关系不确定，故由lg (a＋b)>0推不出lg (ab)>0，当然可以举特例：如a＝b＝，符合a＋b>1，但是不符合ab>1，
因此“lg (ab)>0”是“lg (a＋b)>0”的充分不必要条件．
本例1中“m>”若换为“m＜”，其他条件不变，结论又如何呢？
【解析】选D.方程x2＋x＋m＝0无实数解 Δ＝1－4m＜0 m>，所以方程x2＋x＋m＝0无实数解不能推出m＜，而m＜也不能推出方程x2＋x＋m＝0无实数解，所以“m＜”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的既不充分也不必要条件．
借助集合间的关系判断充要条件
【典例】已知集合A＝{x|lg x≥0}，B＝{x|2x≤4}，C＝{x|(x－4)·(x＋2)≤0}，则“x∈(A∩B)”是“x∈C”的( )
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
【思路导引】求出集合，判断集合A∩B与C的关系．
【解析】选A.因为A＝{x|x≥1}，B＝{x|x≤2}，故A∩B＝，又因为C＝{x|－2≤x≤4}，所以(A∩B)?C，故“x∈(A∩B)”是“x∈C”的充分不必要条件．
1．命题的条件和结论间的充分性、必要性的分类与判断
(1)p是q的充分必要条件(充要条件)，即 p q且q p.
(2)p是q的充分不必要条件，即p q且qD /p.
(3)p是q的必要不充分条件，即pD /q且q p.
(4)p是q的既不充分又不必要条件，即pD /q且qD /p.
2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
p表示的集合为A，q表示的集合为B.
若A B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
1．“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选C.x2－3x＋2＝0，即(x－2)(x－1)＝0，所以x＝1或x＝2.因为当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0，
所以“x2－3x＋2＝0”是“x＝1或x＝2”的充要条件，那么“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的充要条件．
2．已知条件p：|x－1|＜2，条件q：x2－5x－6＜0，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.条件p：|x－1|＜2，即－1＜x＜3，条件q：x2－5x－6＜0，即－1＜x＜6.所以p是q的充分不必要条件．
3．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选C.由于函数y＝x3在R上是增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．
故“x>1”是“x3>1”的充要条件．
4．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选D.本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b>0，但ab＜0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab>0，但a＋b＜0，故不是必要条件．所以“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．
【补偿训练】
1.设p：|x|－3>0，q：x2－x＋>0，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】选A.使p成立的x的集合为A＝{x|x>3或x＜－3}，使q成立的x的集合为B＝{x|x>或x＜}，
因为A?B，即若x∈A，则x∈B.但x∈B不一定有x∈A，所以p是q的充分不必要条件．
2．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选C.因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知＝－，所以|＋|>||等价于|＋|>|－|，
因为模为正，故不等号两边平方得＋＋2||·||cos θ>＋－2||·||cos θ(θ为与的夹角)，整理得4||·||cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充分必要条件．
类型二 利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围(数学运算、逻辑推理)
【典例】(2020·邢台高二检测)设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围的策略
(1)如果条件p与结论q是否成立都与数集有关(例如方程、不等式的解集、参数的取值范围等)，常利用集合法来分析条件的充分性与必要性，将充要条件的讨论转化为集合间的包含关系讨论，可借助数轴等工具进行．
(2)用集合的关系判断充要条件时，关键抓住已知A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则A B p是q的充分条件，q是p的必要条件．
已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【解析】由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由q是p的充分不必要条件，故a≥1.
答案：[1，＋∞)
【拓展延伸】
判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p q及q p这两个命题是否成立，若p q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p q及q p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合 大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
【拓展训练】
1．设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选C.{an}为等比数列，an＝a1·qn－1.由a1＜a2＜a3得a1＜a1q＜a1q2，即a1>0，q>1或a1＜0，0＜q＜1，则数列{an}为递增数列．反之也成立．
2．“x＜0”是“ln (x＋1)＜0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.由ln (x＋1)＜0得0＜x＋1＜1，
所以－1＜x＜0，即(－1，0)?(－∞，0)，
所以“x＜0”是“ln (x＋1)＜0”的必要不充分条件．
类型三 充要条件的证明(逻辑推理、数学抽象)
【典例】已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：＜的充要条件是xy>0.
【思路导引】充要条件的证明可用其定义，即条件 结论且结论 条件．如果每一步的推出都是等价的( )，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“ ”写出证明．
【证明】方法一：(充分性)由xy>0及x>y，
得>，即＜，
(必要性)由＜，得－＜0，即＜0.
