模块终结性评价
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·遵义高二检测)命题“ x0>0，ln x0<2x0＋1”的否定是( )
A． x>0，ln x≥2x＋1
B． x≤0，ln x<2x＋1
C． x0>0，ln x0≥2x0＋1
D． x0≤0，ln x0<2x0＋1
2．过点P(1，－3)的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝y或x2＝－y
B．x2＝y
C．y2＝－9x或x2＝y
D．x2＝－y或y2＝9x
3．设函数f(x)＝a ln x＋，若曲线y＝f(x)在点(1，f)处的切线方程为x－2y－1＝0，则a的值为( )
A．0 B． C．1 D．2
4．已知点M为双曲线C：x2－＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则＋－＝( )
A．1 B．4 C．6 D．8
5．函数f(x)＝－2x＋ln x的图象在x＝1处的切线方程为( )
A．x＋y＋1＝0 B．x－y＋1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0
6．已知p：m－1A．3C．m>5或m<3 D．m>5或m≤3
7．已知函数f(x)＝m ln (x＋1)＋x2－mx在(1，＋∞)上不单调，则m的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(－∞，4]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
8．下列说法中正确的是( )
A．若命题p为真，命题q为假，则命题“p∧q”为真．
B．命题“ x0>0，2x0>1”的否定是“ x>0，2x<1”．
C.椭圆＋＝1与＋＝1的离心率相同．
D．已知a，b为实数，则a＋b>5是ab>6的充要条件．
9．已知双曲线C过点且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的个数为( )
①C的实轴长为2；②C的离心率为；
③曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点；
④直线x－y－1＝0与C有两个公共点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k的取值范围是( )
A． B．
C． D．
11．已知两定点A，B，动点P在直线l：y＝2x＋4上移动，以A，B为焦点且经过点P的椭圆的离心率的最大值为( )
A． B．
C． D．
12．若0A．－>ln x2－ln x1
B．－C．x2·>x1·
D．x2·二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上)
13．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x2在点P(1，1)处的切线互相垂直，
则的值为________．
14．已知命题p： x∈R，x2＋mx＋1≥0；命题q： x0∈，ex0－mx0＝0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________；
15．(2021·北海高二检测)已知函数f(x)＝ax＋(b>0)的图象在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则a与b的关系为________(用b表示)，若函数y＝f(x)在区间上单调递增，则b的最大值等于________．
16．若O和F分别是椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax(其中a为实数).
(1)若x＝－1是f(x)的极值点，求函数f(x)的减区间．
(2)若f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．
18．(12分)已知p：m－1≤t≤m2＋1，q：函数f(x)＝log3x－t在区间上没有零点．
(1)若m＝0，且命题p与q均为真命题，求实数t的取值范围；
(2)若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19．(12分)已知函数f(x)＝2x ln x－x－＋2.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)若方程f′(x)＝a在[，＋∞)有且仅有两个实根(其中f′(x)为f(x)的导函数，e为自然对数的底数)，求实数a的取值范围．
20．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点.过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(m＞a)于点M.已知点B(1，0)，直线PB交l于点N.
(1)求椭圆C的方程．
(2)若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．
21．(12分)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，设A，B分别为椭圆C的右顶点，下顶点，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程．
(2)已知不经过点A的直线l：y＝kx＋m(k≠0，m∈R)交椭圆于P，Q两点，且PA⊥QA，求证：直线l过定点．
22．(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点．
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
PAGE
11模块终结性评价
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·遵义高二检测)命题“ x0>0，ln x0<2x0＋1”的否定是( )
A． x>0，ln x≥2x＋1
B． x≤0，ln x<2x＋1
C． x0>0，ln x0≥2x0＋1
D． x0≤0，ln x0<2x0＋1
【解析】选A.根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“ x0>0，ln x0<2x0＋1”的否定为：“ x>0，ln x≥2x＋1”．
2．过点P(1，－3)的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝y或x2＝－y
B．x2＝y
C．y2＝－9x或x2＝y
D．x2＝－y或y2＝9x
【解析】选D.P(1，－3)在第四象限，
所以抛物线只能开口向右或向下，
设方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，
代入P(1，－3)得y2＝9x或x2＝－y.
