2021-2022学年湖南省岳阳市汨罗市桃林片七校联考九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年湖南省岳阳市汨罗市桃林片七校联考九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分）
1．小兰画了一个函数y＝的图象如图，那么关于x的分式方程＝2的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2++3＝0 B．2xy+x2＝0 C．x2＝5x﹣2 D．x2﹣2＝x2+2x
3．下列各组线段中，线段a，b，c，d成比例线段的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝4，d＝8 B．a＝2，b＝1，c＝4，d＝8
C．a＝1，b＝2，c＝8，d＝4 D．a＝1，b＝4，c＝8，d＝2
4．如图，小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）
A．10m B．9m C．8m D．7m
5．已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　）
A．y随x的增大而减少 B．图象必经过点（1，2）
C．图象在第一、三象限 D．若x＞1，则y＜2
6．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3000万元，预计2010年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．3000（1+x）2＝5000
B．3000x2＝5000
C．3000（1+x%）2＝5000
D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000
7．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
8．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0以下正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝11 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝2
二、填空题（本题共计8小题，每题4分，共计32分）
9．如图，在反比例函数图象上取一点A分别作AC⊥x轴，AB⊥y轴，且S矩形ABOC＝2，那么这个函数解析式为　 　．
10．如图，若l1∥l2∥l3，如果DE＝6，EF＝2，BC＝1.5，那么AC＝　 　．
11．若反比例函数的图象经过点A（﹣2，4）和点B（8，a），则a的值为 　 　．
12．一元二次方程x2＝x的根　 　．
13．用同一张底片洗出的两张照片，一张为2寸，另一张为6寸，则这两张照片上的图象的相似比是　 　．
14．反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此反比例函数的关系式是　 　．
15．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　．
16．定义a*b＝，则方程（x*x2）﹣（x2*x）＝2的解为　 　．
三、解答题（共7小题，满分64分）
17．如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤的解集．
18．设a、b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，求a2+2a+b的值．
19．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．
（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
20．已知，且2x+3y﹣z＝18，求4x+y﹣3z的值．
21．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，∠APD＝60°．
（1）求CD的长；
（2）PD可以垂直AC吗？如果不可以，请说明理由，如果可以，请求出BP的长．
22．合肥三十八中为预防秋季疾病传播，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）据测定，只有当空气中每立方米的含药量不低于5毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用20分钟以上，才能完全杀死这种病毒，请问这次消毒是否彻底？
23．如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．
参考答案
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分）
1．小兰画了一个函数y＝的图象如图，那么关于x的分式方程＝2的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【分析】关于x的分式方程＝2的解就是函数y＝中，纵坐标y＝2时的横坐标x的值，据此即可求解．
解：由图可知当x＝3时，y＝0，即＝0，
解得a＝3，
当＝2时，
解得x＝1．
故选：A．
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2++3＝0 B．2xy+x2＝0 C．x2＝5x﹣2 D．x2﹣2＝x2+2x
【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：A、是分式方程，故此选项错误；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误；
C、是一元二次方程，故此选项正确；
D、化简后，不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：C．
3．下列各组线段中，线段a，b，c，d成比例线段的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝4，d＝8 B．a＝2，b＝1，c＝4，d＝8
C．a＝1，b＝2，c＝8，d＝4 D．a＝1，b＝4，c＝8，d＝2