因为x>y，所以y－x＜0，所以xy>0.
所以＜的充要条件是xy>0.
方法二：＜ －＜0 ＜0.
由条件x>y y－x＜0，故由＜0 xy>0.
所以＜ xy>0，即＜的充要条件是xy>0.
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
【提醒】证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．
试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
【证明】①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
【补偿训练】
求证：1是关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的根的充要条件是a＋b＝－(c＋d).
【证明】(1)充分性：因为a＋b＝－(c＋d)，所以a＋b＋c＋d＝0，
所以a×13＋b×12＋c×1＋d＝0成立，即1是关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的根．
(2)必要性：由1是关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的根，得a＋b＋c＋d＝0，即a＋b＝－(c＋d).
综上所述，1是关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的根的充要条件是a＋b＝－(c＋d).
备选类型 充要条件的探求(数学抽象、逻辑推理)
【典例】若集合A＝，B＝，试写出：
(1)A∪B＝R的一个充要条件；
(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件．
【解析】因为集合A＝，B＝，
所以集合A＝，B＝，
(1)若A∪B＝R，则m≥－2，
故A∪B＝R的一个充要条件是m≥－2.
(2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是m≥－2，
所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是m≥－3.(答案不唯一)
探求一个命题成立的充要条件的两种处理方法
(1)先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立．
(2)变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件．
设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|y＝}，则A (A∩B)的充要条件为________；A (A∩B)的一个充分不必要条件可为________(写出一个即可).
【解析】A (A∩B) A B，B＝{x|3≤x≤22}．若A＝ ，则2a＋1>3a－5，解得a＜6；
若A≠ ，则A B 解得6≤a≤9.
综上可知，A (A∩B)的充要条件为a≤9；A (A∩B)的一个充分不必要条件可为6≤a≤9(答案不唯一).
答案：a≤9 6≤a≤9(答案不唯一)
1．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选C.因为“三角形的三条边相等”可以证明出“三角形为等边三角形”， “三角形为等边三角形”也可以证明出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件．
2．(2020·北京高考) 已知α，β∈R，则“存在k∈Z，使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【命题意图】考查三角函数诱导公式，充分、必要条件．
【解析】选C.若存在k∈Z，使得α＝kπ＋(－1)kβ，则有sin α＝sin β是显然的；反之若sin α＝sin β，则α＝2kπ＋β或2kπ＋π－β，即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).
3．已知p：x≥k；q：＜1.若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1]
【解析】选B.由＜1，得＞0，
解得x＞2或x＜－1，即q：x＞2或x＜－1.由p是q的充分不必要条件知{x|x≥k}?{x|x>2或x＜－1}，所以k＞2.
4．(教材二次开发：习题改编)“a＞b”是“a＞|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.当a＞b时，a＞|b|不一定成立，如a＝－1，b＝－2；当a＞|b|时，a＞b成立，故选B.
5．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
【解析】当A∩B＝{4}时，m2＝4，所以m＝±2.
所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
6．(2021·乐山高二检测)设p：x>a，q：x>3.
(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；
(3)若a是方程x2－6x＋9＝0的根，判断p是q的什么条件．
【解析】设A＝{x|x>a}，B＝{x|x>3}．
(1)若p是q的必要不充分条件，则有B?A，所以a的取值范围为{a|a<3}．
(2)若p是q的充分不必要条件，则有A?B，所以a的取值范围为{a|a>3}．
(3)因为方程x2－6x＋9＝0的根为x＝3，则有A＝B，所以p是q的充要条件．
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12充分条件与必要条件
导思 1.什么是充分条件、必要条件？2．如何进行充分条件、必要条件的判断？
充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件q是p的必要条件 p不是q的充分条件q不是p的必要条件
【提醒】不能将“若p，则q”与“p q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p q”，即“p q” “若p，则q”为真命题．
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
提示：相同，都是p q.
(2)如何理解充分条件和必要条件？
提示：①充分条件：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．
②必要条件：必要就是必须，必不可少．“有之未必成立，无之必不成立”．
③“若p，则q”为真命题可理解为p是q的充分条件，q是p的必要条件；
“若p，则q”为假命题可理解为p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)x2>4是x3＜－8的必要条件．( √ )
提示：由x3＜－8 x＜－2 x2>4.
(2)在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充分条件．( √ )
提示：在△ABC中，由AB2＋AC2＝BC2，可得∠A＝90°，即△ABC为直角三角形．
(3)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充分条件，也是必要条件．( √ )
提示：由a2＋b2≠0 a，b不全为0，反之，由a，b不全为0 a2＋b2≠0.