3．设函数f(x)＝a ln x＋，若曲线y＝f(x)在点(1，f)处的切线方程为x－2y－1＝0，则a的值为( )
A．0 B． C．1 D．2
【解析】选A.将x＝1代入直线方程得y＝0，故切点为，直线斜率为，f′(x)＝＋＝＋，f′＝a＋＝，a＝0.
4．已知点M为双曲线C：x2－＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则＋－＝( )
A．1 B．4 C．6 D．8
【解析】选B.由a2＝1，b2＝8，得a＝1，c＝3，
则＋－＝－＋ ＝－2a＋2c＝4.
5．函数f(x)＝－2x＋ln x的图象在x＝1处的切线方程为( )
A．x＋y＋1＝0 B．x－y＋1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0
【解析】选A.当x＝1时，f(1)＝－2＋0＝－2，所以切点为(1，－2)，由题意得f′(x)＝－2＋，所以k＝f′(1)＝－2＋＝－1，所以切线方程为y＋2＝－1·(x－1)，即：x＋y＋1＝0.
6．已知p：m－1A．3C．m>5或m<3 D．m>5或m≤3
【解析】选B.因为p：m－17．已知函数f(x)＝m ln (x＋1)＋x2－mx在(1，＋∞)上不单调，则m的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(－∞，4]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
【解析】选A.f′(x)＝＋2x－m
＝＝.
因为f(x)在(1，＋∞)上不单调，所以>1，故m>4.
8．下列说法中正确的是( )
A．若命题p为真，命题q为假，则命题“p∧q”为真．
B．命题“ x0>0，2x0>1”的否定是“ x>0，2x<1”．
C.椭圆＋＝1与＋＝1的离心率相同．
D．已知a，b为实数，则a＋b>5是ab>6的充要条件．
【解析】选C.对A, 若命题p为真，命题q为假，则命题“p∧q”为假．故A错误．
对B, 命题“ x0>0，2x0>1”的否定是“ x>0，2x≤1”．故B错误．
对C, 椭圆＋＝1与＋＝1的离心率相同均为＝.故C正确．
对D, 当a＝0，b＝6时a＋b>5但ab>6不成立．当a＝－3，b＝－4时ab>6，但a＋b>5不成立．故已知a，b为实数，则a＋b>5是ab>6的既不充分也不必要条件．故D错误．
9．已知双曲线C过点且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的个数为( )
①C的实轴长为2；②C的离心率为；
③曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点；
④直线x－y－1＝0与C有两个公共点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选C.由于双曲线C的渐近线方程为y＝±x，设双曲线C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，
将点代入双曲线C的方程得λ＝－2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.
对于①，双曲线C的实轴长为2，①正确；
对于②，双曲线C的离心率为＝，②正确；
对于③，令y＝ex－2－1＝0，得x＝2，所以曲线y＝ex－2－1经过双曲线C的右焦点，③正确；
对于④，联立
消去x得y2－2y＋2＝0，Δ＝8－4×2＝0，
则直线x－y－1＝0与双曲线C只有一个公共点，④错误．因此，正确结论的个数为3.
10．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【解析】选D.f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x.
由题意知3kx2＋6(k－1)x≤0，
即kx＋2k－2≤0在(0，4)上恒成立，
得k≤，x∈(0，4)，
又＜＜1，所以k≤.
