单元形成性评价(三)(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·银川高二检测)若函数f(x)＝x2－c在区间上的平均变化率为4，则m等于( )
A． B．3 C．5 D．16
2．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是( )
A．5，－15 B．5，－4
C．－4，－15 D．5，－16
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
5．已知函数f(x)＝ex在区间上单调递增，则a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
6．若函数f(x)＝x2－2x＋a ln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是( )
A．a>1 B．－1
C．a<1 D．07．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱；当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶π D．2∶π
8．若函数f(x)＝kx－ln x在区间上单调递增，则实数k的取值范围是( )
A． B．
C． D．
9．若f(x)＝－x2＋b ln (x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是( )
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
10．已知函数f(x)＝ex－2mx＋3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
11．(2021·成都高二检测)已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－ax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．
B．∪
C．∪
D．∪∪
12．已知函数f(x)＝－x2－a ln x＋(a＋1)x(其中a>1)，则函数f(x)的零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上)
13. (2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．
14．函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围
是__________________．
15．函数f(x)＝x3－x2＋4的极值点是________．
16．已知函数f(x)＝a ln x＋x在上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，那么a的值为________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝x ln x＋ax＋b在处的切线为2x－2y－1＝0.
(1)求实数a，b的值．
(2)求f(x)的单调区间．
18．(12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R).
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间．
(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围．
19．(12分)已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值．
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
20．(12分)(2019·北京高考改编)已知函数f(x)＝x3－x2＋x.
(1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程．
(2)当x∈[－2，4]时，求证：x－6≤f(x)≤x.
21．(12分)如图，已知边长为2的正方形材料ABCD，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器．设∠FCB＝θ.
(1)用θ表示此容器的体积；
(2)当此容器的体积最大时，求tan θ的值．
22．(12分)(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x－x cos x－x，f′(x)为f(x)的导数．
(1)证明：f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点．
(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．
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11单元形成性评价(三)(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·银川高二检测)若函数f(x)＝x2－c在区间上的平均变化率为4，则m等于( )
A． B．3 C．5 D．16
【解析】选B.因为＝
＝＝m＋1＝4，所以m＝3.
2．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】选D.因为f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
又函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，
所以f′＝27－6a＋3＝0，解得a＝5.
经检验，a＝5符合题意．
3．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是( )
A．5，－15 B．5，－4
C．－4，－15 D．5，－16
【解析】选A.f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2，
所以当x∈[0，2]时，f′(x)<0，即f(x)为单调递减函数，
当x∈(2，3]时，f′(x)>0，即f(x)为单调递增函数，所以f(x)min＝f(2)＝－15，
又f(0)＝5，f(3)＝－4，
所以f(x)max＝f(0)＝5.
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
【解析】选D. f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.
由f′(x)>0，得x>2.
5．已知函数f(x)＝ex在区间上单调递增，则a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【解析】选A.f′(x)＝ex≥0在区间上恒成立，则x2＋2x－a≥0在区间上恒成立，
即a≤＝12＋2＝3.
6．若函数f(x)＝x2－2x＋a ln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是( )
A．a>1 B．－1C．a<1 D．0【解析】选D.f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝x－2＋＝，
若函数f(x)有两个不同的极值点，
则x2－2x＋a＝0在(0，＋∞)上有2个不同的实数根，
故解得：07．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱；当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶π D．2∶π
【解析】选B.设圆柱高为x，底面半径为r，
则r＝，圆柱体积V＝πx
＝(x3－12x2＋36x)(0＜x＜6)，
令V′＝(x－2)(x－6)＝0，
得x＝2或x＝6(舍).
当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4(cm)，
该圆柱的底面周长与高的比为4∶2＝2∶1.
8．若函数f(x)＝kx－ln x在区间上单调递增，则实数k的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【解析】选D.f′(x)＝k－，
因为函数f(x)＝kx－ln x在区间上单调递增，
所以f′(x)≥0在区间上恒成立．
所以k≥，而y＝在区间上单调递减，
所以k≥1.所以k的取值范围是.