2．(教材二次开发：练习改编)使四边形为菱形的充分条件是( )
A.对角线相等 B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直平分
【解析】选D.因为“对角线相等”“对角线互相垂直”“对角线互相平分” 都不能推导出四边形是菱形，只有“对角线互相垂直平分”可推断四边形是菱形，所以对角线互相垂直平分是四边形为菱形的充分条件．
类型一 充分条件(逻辑推理)
1．下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A.p：ab≠0，q：a≠0
B.p：|x|＋|y|≥0，q：x≥0且y≥0
C.p：x2>1，q：x>1
D.p：a>b，q：>
【解析】选A.A：ab≠0 a≠0，故p是q的充分条件；
B：|x|＋|y|≥0 Dx≥0且y≥0，故p不是q的充分条件；
C：x2>1 x>1或x<－1Dx>1，故p不是q的充分条件；
D：当a>b时，若b，故p不是q的充分条件．
2．已知p：2x＋m>0，q：x2－4x>0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．
【解析】p：x>－，q：x＜0或x>4，
由条件知p q，所以－≥4，
所以m≤－8.
答案：m≤－8
(1)判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p，则q”为真命题．
(2)p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结论q成立．但条件p不成立时，结论q未必不成立．例如，当x＝2时x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立，即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．
【补偿训练】
“a＋b>2c”的一个充分条件是( )
A.a>c或b>c B．a>c或b＜c
C.a>c且b＜c D．a>c且b>c
【解析】选D.a>c且b>c a＋b>2c.
类型二 必要条件(逻辑推理)
1．(2020·浙江高考改编)已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.无法判断
【解析】选B.已知m，n，l两两相交，可以推出m，n，l在同一个平面，反之，已知m，n，l在一个平面，可以推出m，n，l两两相交，或者m∥n，l与m，n相交等多种情况，故“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件．
2．下列命题中是真命题的是( )
①“x>3”是“x>4”的必要条件；
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“函数f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数f(x)为奇函数”的必要条件．
A.①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解析】选B.x>4 x>3，故①是真命题；x＝1 x2＝1，x2＝1Dx＝1，故②是假命题；函数f(x)的定义域关于坐标原点对称D函数f(x)为奇函数；函数f(x)为奇函数 函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故③是真命题．
(1)判断p是q的必要条件，就是判断命题“若q，则p”成立．
(2)p是q的必要条件理解要点：
有了条件p，结论q未必会成立，但是没有条件p，结论q一定不成立．
【易错提醒】推出符号“ ”只有当命题“若p，则q”为真命题时，才能记作“p q”．
类型三 充分条件与必要条件的应用(逻辑推理、数学抽象)
【典例】已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足
x2－x－6≤0.若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
【思路导引】p是q的必要条件，即p是q的充分条件，则有p q.
【解析】由x2－4ax＋3a2＜0且a＜0得3a＜x＜a，
所以p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．
由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为q p，所以p q，所以A B，
所以 －≤a＜0，
所以a的取值范围是.
1．[变条件]本例中条件“a＜0”改为“a>0”，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
【解析】由x2－4ax＋3a2＜0且a>0得a＜x＜3a，
所以p：a＜x＜3a，即集合A＝{x|a＜x＜3a}．
由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以q p，
所以B A，
所以
所以满足条件的a不存在．
2．[变条件]将“q：实数x满足x2－x－6≤0”改为“q：实数x满足x2＋3x≤0”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
【解析】由x2－4ax＋3a2＜0且a＜0得3a＜x＜a.
所以p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．
由x2＋3x≤0得－3≤x≤0，
所以q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．
因为q p，所以p q，
所以A B，
所以 －1≤a＜0.
所以a的取值范围是[－1，0).
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
1．(2021·南宁高二检测)如果“1≤x<4”是“xA． B．
C． D．
【解析】选D.由“1≤x<4”是“x观察数轴可得：m≥4.
2．p：|x|＜a(a>0)，q：x2－x－6＜0，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________；若p是q的必要条件，则a的取值范围是________．
【解析】p：－a＜x＜a，q：－2＜x＜3，
若p是q的充分条件，则(－a，a) (－2，3)，
所以
所以0＜a≤2，
若p是q的必要条件，
则(－2，3) (－a，a)，
所以所以a≥3.