11．已知两定点A，B，动点P在直线l：y＝2x＋4上移动，以A，B为焦点且经过点P的椭圆的离心率的最大值为( )
A． B．
C． D．
【解析】选B.椭圆以A，B为焦点，即半焦距为c＝1，则b2＝a2－1，
故可设椭圆方程为＋＝1，
联立方程 ，
消去y，整理得x2＋16a2x＋17a2－a4＝0，
由题意易知Δ＝256a4－4≥0，
即5a4－22a2＋17≥0，
解得a2≥或a2≤1(舍去)，
即a≥或a≤－(舍)，
所以离心率e＝＝≤，
即离心率的最大值为.
12．若0A．－>ln x2－ln x1
B．－C．x2·>x1·
D．x2·【解析】选C.设f(x)＝ex－ln x(0则f′(x)＝ex－＝.
令f′(x)＝0，得xex－1＝0.
根据函数y＝ex与y＝的图象，可知两函数图象交点x0∈(0，1)，因此函数f(x)在(0，1)上不是单调函数，故A，B选项不正确．
设g(x)＝(0则g′(x)＝.
又0所以函数g(x)在(0，1)上是减函数．
又0g(x2)，
即x2·>x1·.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上)
13．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x2在点P(1，1)处的切线互相垂直，
则的值为________．
【解析】直线ax－by－2＝0的斜率k＝，
y＝x2，y′＝2x，当x＝1时，y′＝2，
由题意可知×2＝－1，所以＝－.
答案：－
14．已知命题p： x∈R，x2＋mx＋1≥0；命题q： x0∈，ex0－mx0＝0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________；
【解析】若命题p为真命题，则Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2；
若命题q为真命题，则关于x的方程ex－mx＝0在上有解，
则m＝.
令f(x)＝，其中x>0，
则f′(x)＝.
当0当x>1时，f′(x)>0，此时函数y＝f(x)单调递增．
所以，f(x)≥f(1)＝e，则m≥e.
因为命题p∨q为假命题，则命题p，q均为假命题，
则，所以m<－2或2因此，实数m的取值范围是∪.
答案：∪
15．(2021·北海高二检测)已知函数f(x)＝ax＋(b>0)的图象在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则a与b的关系为________(用b表示)，若函数y＝f(x)在区间上单调递增，则b的最大值等于________．
【解析】由题意，函数f(x)＝ax＋(b>0)，可得f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－b，
即函数f(x)的图象在点P处的切线的斜率为k＝a－b，
又由函数f(x)的图象在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，
所以×＝－1，可得a－b＝2，
即a与b的关系为a－b＝2；又由函数y＝f(x)在区间上单调递增，
可得f′(x)＝a－≥0在区间上恒成立，
即b＋2≥在区间上恒成立，
整理得≤x2在区间上恒成立，
又由(x2)min＝，
所以≤，解得0所以b的最大值等于.
答案：a－b＝2
16．若O和F分别是椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
【解析】由椭圆＋＝1可得点F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
答案：6
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax(其中a为实数).
(1)若x＝－1是f(x)的极值点，求函数f(x)的减区间．
(2)若f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．
【解析】(1)因为f(x)＝x3－x2＋ax，
所以f′(x)＝x2－2x＋a，
因为x＝－1是f(x)的极值点，
所以f′(－1)＝0，即1＋2＋a＝0，
所以a＝－3，故f′(x)＝x2－2x－3，
当x<－1或x>3时，f′(x)>0，
当－1所以a＝－3符合题意， 且f(x)的减区间为(－1，3).
(2)因为f(x)在(－2，＋∞)上为增函数，
所以f′(x)＝x2－2x＋a≥0在(－2，＋∞)上恒成立，
所以a≥－x2＋2x在(－2，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝－x2＋2x，
因为g(x)＝－x2＋2x在(－2，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以g(x)≤g(1)＝1,
所以a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞).
