单元形成性评价(一)(第一章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“x＝1”是“lg 2x－lg x＝0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列命题为真命题的个数是( )
① x∈是无理数}，x2是无理数；
②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
③命题“若x2＋y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题为真命题；
④函数f(x)＝是偶函数．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若命题“p∧(q)”为真，在命题“p∧q”“p∨q”“q”“p”中，真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列结论正确的是( )
A．命题“若am2
B．命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”的否命题是真命题
C．命题p： x0∈R，x≤0的否定是“ x∈R，x2>0”
D．“x>2”是“<”的充要条件
6．已知集合M＝{x|1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．已知f(x)＝ex＋x－1，命题p： x∈(0，＋∞)，f(x)>0，则( )
A．p是真命题，p： x0∈(0，＋∞)，f(x0)<0
B．p是真命题，p： x0∈(0，＋∞)，f(x0)≤0
C．p是假命题，p： x0∈(0，＋∞)，f(x0)<0
D．p是假命题，p： x0∈(0，＋∞)，f(x0)≤0
9．条件p：x≤1，且p是q的充分不必要条件，则q可以是( )
A．x>1 B．x>0 C．x≤2 D．－110．(2021·许昌高二检测)下列说法正确的是( )
A．若a>b，则a2>b2
B．命题“每一个素数都是奇数”的否定是“每一个素数都不是奇数”
C．若命题p：对角线相等的四边形是矩形，则p：对角线不相等的四边形不是矩形
D．若p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件
11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )
A．x<0 B．x<0或x>4
C．|x－1|>1 D．|x－2|>3
12．已知p： x0∈R，mx＋1≤0，q： x∈R，x2＋mx＋1>0，若“p或q”为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2，2]
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上)
13．命题“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”的逆否命题是______________．
14．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“p”中是真命题的为________．
15．命题“若a A，则b∈B”的逆否命题是________．
16．已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若对 x1∈[－1，3]， x2∈[0，2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除．
(2) x∈{x|x>0}，x＋>2.
(3) x0∈Z，log2x0>2.
18．(12分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)能被6整除的数一定是偶数．
(2)当＋|b＋2|＝0时，a＝1，b＝－2.
(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.
19．(12分)已知p：关于x的方程sin ＝在x∈上恰有3个解，q：存在x∈，使不等式sin 2x＋2cos x－m>0成立．
(1)若p为真命题，求正数m的取值范围；
(2)若p∨q为真命题，且p∧p为假命题，求正数m的取值范围．
20．(12分)设命题p：实数x满足a0，命题q：实数x满足2(1)若a＝1，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
21．(12分)已知k∈R且k≠1，直线l1：y＝x＋1和l2：y＝x－k.
(1)求直线l1∥l2的充要条件．
(2)当x∈[－1，2]时，直线l1恒在x轴上方，求k的取值范围．
22．(12分)p：对任意实数x都有x2＋ax＋1>0恒成立；命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
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8单元形成性评价(一)(第一章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“x＝1”是“lg 2x－lg x＝0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为lg 2x－lg x＝0，
所以lg x＝0或lg x＝1，解得x＝1或x＝10，
所以由“x＝1”可以推出“lg 2x－lg x＝0”成立；
但由“lg 2x－lg x＝0”不能推出“x＝1”，所以“x＝1”是“lg 2x－lg x＝0”成立的充分不必要条件．
2．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选C.由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
3．下列命题为真命题的个数是( )
① x∈是无理数}，x2是无理数；
②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
③命题“若x2＋y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题为真命题；
④函数f(x)＝是偶函数．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.对于①中，当x＝时，x2＝2为有理数，故①错误；
对于②中，若a·b＝0，可以有a⊥b，不一定要a＝0或b＝0，故②错误；
对于③中，命题“若x2＋y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④中，f＝＝＝f(x)，且函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称，
所以函数f(x)＝是偶函数，故④正确．
综上，真命题的个数是2.
4．若命题“p∧(q)”为真，在命题“p∧q”“p∨q”“q”“p”中，真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选A.命题“p∧(q)”为真，即命题p为真， q为真，所以p为假，q为假，从而p∧q为假，p∨q为真，故真命题有1个．
5．下列结论正确的是( )
A．命题“若am2B．命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”的否命题是真命题
C．命题p： x0∈R，x≤0的否定是“ x∈R，x2>0”
D．“x>2”是“<”的充要条件
【解析】选C.“若am2B．命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋2x－3≠0”错误，如：x＝－3时，x2＋2x－3＝0；
C．命题p： x0∈R，x≤0的否定是“ x∈R，x2>0”正确；
D．如x＝－1满足“<”，但不满足“x>2”，所以不是充要条件．
6．已知集合M＝{x|1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选A.当a＝3时，有M＝N，满足M N，即充分性成立；而当a＝2时，M N也成立，所以必要性不成立．
7．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解析】选B.若q＝1，则Sn＝na1，①a1＞0，则{Sn}单调递增；②a1＜0，则{Sn}单调递减，所以甲乙；又若{Sn}单调递增，则Sn＋1＞Sn恒成立，所以an＋1＞0 a1qn＞0恒成立，所以a1＞0，q＞0，所以甲 乙，综上：甲 乙．
8．已知f(x)＝ex＋x－1，命题p： x∈(0，＋∞)，f(x)>0，则( )
A．p是真命题，p： x0∈(0，＋∞)，f(x0)<0
B．p是真命题，p： x0∈(0，＋∞)，f(x0)≤0
C．p是假命题，p： x0∈(0，＋∞)，f(x0)<0
D．p是假命题，p： x0∈(0，＋∞)，f(x0)≤0
【解题指南】先由函数y＝ex和y＝x－1在R上均是增函数，判断出f(x)＝ex＋x－1在R上是增函数，进一步判断出命题p的真假，然后进一步否定．
【解析】选B.由于函数y＝ex和y＝x－1在R上均是增函数，则f(x)＝ex＋x－1在R上是增函数，当x>0时，f(x)>f(0)＝0，所以p为真命题，p： x0∈(0，＋∞)，f(x0)≤0.