答案：(0，2] [3，＋∞)
1．已知命题p：x2－2x<0，则命题p成立的一个充分条件是( )
A．1C．【解析】选C.由命题p：x2－2x<0可得：02．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．无法判断
【解析】选B.原命题的逆命题是“若q，则p”，它是真命题，
即q p，所以p是q的必要条件．
3．(教材二次开发：例题改编)设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．无法判断
【解析】选B.因为(－1，3) (－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．
4．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是( )
A．a≥b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
【解析】选A.由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1 a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.5D4≥3.5＋1，故a>bDa≥b＋1.
5．从充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要中选出一个恰当的进行填空：x<3是x<2的________条件；
【解析】因为，所以x<3是x<2的必要不充分条件．
答案：必要不充分
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7四种命题间的相互关系
导思 1.一个命题的四种形式之间有怎样的相互关系？2．四种命题之间有怎样的真假关系？
1.四种命题之间的关系
原命题、逆命题、否命题、逆否命题，这四种命题中有几对互逆命题、互否命题、互为逆否命题？
提示：①两对互逆命题：原命题与逆命题，否命题与逆否命题．
②两对互否命题：原命题与否命题，逆命题与逆否命题．
③两对互为逆否命题：原命题与逆否命题，逆命题与否命题．
2．四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？
提示：真命题的个数只能是0，2，4，不会是奇数．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)命题“若p，则q”与命题“若q，则p”互为逆否命题．( √ )
提示：根据互为逆否命题的定义，命题“若p，则q”与命题“若q，则p”互为逆否命题．
(2)对于一个命题的四种命题可能只有一个真命题．( × )
提示：根据四种命题的真假关系，真命题一定成对出现，不可能四种命题中只有一个真命题．
(3)命题“直棱柱的每个侧面都是矩形”为真命题．( √ )
提示：直棱柱的侧棱与底面垂直，从而侧棱与底面的边垂直，所以“直棱柱的每个侧面都是矩形”正确．
2．(教材二次开发：习题改编)设m∈R，命题“若m＜0，则方程x2＋x＋m＝0无实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2＋x＋m＝0有实根，则m＜0
B.若方程x2＋x＋m＝0有实根，则m≥0
C.若方程x2＋x＋m＝0没有实根，则m＞0
D.若方程x2＋x＋m＝0没有实根，则m≥0
【解析】选B.一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论都加以否定，并且互换位置．
3．已知命题p：1【解析】因为命题p：1所以m的取值范围是∪.
答案：∪
类型一 四种命题间的相互关系(数学抽象、逻辑推理)
1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是( )
A.若q不正确，则p不正确 B.若q不正确，则p正确
C.若p正确，则q不正确 D.若p正确，则q正确
【解析】选D.原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，是等价命题，D选项是原命题的否命题．
2．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，给出下列结论：
(1)原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”；
(2)原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”；
(3)原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”；
(4)原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”．其中错误结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选C.因为命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”是真命题，并且它的否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，所以，只有(2)正确，(1)、(3)、(4)都错误．
3．下列命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题．
其中真命题的个数是( )
A.0 B．1 C．2 D．3
【解析】选B.①中命题的否命题为“若x＋y≠0，则x，y不互为相反数”，易知为真命题．
②中，当a＝2，b＝－3时，a2＜b2，则原命题为假命题，故它的逆否命题为假命题．
③中命题的否命题为“若x>－3，则x2－x－6≤0”．当x＝4>－3时，x2－x－6＝16－4－6＝6>0，故它的否命题为假命题．
判断四种命题之间关系的两种方法
方法一：利用四种命题的定义判断．
方法二：可以巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．
【补偿训练】
1.下列说法正确的是( )
A.一个命题的逆命题为假命题，则它的逆否命题一定为假命题
B.“a＞b”与“a＋c＞b＋c”不等价
C.“非等边三角形的三个内角相等”的逆命题为真命题
D.一个命题的否命题为假命题，则它的逆命题一定为假命题
【解析】选D.原命题的逆命题与它的否命题同真同假，A错误；B显然错误；“非等边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形不是等边三角形”，C错误；原命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，同真同假，D正确．
2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A.原命题为真，逆命题为假 B.原命题为假，逆命题为真
C.原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题
【解析】选A.因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a，b都小于1，则a＋b＜2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.
3．(2021·北海高二检测)已知x，y∈R，命题p：若x≠0或y≠0，则x2＋y2≠0，如果把命题p视为原命题，那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选D.由题意得原命题为真命题，原命题与逆否命题同真同假，所以逆否命题为真命题．又否命题为“若x＝0且y＝0，则x2＋y2＝0”，其为真命题，逆命题与否命题互为逆否，所以逆命题也为真命题．故正确命题的个数为4.