【分析】如果其中两条线段a，d的乘积等于另外两条线段b，c的乘积，则四条线段a，b，c，d成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
解：A、1×8＝2×4，故选项符合题意；
B、2×8≠1×4，故选项不符合题意；
C、1×4≠2×8，故选项不符合题意；
D、1×2≠4×8，故选项不符合题意．
故选：A．
4．如图，小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）
A．10m B．9m C．8m D．7m
【分析】利用相似三角形对应边成比例解题．
解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，
若设旗杆高x米，
则＝，
∴x＝9．
故选：B．
5．已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　）
A．y随x的增大而减少 B．图象必经过点（1，2）
C．图象在第一、三象限 D．若x＞1，则y＜2
【分析】根据反比例函数的性质即可判断A、C，D，把点（1，2）代入即可判断B．
解：∵中，k＝2＞0，
∴函数图象的两个分支分布在第一、三象限，函数图象在每个象限内，y随x的增大而减少，故A选项符合题意，C选项不符合题意；
∵1×2＝2，
∴图象必经过点（1，2），故B选项不符合题意；
∴x＞1时，y＜2，故D选项不符合题意；
故选：A．
6．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3000万元，预计2010年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．3000（1+x）2＝5000
B．3000x2＝5000
C．3000（1+x%）2＝5000
D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2008年投入3 000万元，预计2010年投入5 000万元即可得出方程．
解：设教育经费的年平均增长率为x，
则2009的教育经费为：3000×（1+x）
2010的教育经费为：3000×（1+x）2．
那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000
故选：A．
7．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数y＝2x和反比例函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称．
解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
8．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0以下正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝11 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝2
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．
解：∵x2﹣6x﹣2＝0，
∴x2﹣6x＝2，
则x2﹣6x+9＝2+9，即（x﹣3）2＝11，
故选：B．
二、填空题（本题共计8小题，每题4分，共计32分）
9．如图，在反比例函数图象上取一点A分别作AC⊥x轴，AB⊥y轴，且S矩形ABOC＝2，那么这个函数解析式为　　．
【分析】先根据已知条件用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式即可．
解：∵反比例函数的解析式为，
S矩形ABOC＝2，
∴|k|＝2，
∴k＝±2，
由图象在第二象限，
∴k＜0，
∴这个反比例函数解析式为y＝；
故答案为：．
10．如图，若l1∥l2∥l3，如果DE＝6，EF＝2，BC＝1.5，那么AC＝　6　．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出AB，即可得出答案．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵DE＝6，EF＝2，BC＝1.5，
∴＝，
∴AB＝4.5，
∴AC＝1.5+4.5＝6，
故答案为：6．
11．若反比例函数的图象经过点A（﹣2，4）和点B（8，a），则a的值为 　﹣1　．
【分析】待定系数法求反比例函数解析式，代入点B，即可求得a的值．
解：∵反比例函数的图象经过点A（﹣2，4），
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
把点B（8，a）代入y＝﹣得：a＝﹣＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．一元二次方程x2＝x的根　x1＝0，x2＝1　．
【分析】先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解．
解：由原方程得x2﹣x＝0，
整理得x（x﹣1）＝0，
则x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1．
故答案是：x1＝0，x2＝1．
13．用同一张底片洗出的两张照片，一张为2寸，另一张为6寸，则这两张照片上的图象的相似比是　1：3　．
【分析】利用相似图形的性质得出相似比即可．
解：∵用同一张底片洗出的两张照片，一张为2寸，另一张为6寸，
∴这两张照片上的图象的相似比是：2：6＝1：3．
故答案为：1：3．
14．反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此反比例函数的关系式是　y＝﹣　．
【分析】将点（﹣2，3）代入函数解析式（k≠0），即可求得k的值．
解：设反比例函数的解析式为（k≠0）．
函数经过点（﹣2，3），
∴3＝，
得k＝﹣6．
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
15．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a＜且a≠1　．
【分析】根据根的判别式即可求出a的范围．
解：由题意可知：a﹣1≠0且Δ＝4﹣16（a﹣1）＝20﹣16a＞0，
解得：a＜且a≠1，
故答案为：a＜且a≠1，
16．定义a*b＝，则方程（x*x2）﹣（x2*x）＝2的解为　x＝　．