9．若f(x)＝－x2＋b ln (x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是( )
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
【解析】选C.由题意知f′(x)＝－x＋≤0，
x∈(－1，＋∞)，
即f′(x)＝≤0，
所以－x2－2x＋b＝－(x＋1)2＋1＋b≤0，
所以1＋b≤0，b≤－1.
10．已知函数f(x)＝ex－2mx＋3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【解析】选A.由题意，函数f(x)的导数f′(x)＝ex－2m，若曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，则切线的斜率为k＝ex－2m，
满足(ex－2m)＝－1，即ex－2m＝－3有解，
因为2m＝ex＋3有解，
又因为ex＋3>3，即m>，
所以实数m的取值范围是.
11．(2021·成都高二检测)已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－ax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．
B．∪
C．∪
D．∪∪
【解析】选D.函数g(x)＝f(x)－ax有两个不同的零点等价于方程a＝有两个不同的根，因为＝
令u(x)＝，
所以u′(x)＝′＝，
u′(x)>0 1所以u(1)＝0，u(2)＝，u(3)＝，
所以u(x)∈且令v(x)＝＝，3令t＝，则y＝v(x)＝，1因为y′＝·，
当y′＝0 t＝e，y′>0 1所以y在(1，e)上递增，在(e，3)上递减，
且y(1)＝0，y(e)＝，y(3)＝，
所以v(x)∈，
所以直线y＝a与＝有两个交点，可得a的取值范围为：∪∪.
12．已知函数f(x)＝－x2－a ln x＋(a＋1)x(其中a>1)，则函数f(x)的零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选B.f′(x)＝－x－＋a＋1
＝－(其中x>0).
故0a时，f′(x)<0，10，
即f(x)在(0，1)和(a，＋∞)上单调递减，
在(1，a)上单调递增．
由于极小值f(1)＝a＋，而a>1，
所以f(1)>0，
又f(2a＋2)＝－a ln (2a＋2)<0，
所以函数f(x)有唯一零点．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上)
13. (2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．
【解析】y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，
所以k＝y′|x＝0＝3，
所以曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为y＝3x，即3x－y＝0.
答案：3x－y＝0
14．函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围
是__________________．
【解析】y′＝x2－2ax＋1，因为函数在R上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数y′＝x2－2ax＋1与x轴有两个交点，所以Δ>0，所以a>1或a<－1.
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
15．函数f(x)＝x3－x2＋4的极值点是________．
【解析】由f(x)＝x3－x2＋4，对其求导可得：f′(x)＝x2－2x，
令f′(x)＝x2－2x＝0，可得x＝0或x＝2，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，函数单调递增；
当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，函数单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数单调递增；
故可得函数有两个极值点：0或2.
答案：0或2
16．已知函数f(x)＝a ln x＋x在上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，那么a的值为________.
【解析】f′(x)＝＋1，由题意得：f′＝0，
即＋1＝0解得a＝－2，
a＝－2时，f(x)＝－2ln x＋x，，
f′(x)＝1－，令f′(x)>0，解得：x>2，
令f′(x)<0，解得： 0＜x<2，
故f(x)在上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，a＝－2符合题意．
答案：－2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝x ln x＋ax＋b在处的切线为2x－2y－1＝0.
(1)求实数a，b的值．
(2)求f(x)的单调区间．
【解析】(1)依题意可得：2－2f(1)－1＝0，
即f(1)＝，
因为f(x)＝x ln x＋ax＋b，
所以f′(x)＝ln x＋a＋1，
又因为函数f(x)在(1，f(1))处的切线为2x－2y－1＝0，f(1)＝，
所以解得：
(2)由(1)可得：f′(x)＝1＋ln x，
当x∈时，f′(x)≤0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以f(x)的单调减区间为，f(x)的单调增区间为.