类型二 原命题与逆否命题的等价应用(逻辑推理)
判断命题的真假
【典例】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的逆否命题的真假．
【思路导引】判断已知命题的逆否命题的真假，可以写出原命题的逆否命题再判断其真假，也可以利用互为逆否命题的两个命题的等价性，通过判断原命题的真假得出其逆否命题的真假．
【解析】方法一：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．
判断真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，
因为a≥2，所以4a－7＞0，
即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．
方法二：先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0.
所以a＜＜2.
所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．
1．将典例改为求逆命题的真假．
【解析】原命题的逆命题为“已知a，x为实数，若a＜2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集”．
判断真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，
因为a＜2，所以4a－7＜1，当0≤Δ＜1时，抛物线与x轴有交点，当Δ＜0时，抛物线与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不一定是空集，故原命题的逆命题为假命题．
2．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集是R，则a＜”的逆否命题的真假．
【解析】先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0.
所以a＜.
所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题．
在证明中的应用
【典例】求证：当a2＋b2＝c2时，a，b，c不可能都是奇数．
【思路导引】可将要证明的问题看作一个命题，只需证明这个命题是真命题即可，若证明这个命题本身比较困难，则可以利用命题的等价性证明其逆否命题为真命题．
【证明】构造命题p：若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数．
该命题的逆否命题是：若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2.下面证明逆否命题是真命题．
由于a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，于是a2＋b2必为偶数，而c2为奇数，所以有a2＋b2≠c2，故逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．
“正难则反”的处理原则
当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．
1．已知命题“方程x2＋2x－3m＝0有实根”的逆否命题是真命题，则实数m的取值范围为________．
【解析】因为命题“方程x2＋2x－3m＝0有实根”的逆否命题是真命题，由四种命题真假性关系可知命题“方程x2＋2x－3m＝0有实根”是真命题，所以4＋12m≥0，解得m≥－.
答案：
2．命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，若a＝0，则－3≤0恒成立，所以a＝0符合题意．
若a≠0，由题意知即
所以－3≤a＜0，综上知a的取值范围是[－3，0].
答案：[－3，0]
3．求证：若a＋b≥6，则a，b中至少有一个不小于3.
【证明】构造命题p：若a＋b≥6，则a，b中至少有一个不小于3，则其逆否命题为：若a，b都小于3，则a＋b＜6.而当a＜3，且b＜3时，必有a＋b＜6，所以逆否命题为真，从而原命题p为真命题．
1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【解析】选D.命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．
2．(教材二次开发：例题改编)命题“若x2>y2，则x>y”的否命题是________．
答案：若x2≤y2，则x≤y
3．命题p：若a＝1，则a2＝1；命题q：若a2≠1，则a≠1，则命题p与q的关系是______________．
答案：互为逆否命题
4．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的逆否命题为_______________，是________命题(填真、假).
【解析】命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的逆否命题为“已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0”，是真命题．
答案：已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0 真
5．(2021·南充高二检测)判断命题“若△ABC为锐角三角形，则∠A＋∠B>”的真假，并证明．
【解析】命题“若△ABC为锐角三角形，
则∠A＋∠B>”的逆否命题为：
若∠A＋∠B≤，
则△ABC不是锐角三角形．
若∠A＋∠B≤，
则∠C＝π－(∠A＋∠B)≥，
所以△ABC为钝角三角形或直角三角形．故逆否命题为真，从而原命题为真．
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7四种命题
导思 1.命题有哪四种形式？2．如何判断四种命题的真假？
1.原命题与逆命题
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．
如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．
如何理解“互逆”？
提示：原命题和逆命题位置不是固定不变的，是同时存在的，把其中一个叫做原命题，另一个就是它的逆命题．
2．原命题与否命题
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．
如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若p，则q”．
如何理解原命题和否命题是互否命题？
提示：原命题和否命题不是固定不变的，是同时存在的，把其中一个叫做原命题，另一个就是它的否命题．
3．原命题与逆否命题
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．
如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若q，则p”.