【分析】利用题中的新定义化简所求方程，求出解即可．
解：根据题中的新定义得：x*x2＝，x2*x＝，
方程变形为﹣＝2，
整理得：x2﹣x﹣4＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，
∵△＝1+16＝17，
∴x＝，
故答案为：x＝
三、解答题（共7小题，满分64分）
17．如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤的解集．
【分析】（1）把点A坐标代入一次函数y＝x+m与反比例函数y＝，分别求得m及k的值；
（2）令直线解析式的函数值为0，即可得出x的值，从而得出点C坐标，根据图象即可得出不等式组0＜x+m≤的解集．
解：（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y＝x+m的图象上，
∴2+m＝1即m＝﹣1，
∵A（2，1）在反比例函数的图象上，
∴，
∴k＝2；
（2）∵一次函数解析式为y＝x﹣1，令y＝0，得x＝1，
∴点C的坐标是（1，0），
由图象可知不等式组0＜x+m≤的解集为1＜x≤2．
18．设a、b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，求a2+2a+b的值．
【分析】由于a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．
解：∵a，b是方程x2+x﹣2009＝0的两个实数根，
∴a2+a﹣2009＝0，即a2+a＝2009，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2009﹣1＝2008．
19．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．
（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
【分析】（1）由题意可得，3月份的销售量为：128件；设四、五月份销售量平均增长率为x，则4月份的销售量为：128（1+x）；5月份的销售量为：128（1+x）（1+x），又知5月份的销售量为：200件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润＝2250求出即可．
解：（1）设四、五月份销售量平均增长率为x，则128（1+x）2＝200
解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）
所以四、五月份销售量平均增长率为25%；
（2）设商品降价m元，则（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250
解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去）
所以商品降价5元时，商场获利2250元．
20．已知，且2x+3y﹣z＝18，求4x+y﹣3z的值．
【分析】设＝k，进而解答即可．
解：设＝k，
可得：x＝2k，y＝3k，z＝4k，
把x＝2k，y＝3k，z＝4k代入2x+3y﹣z＝18中，
可得：4k+9k﹣4k＝18，
解得：k＝2，
所以x＝4，y＝6，z＝8，
把x＝4，y＝6，z＝8代入4x+y﹣3z＝16+6﹣24＝﹣2．
21．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，∠APD＝60°．
（1）求CD的长；
（2）PD可以垂直AC吗？如果不可以，请说明理由，如果可以，请求出BP的长．
【分析】（1）利用两个角相等可证△ABP∽△PCD，得，代入即可得出答案；
（2）由△ABP∽△PCD，得∠APB＝∠PDC＝90°，再利用含30°角的三角形的性质即可．
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠APD＝60°，
∴∠APB+∠CPD＝120°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝120°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴，
∴CD＝；
（2）可以，如图，
当PD⊥AC时，
则∠PDC＝90°，
∵△ABP∽△PCD，
∴∠APB＝∠PDC＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BP＝＝．
22．合肥三十八中为预防秋季疾病传播，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）据测定，只有当空气中每立方米的含药量不低于5毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用20分钟以上，才能完全杀死这种病毒，请问这次消毒是否彻底？
【分析】（1）首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）将y＝5分别代入求得的正比例函数和反比例函数求得的x值作差与20比较即可得出此次消毒是否有效．
解：（1）设反比例函数解析式为，
将（25，6）代入解析式得，k＝25×6＝150，
则函数解析式为，
将y＝10代入解析式得，，
解得x＝15，
故A（15，10），
设正比例函数解析式为y＝nx，
将A（15，10）代入上式即可求出n的值，
，
则正比例函数解析式为．
综上：
（2）将y＝5代入得x＝30，将y＝5代入得到x＝7.5，
Q＝30﹣7.5＝22.5＞20，
∴这次消毒很彻底．
23．如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．
【分析】（1）由题意可知，又∠ACD＝∠BCE，从而证明结论；
（2）过A作AG⊥CD于G，则△AGC是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AG的长，从而解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵，
∴△ACD∽△BCE；
（2）解：过A作AG⊥CD于G，
由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，
∴AG＝CG，
在Rt△ACG中，由勾股定理得：
∴CG＝AG＝3，
∴S＝＝．