18．(12分)已知p：m－1≤t≤m2＋1，q：函数f(x)＝log3x－t在区间上没有零点．
(1)若m＝0，且命题p与q均为真命题，求实数t的取值范围；
(2)若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解析】(1)当m＝0时，p：－1≤t≤1，
由函数f(x)＝log3x－t在区间上没有零点，f(x)是增函数，得f≥0或f(9)≤0，解得t≤－2或t≥2，因为p与q均为真命题，
所以p为真命题，q为假命题，当q为假命题时，－2(2)因为p是q成立的充分不必要条件，又m－1所以m－1≥2或m2＋1≤－2，解得m≥3，所以实数m的取值范围是.
19．(12分)已知函数f(x)＝2x ln x－x－＋2.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)若方程f′(x)＝a在[，＋∞)有且仅有两个实根(其中f′(x)为f(x)的导函数，e为自然对数的底数)，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由函数f(x)＝2x ln x－x－＋2可知f(1)＝0，
f′(x)＝2(ln x＋1)－1＋，
所以f′(1)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2(x－1)，可化为2x－y－2＝0.
(2)由(1)得f′(x)＝2ln x＋1＋，
f″(x)＝－＝，
当≤x＜1时，f″(x)＜0，f′(x)单调递减，
当x＞1时，f″(x)＞0，f′(x)单调递增，
而f′＝－2＋1＋e2＞0，最小值f′(1)＝2＞0，x→＋∞时，f′(x)→＋∞，所以f′(x)＝a有两个根时f′(x)的取值范围是(2，e2－1].故实数a的取值范围是(2，e2－1].
20．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点.过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(m＞a)于点M.已知点B(1，0)，直线PB交l于点N.
(1)求椭圆C的方程．
(2)若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．
【解析】(1)因为椭圆C的离心率为，
所以a2＝4b2.
又因为椭圆C过点，
所以＋＝1，
解得a2＝4，b2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2) 设P(x0，y0)，－2＜x0＜2，x0≠1，
则 eq \f(x,4) ＋y＝1.
因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2－x0，－y0)，
所以2－x0＝m.
由A(－2，0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y＝(x＋2)，
令x＝m，得y＝，
即M.
因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，
即·＝－1，
即 eq \f(y（m＋2）,（x0－1）（x0＋2）（m－1）) ＝－1.
因为 eq \f(x,4) ＋y＝1，
所以＝1，
因为x0＝2－m，
所以化简得3m2－10m＋4＝0，
解得m＝.
因为m＞2，所以m＝.
21．(12分)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，设A，B分别为椭圆C的右顶点，下顶点，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程．
(2)已知不经过点A的直线l：y＝kx＋m(k≠0，m∈R)交椭圆于P，Q两点，且PA⊥QA，求证：直线l过定点．
【解析】(1)由题知＝，＝1－，
可得a2＝4b2，又因为S△AOB＝1，即ab＝1,
所以2＝4b2，即b2＝1，a2＝4，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)联立
得x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝16×>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，①
因为PA⊥QA，所以·＝0，
即(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0，
即x1·x2－2＋y1·y2＋4＝0，
又y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，y1y2＝k2x1x2＋m2＋km，
即x1·x2＋(km－2)＋m2＋4＝0，②
把①代入②得4k2m2－4k2＋4m2－4－8k2m2＋16km＝－，
12k2＋16km＋5m2＝0，
解得k＝－m或k＝－m，
所以直线l的方程为y＝－m(x－2)或
y＝－m，
所以直线l过定点或(2，0)(舍去)，
综上所述直线l过定点.
22．(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点．
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【证明】(1)由题意可得，f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝(x－1)ln x－x－1，
得f′(x)＝ln x＋－1＝ln x－，
显然f′(x)＝ln x－单调递增；
又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0，故存在唯一x0，使得f′(x0)＝0；
又当x>x0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当0(2)由(1)知，f(x0)又f(e2)＝e2－3>0，
所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一实根，记为x＝α.
由1又f＝ln －－1＝＝0，
故是方程f(x)＝0在(0，x0)内的唯一实根；
综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
PAGE
11