如何理解原命题和逆否命题是互为逆否命题？
提示：原命题和逆否命题不是固定不变的，是同时存在的，把其中一个叫做原命题，另一个就是它的逆否命题．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”．( × )
提示：命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”．
(2)命题“若x>1，则x－1>0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”．( √ )
提示：根据否命题的定义可以判断．
(3)命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”．( × )
提示：命题“两个正数的和为正数”的否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”．
(4)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．( √ )
提示：只要是命题，都有这几种形式．
2．(2021·郑州高二检测)“若sin x≥，则x≥”的否命题是( )
A.若sin x<，则x<
B.若x≥，则sin x≥
C.若x<，则sin x<
D.若sin x≤，则x≤
【解析】选A.“若sin x≥，则x≥”的否命题是“若sin x<，则x<”．
3．命题“若对于任意x∈R都有f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数”的逆否命题是“若函数f(x)不是偶函数，则__________________”．
【解析】“若对于任意x∈R都有f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数”的逆否命题是“若函数f(x)不是偶函数，则存在x∈R，使得f(－x)≠f(x)”．
答案：存在x∈R，使得f(－x)≠f(x)
4．(教材二次开发：练习改编)命题“偶函数的图象关于y轴对称”的逆命题为_______________，真假性为________(填“真”“假”).
【解析】把条件和结论交换位置即可得到逆命题，为“图象关于y轴对称的函数是偶函数”．是真命题．
答案：图象关于y轴对称的函数是偶函数 真
类型一 四种命题的概念(数学抽象)
1．命题：“若函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)为奇函数”的逆命题
为( )
A.若函数f(x)的图象不关于原点对称，则函数f(x)为奇函数
B.若函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)不为奇函数
C.若函数f(x)不为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称
D.若函数f(x)为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称
【解析】选D.命题：“若函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)为奇函数”的逆命题为“若函数f(x)为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称”．
2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)对顶角相等；
(2)全等三角形的对应边相等．
【解析】(1)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等；
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角；
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等；
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．
(2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形对应边相等；
逆命题：若两个三角形对应边相等，则这两个三角形全等；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形对应边不相等；
逆否命题：若两个三角形对应边不相等，则这两个三角形不全等．
写出四种命题的方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
【提醒】四种命题转换时关键是把命题写成“若……，则……”的形式．
【补偿训练】
写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；
(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.
【解析】(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；
否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；
逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．
(2)逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
类型二 四种命题的真假判断(逻辑推理)
【典例】判断下列命题的真假．
(1)“正三角形都相似”的逆命题．
(2)“若实数t满足使对数log2有意义，则实数t满足不等式t2－4t＋3<0”的否命题．
【思路导引】根据四种命题的概念，写出相应的命题，判断其真假．
【解析】(1)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题．
(2)否命题：若实数t满足使对数log2无意义，
则实数t满足不等式t2－4t＋3≥0.
因为p对应的区间为∪，
q对应的区间为∪，
而∪为∪的真子集，故否命题为假命题．
判断四种命题真假的方法
(1)正确利用相关知识进行判断推理．
(2)若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．
下列命题中：
(1)“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
(2)“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
(3)“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
(4)“若sin x＝sin y，则x＝y”的逆命题．其中是真命题的是________．(填序号)
【解析】(1)“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；
(2)“四边相等的四边形是正方形”的否命题为“四边不相等的四边形不是正方形”，是真命题；
(3)“梯形不是平行四边形”的逆否命题为“若一个四边形是平行四边形，则它不是梯形”，是真命题；
(4)“若sin x＝sin y，则x＝y”的逆命题为“若x＝y，则sin x＝sin y”，是真命题．
答案：(1)(2)(3)(4)
类型三 由命题的真假求参数的范围(数学运算)
【典例】给出下列两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为 ；
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙有且只有一个是真命题．
分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围．
【思路导引】第(1)问可以利用集合的观点取甲、乙成立的并集，也可以求出问题的反面后，再写出其补集；第(2)问需要对甲、乙中哪一个为真进行分类讨论．
【解析】甲为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，
即A＝；
乙为真时，2a2－a>1，即B＝.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为A，B的并集，这时实数a的取值范围是.
(2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况：
当甲真乙假时，＜a≤1；
当甲假乙真时，－1≤a＜－.
所以甲、乙中有且只有一个是真命题时，
实数a的取值范围为.
解决此类问题时，可先在设定命题是真命题的前提下，求得参数的范围，然后依据题目要求，分类讨论求得．
1．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
【解析】由已知得，当1＜x＜2时，m－1＜x＜m＋1成立，所以所以1≤m≤2.
答案：[1，2]
2．已知p：－2≤x≤10，q：(x－a)(x－a－1)>0，如果“若p，则q”是真命题，而它的逆命题是假命题，求实数a的取值范围．
【解析】由(x－a)(x－a－1)>0，得x>a＋1或x＜a.