18．(12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R).
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间．
(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围．
【解析】(1)a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)·ex的导数为f′(x)＝ex(2－x2)，
令f′(x)＞0，解得－＜x＜，
令f′(x)＜0，解得x＜－或x＞.
所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调增区间为(－，).
(2)函数f(x)＝(－x2＋ax)·ex的导数为
f′(x)＝ex[a－x2＋(a－2)x]，
因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(－1，1)上恒成立，
即为a－x2＋(a－2)x≥0，
即有x2－(a－2)x－a≤0，
则有1＋(a－2)－a≤0且1－(a－2)－a≤0，
解得a≥.则a的取值范围为[，＋∞).
19．(12分)已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值．
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，由y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)可知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝，
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，舍去．
所以当x∈(0，5)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0，5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)上为增函数．
由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5，无极大值．
20．(12分)(2019·北京高考改编)已知函数f(x)＝x3－x2＋x.
(1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程．
(2)当x∈[－2，4]时，求证：x－6≤f(x)≤x.
【解析】(1)f′(x)＝x2－2x＋1，
令f′(x)＝x2－2x＋1＝1得x＝0或者x＝.
当x＝0时，f(0)＝0，此时切线方程为y＝x，
即x－y＝0；
当x＝时，f＝，此时切线方程为y＝x－，即27x－27y－64＝0；
综上可得，所求切线方程为x－y＝0和27x－27y－64＝0.
(2)设g(x)＝f(x)－x＝x3－x2，
g′(x)＝x2－2x，
令g′(x)＝x2－2x＝0得x＝0或x＝，
所以当x∈[－2，0]时，g′(x)≥0，g(x)为增函数；
当x∈时，g′(x)<0，g(x)为减函数；
当x∈时，g′(x)≥0，g(x)为增函数；
而g(0)＝g(4)＝0，所以g(x)≤0，即f(x)≤x；
同理令h(x)＝f(x)－x＋6＝x3－x2＋6，可求其最小值为h(－2)＝0，
所以h(x)≥0，即f(x)≥x－6，综上可得，x－6≤f(x)≤x.
21．(12分)如图，已知边长为2的正方形材料ABCD，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器．设∠FCB＝θ.
(1)用θ表示此容器的体积；
(2)当此容器的体积最大时，求tan θ的值．
【解析】(1)取BC的中点M，连接FM，连接AC交GF于N，如图．
由题意知FM⊥BC，在直角三角形CFM中，CF＝.
在直角三角形CFN中，＝sin ，
所以NF＝－tan θ，
所以GF＝－tan θ.
因为＝cos ，
所以CN＝＋tan θ.
从而S四边形GFEH＝2，正四棱锥高CO＝＝
＝
＝·，
所以正四棱锥的体积V＝S四边形GFEH·CO
＝·2··
＝2，θ∈.
(2)令t＝，t∈，
则V＝2t＝，
V′＝
＝.
令V′＝0，得t＝.
所以V(t)在上单调递增，在上单调递减，所以V在t＝时取到最大值，此时tan θ＝.
22．(12分)(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x－x cos x－x，f′(x)为f(x)的导数．
(1)证明：f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点．
(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．
【解析】(1)设g(x)＝f′(x)，
则g(x)＝cos x＋x sin x－1，g′(x)＝x cos x.
当x∈时，g′(x)>0；
当x∈时，g′(x)<0，
所以g(x)在上单调递增，在上单调递减．
又g(0)＝0，g>0，g(π)＝－2，
故g(x)在(0，π)上存在唯一零点．
所以f′(x)在(0，π)上存在唯一零点．
(2)由(1)知，f′(x)在(0，π)上只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；
当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减．
又f(0)＝0，f(π)＝0，所以当x∈[0，π]时，f(x)≥0.所以ax≤0恒成立，
又因为x∈[0，π]，所以a≤0.
因此，a的取值范围是(－∞，0].
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