9．条件p：x≤1，且p是q的充分不必要条件，则q可以是( )
A．x>1 B．x>0 C．x≤2 D．－1【解析】选B.因为p：x≤1，所以p：x>1，又因为p是q的充分不必要条件，所以p q，q推不出p，只有B成立．
10．(2021·许昌高二检测)下列说法正确的是( )
A．若a>b，则a2>b2
B．命题“每一个素数都是奇数”的否定是“每一个素数都不是奇数”
C．若命题p：对角线相等的四边形是矩形，则p：对角线不相等的四边形不是矩形
D．若p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件
【解析】选D.对A，取a＝1，b＝－2，则a2对B，命题“每一个素数都是奇数”的否定是“存在素数不是奇数”，故B错；
对C，p：存在对角线相等的四边形不是矩形，故C错；
对D，“若q，则p”是“若p，则q”的逆否命题，所以若p是q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，故D正确．
11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )
A．x<0 B．x<0或x>4
C．|x－1|>1 D．|x－2|>3
【解析】选C.由f(x)＝x2－4x>0，得x<0或x>4.由|x－1|>1，得x<0或x>2.由|x－2|>3，得x<－1或x>5，所以只有C是必要不充分条件．
12．已知p： x0∈R，mx＋1≤0，q： x∈R，x2＋mx＋1>0，若“p或q”为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2，2]
【解析】选A.由题意知p，q均为假命题，
则p，q为真命题．p： x∈R，mx2＋1>0，
故m≥0，q： x0∈R，x＋mx0＋1≤0，
则Δ＝m2－4≥0，即m≤－2或m≥2，
由得m≥2.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上)
13．命题“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”的逆否命题是______________．
【解析】“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”即为：“若x2＋x－6>0，则x<－3或x>2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0.
答案：若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0
14．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“p”中是真命题的为________．
【解析】p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，p为真命题．
答案：“p∨q”“p”
15．命题“若a A，则b∈B”的逆否命题是________．
【解析】逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．
答案：若b B，则a∈A
16．已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若对 x1∈[－1，3]， x2∈[0，2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
【解析】因为对 x1∈[－1，3]， x2∈[0，2]，
f(x1)≥g(x2)，
所以只需f(x)min≥g(x)min即可，
因为f(x)＝x2，g(x)＝－m，
所以f(x)min＝f＝0，g(x)min＝g＝－m，
由0≥－m，解得m≥.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除．
(2) x∈{x|x>0}，x＋>2.
(3) x0∈Z，log2x0>2.
【解析】(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题．
(2)命题中含有全称量词“ ”，是全称命题，且为假命题．
(3)命题中含有存在量词“ ”，是特称命题，且为真命题．
18．(12分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)能被6整除的数一定是偶数．
(2)当＋|b＋2|＝0时，a＝1，b＝－2.
(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.
【解析】(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题．
(2)若＋|b＋2|＝0，则a＝1且b＝－2，真命题．
(3)已知x，y为正整数，若y＝x2，则y＝1且x＝1，假命题．
19．(12分)已知p：关于x的方程sin ＝在x∈上恰有3个解，q：存在x∈，使不等式sin 2x＋2cos x－m>0成立．
(1)若p为真命题，求正数m的取值范围；
(2)若p∨q为真命题，且p∧p为假命题，求正数m的取值范围．
【解析】(1)因为m>0，0≤x≤4，
所以≤mπx＋≤4mπ＋.
因为p为真命题，所以sin
＝在x∈上恰有3个解，
所以2π＋≤4mπ＋<4π＋，
所以≤4mπ<，
所以≤m<.
当p为真命题时，m的取值范围是.
(2)不等式sin2x＋2cosx－m>0等价于m设y＝－cos2x＋2cosx＋1＝－＋2，x∈，
所以cos x∈，则ymax＝－1＋2＝1.
当q为真命题时，m<1.
因为p∨q为真命题，且p∧q为假命题，所以p与q中一真一假，
①当p真q假时，m∈ .
②当q真p假时，
解得0综上，m的取值范围是∪.
20．(12分)设命题p：实数x满足a0，命题q：实数x满足2(1)若a＝1，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由a即p为真命题时，实数x的取值范围是1又q为真命题时，实数x的取值范围是2所以，当p，q均为真命题时，有
解得2所以实数x的取值范围是.
(2)p是q的充分不必要条件，
即p q且qD /p.
设A＝或，
B＝或，
因为A B，所以03，即121．(12分)已知k∈R且k≠1，直线l1：y＝x＋1和l2：y＝x－k.
(1)求直线l1∥l2的充要条件．
(2)当x∈[－1，2]时，直线l1恒在x轴上方，求k的取值范围．
【解析】(1)由题意得解得k＝2.
当k＝2时，l1：y＝x＋1，l2：y＝x－2，此时l1∥l2.
所以直线l1∥l2的充要条件为k＝2.
(2)设f(x)＝x＋1.由题意，得
即解得－1又k≠1，所以k的取值范围是(－1，1)∪(1，2).
【误区警示】对于第(2)问，由于对“直线l1恒在x轴上方”理解不透彻，在寻找应满足的条件时易造成失误．
22．(12分)p：对任意实数x都有x2＋ax＋1>0恒成立；命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
【解析】若p为真命题，则Δ＝a2－4<0，
解得－2因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以p与q一真一假，若p真q假，则得则得a≤－2.
所以a≤－2或PAGE
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