由“若p，则q”是真命题，而它的逆命题是假命题，
得{x|－2≤x≤10}{x|x>a＋1或x＜a}，
所以a＋1＜－2或a>10，解得a＜－3或a>10.
1．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若tan α＝1，则α＝
C．若tan α＝1，则α≠ D．若α＝，则tan α≠1
【解析】选B.命题“若α＝，
则tan α＝1”的逆命题是“若tan α＝1，则α＝”．
2．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为( )
A．若x2≠1，则x＝1 B．若x2＝1，则x≠1
C．若x2≠1，则x≠1 D．若x≠1，则x2≠1
【解析】选C.“若p，则q”的否命题形式为“若p，则q”．
3．命题“若x，y都是奇数，则x＋y也是奇数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是奇数，则x与y不都是奇数
B．若x＋y是奇数，则x与y都不是奇数
C．若x＋y不是奇数，则x与y不都是奇数
D．若x＋y不是奇数，则x与y都不是奇数
【解析】选C.由于“x，y都是奇数”的否定表达是“x，y不都是奇数”，“x＋y是奇数”的否定表达是“x＋y不是奇数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是奇数，则x，y不都是奇数”．
4．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述错误的是______(填序号).
(1)逆命题为“单调函数不是周期函数”
(2)否命题为“周期函数是单调函数”
(3)逆否命题为“单调函数是周期函数”
【解析】命题“周期函数不是单调函数”的逆命题为“不是单调函数的函数是周期函数”，它的否命题是“不是周期函数的函数是单调函数”，它的逆否命题为“单调函数不是周期函数”，可知(1)(2)(3)均错误．
答案：(1)(2)(3)
5．写出下列命题的否命题：
(1)如果a，b中至少有一个是偶数，那么ab是偶数；
(2)如果a＝0且b＝0，那么ab＝0；
(3)如果a＋b≤0，那么a≤0或b≤0.
【解析】(1)如果a与b中没有一个是偶数，那么ab不是偶数．
(2)如果a≠0或b≠0，那么ab≠0(或如果a，b中至少有一个不等于零，那么ab≠0).
(3)如果a＋b>0，那么a>0且b>0.
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8命题
导思 1.命题、真命题、假命题的概念分别是什么？2．在命题“若p，则q”的形式中，p，q分别叫做命题的什么？
1.命题
(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
(2)其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
(1)祈使句、疑问句、感叹句是不是命题？
提示：根据命题的定义，祈使句、疑问句、感叹句不是命题．
(2)命题一定能够判断真假吗？
提示：命题必须是“用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句”，故命题一定能够判断真假．
2．命题的形式
命题的一般形式为“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
如何确定命题的条件和结论？
提示：命题中已知的事项为条件，由已知推出的事项为结论．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“作一个三角形”是命题．( × )
提示：语句是祈使句，不是命题．
(2)“一个数不是正数就是负数”是真命题．( × )
提示：因为数0既不是正数也不是负数．
(3)“在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边”是真命题．( √ )
提示：在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边，判断为真，是真命题．
2．下列语句中不是命题的为( )
A．闪光的东西并非都是金子
B.指数函数是增函数吗？
C.空集是任何集合的子集
D.3－5＝－1
【解析】选B.根据命题的定义：把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．ACD选项均可以判断真假，且均为陈述句，故是命题，B选项不是陈述句，故不是命题．
3．命题“不等式＜0与(x＋1)(x－2)＜0同解”是________命题(填“真”“假”).
【解析】不等式＜0与(x＋1)(x－2)＜0的解集都是{x|－1＜x＜2}，所以是真命题．
答案：真
4．(教材二次开发：练习改编)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________．
【解析】已知中的命题改为“若p，则q”的形式为“若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧”，p：一条直线是弦的垂直平分线；
q：这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．
答案：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
类型一 命题的概念(数学抽象)
1．(2021·洛阳高二检测)下列语句中，不能作为命题的是( )
A．地球上有四大洋 B．－5∈Z
C.π R D．|x＋a|
【解析】选D.对于A，能判断对错，是命题；
对于B，能判断对错，是命题；
对于C，能判断对错，是命题；
对于D，不能判断对错，不是命题．
2．下列语句中：
①是有理数；
②3x2≤5；
③梯形是不是平面图形呢？
④一个数的算术平方根一定是负数．
是命题的序号有______．
【解析】①“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
②因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
③“梯形是不是平面图形呢”是疑问句，所以它不是命题．
④“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
答案：①④
判断语句是否是命题的策略
(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．
提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题．
【补偿训练】
判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；
(2)任何集合都是它自己的子集．
【解析】(1)是陈述句，能判断真假，是命题．
(2)是陈述句，能判断真假，是命题．
类型二 命题真假的判断(逻辑推理)
1．下列命题中，假命题的个数为( )
①2不是素数；②自然数不都大于0；
③2 013能被3整除；④常数函数不是奇函数．
A.1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.因为2是素数，所以①是假命题；由于0是自然数，不大于0，所以②是真命题；2 013能被3整除，所以③是真命题；常数函数f(x)＝0，x∈R，既是奇函数又是偶函数，所以④是假命题．
2．下列命题为真命题的是( )
A.若ax＝ay(a>0，且a≠1)，则x＝y
B.若x2＝1，则x＝1
C.若sin x＝sin y，则x＝y
D.若x＜y，则x2＜y2
【解析】选A.根据指数函数的单调性，知A正确，即A是真命题；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，例如sin ＝sin ，但≠，所以C是假命题；
D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．
3．判断命题的真假：不等式－3x2＋x－6≤0的解集为空集．
【解析】由题得不等式－3x2＋x－6≤0可以化为3x2－x＋6≥0，由于f(x)＝3x2－x＋6的抛物线开口向上，且Δ＝1－72<0，
所以3x2－x＋6≥0的解集为R，所以命题是假命题．
命题真假的判断方法
(1)真命题的判断方法
要判断一个命题是真命题，一般依据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．
(2)假命题的判断方法
通过构造一个反例，否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
【补偿训练】
判断下列语句是否为命题，并判断命题的真假．
(1)一个正整数不是素数就是合数；
(2)60x＋9>4；
(3)若x∈N，则x2＋4x＋7>0.
【解析】(1)该语句是命题．由于整数1既不是素数，也不是合数，所以它是假命题．
(2)该语句不是命题．这种含有未知数的语句中，不等式是否恒成立无法确定，即不能判断其真假，所以它不是命题．
(3)该语句是命题．因为当x∈N时，x2＋4x＋7>0恒成立，所以该语句是命题，且是真命题．
类型三 命题的结构形式(数学抽象)
1．命题“三角形中，大边对大角”，改成“若p，则q”的形式，则( )
A．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，真命题
B．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，假命题
C．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，真命题
D．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，假命题
【解析】选A.命题中“三角形中”是大前提，条件应该是“大边”，结论是“对大角”，所以正确选项为A.
2．指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假：
(1)若2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列．
(2)正角的正弦值是正数．
(3)函数f(x)＝2|x|的图象关于y轴对称．
(4)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
【解析】(1)命题的条件p为“2b＝a＋c”，结论q为“a，b，c成等差数列”，是真命题．
(2)命题的条件p为“一个角是正角”，结论q为“它的正弦值是正数”，由于sin π＝0，所以是假命题．
(3)命题的条件p为“f(x)＝2|x|”，结论q为“该函数的图象关于y轴对称”．由于f(－x)＝f(x)＝2|x|，
所以f(x)＝2|x|是偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，是真命题．
(4)命题的条件p为“两个正数”，结论q为“它们的算术平均数不小于它们的几何平均数”．基本不等式≥(a>0，b>0)一定成立，而表示两个正数的算术平均数，表示两个正数的几何平均数，所以此命题是真命题．
将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则
【补偿训练】
将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
【解析】(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．
(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．
1．(2021·安阳高二检测)有下列陈述句：①2＋4＝7 ；②两个全等三角形的面积相等；③x>1.其中是命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选C.对①②，都是可以判断真假的陈述句，故①②是命题，对③，x>1不能判断真假，故③不是命题．
2．下列说法正确的是( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“标准大气压下，100 ℃时水沸腾”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
【解析】选D.对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．D中方程有实根的条件是Δ＝42－4a≥0，即a≤4，故是假命题．
3．下列命题正确的是( )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【解析】选C.若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，选项A错；
如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面平行或相交，选项B不正确；
如图，平面α∩β＝b，a∥α，a∥β，过直线a作平面ε∩α＝c，过直线a作平面γ∩β＝d，
因为a∥α，所以a∥c，因为a∥β，所以a∥d，所以d∥c，
因为c α，d α，所以d∥α，
又因为d β，所以d∥b，所以a∥b，选项C正确；
若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，选项D不正确．
4．(教材二次开发：练习改编)把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为__________________________________________．
答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
5．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图象关于原点对称．
【解析】(1)偶数能被2整除．
改为：若一个数是偶数，则这个数能被2整除；
(2)奇函数的图象关于原点对称．
改为：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称．
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