沪科版初中数学九年级上册综合复习测试题（word版 含解析）

沪科版初中数学九年级上册综合复习测试题
考试时间：120分钟
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．抛物线y＝3x2﹣6x的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣6） B．（3，6） C．（1，3） D．（1，﹣3）
2．若，则的值是（　　）
A．2 B． C． D．
3．∠α是△ABC三个内角中的最小角，则（　　）
A．0＜cosα≤ B．0＜cosα≤ C．cosα＜1 D．≤cosα
4．将抛物线y＝2x2﹣1向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2x2+8x+9 B．y＝2x2﹣8x+9 C．y＝2x2+8x+8 D．y＝2x2﹣8x+8
5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝30m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　）
A．20m B．30m C．40m D．60m
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点在边BC上，＝，E为AB边上一点，当EC＝ED时，的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，垂直于地面的通信基地AB建在陡峭的山坡BC上，该山坡的坡度i＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB的高度，他首先在C处测得山脚与通信基地AB的水平距离CD＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E处，他在E处测得通信基地顶端A的仰角为60°，则通信基地AB的高度约为（　　）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．136米 B．142米 C．148米 D．87米
8．如图，点D在等腰直角△ABC的斜边AB上，△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形，若AD＝2，DB＝4，则CE的值等于（　　）
A．4 B．2 C． D．20
9．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12
10．如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边CB上，点P、N分别在边CA、AB上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．
二．填空题（共4小题）
11．在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，则∠A＝　90°　．
12．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最大值为﹣5，则c的值是 　﹣6　．
13．如图，已知零件的厚度均匀且外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）去测量零件的内孔直径AB，如果OC：AC＝1：3，测量得CD＝10mm，那么零件的厚度为 　2.5　mm．
14．如图1，E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边△AEF，连接CF．已知△ECF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（P为抛物线的顶点）．
（1）当△ECF的面积最大时，∠FEC的大小为 　30°　．
（2）等边△ABC的边长为 　4　．
三．解答题（共9小题）
15．计算：2sin245°﹣6cos30°+3tan45°+4sin60°．
16．已知在△ABC中，D是边AC上一点∠CBD的角平分线交AC于点E，且AE＝AB．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）当AD＝4，CD＝7时，求AE的长．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠A；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
18．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距12米的D处测得广告牌顶部A的仰角为37°，测得广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，相似比为1：2．
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比为 　1：4　（不写解答过程，直接写出结果）．
20．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．
21．大汉雄风坐落于河南省永城市芒砀山主峰，是为纪念刘邦在芒砀山斩蛇起义创建四百年大汉王朝而建，某数学兴趣小组想测量底座之上部分雕像AB的高度，如图在和雕塑底座上端水平的山坡C处测得雕塑顶端B的仰角为58.5°，沿山坡上行10米到达点D，测得雕塑顶端B的仰角为45°，已知山坡的坡度i＝1：3，且A，C在同一水平地面上，求塑像AB的高度．（测倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin58.5°≈0.85，cos58.5°≈0.52，tan58.5°≈1.63，≈1.4，≈1.7，≈3.2．）
22．某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x 40 70 90
y 180 90 30
W 3600 4500 2100
（1）该商品进价 　20　（元/件），y关于x的函数解析式是 　y＝﹣3x+300　（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求售价不低于进价，售价x为多少时，周销售利润W最大，并求出此时的最大利润；
（3）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m＞0的整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，请直接写出m的值．
23．如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，若点P恰好为CE的中点时．
（1）求证：△ABP是直角三角形；
（2）若BC＝3，BE＝1，求的值；
（3）如图②，在（2）的条件下，如果点G、Q分别为DP、DE上的动点，求GF+GQ的最小值．
沪科版初中数学九年级上册综合复习测试题
考试时间：120分钟
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．抛物线y＝3x2﹣6x的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣6） B．（3，6） C．（1，3） D．（1，﹣3）
【分析】先根据对称轴x＝求出横坐标，再将横坐标代入函数解析式中即可求顶点的纵坐标．
【解答】解：y＝3x2﹣6x，
a＝3，b＝﹣6，
∴＝1，
将x＝1代入函数解析式中得y＝﹣3，
∴顶点坐标为（1，﹣3），
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的顶点坐标，解题的关键在于求出二次函数的对称轴．
2．若，则的值是（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】利用已知条件用b表示a，然后把a＝b代入中进行分式的运算即可．
【解答】解：∵，
∴a＝b
∴＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．
3．∠α是△ABC三个内角中的最小角，则（　　）
A．0＜cosα≤ B．0＜cosα≤ C．cosα＜1 D．≤cosα
【分析】根据∠α是△ABC三个内角中的最小角可得0°＜∠α≤60°，再根据特殊角的三角函数值可得答案．
【解答】解：∵∠α是△ABC三个内角中的最小角，
∴0°＜∠α≤60°，
∵cos60°＝，cos0°＝1，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
4．将抛物线y＝2x2﹣1向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2x2+8x+9 B．y＝2x2﹣8x+9 C．y＝2x2+8x+8 D．y＝2x2﹣8x+8
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣1向右平移2个单位长度，
∴平移后解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣1，
∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣1+1，即y＝2x2﹣8x+8．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝30m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　）
A．20m B．30m C．40m D．60m
【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得河的宽度AB．
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DCE＝90°，
∵∠AEB＝∠DEC，
∴△BAE∽△CDE，
∴＝，
∵BE＝30m，CE＝10m，CD＝20m，
∴＝，
解得：AB＝60，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握“两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例”是解决问题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点在边BC上，＝，E为AB边上一点，当EC＝ED时，的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过E作EP⊥AC于P，EF⊥BC于F，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：过E作EP⊥AC于P，EF⊥BC于F，
∴四边形PEFC为矩形，PE＝CF，
∵EF⊥BC，
∴CF＝DF，
∵EP⊥AC，∠ACB＝90°，
∴△APE∽△ABC，
∴，
∴＝，
故选：A．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定得出△APE∽△ABC解答．
7．如图，垂直于地面的通信基地AB建在陡峭的山坡BC上，该山坡的坡度i＝1：2.4．小明为了测得通信基地AB的高度，他首先在C处测得山脚与通信基地AB的水平距离CD＝156米，然后沿着斜坡走了52米到达E处，他在E处测得通信基地顶端A的仰角为60°，则通信基地AB的高度约为（　　）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．136米 B．142米 C．148米 D．87米
【分析】如图作EH⊥CD于H，EF⊥AD于F．解直角三角形求出AD、BD即可解决问题．
【解答】解：如图作EH⊥CD于H，EF⊥AD于F．
在Rt△ECH中，∵EH：CH＝1：2.4，EC＝52m，
∴EH＝DF＝20m，CH＝48m，
∴EF＝DH＝CD﹣CH＝156﹣48＝108m，
在Rt△AEF中，∵∠AEF＝60°，
∴AF＝EF tan60°＝108，
∴AD＝AF+DF＝108+20≈204m，
在Rt△BCD中，∵BD：CD＝1：2.4，
∴BD＝60m，
∴AB＝AD﹣BD＝204﹣60≈142m，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，点D在等腰直角△ABC的斜边AB上，△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形，若AD＝2，DB＝4，则CE的值等于（　　）
A．4 B．2 C． D．20
【分析】由等腰直角三角形可得∠A＝∠B＝∠E＝45°，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，从而可求得∠ACD＝∠BCE，从而有△ACD∽△ECF，则有，∠ADC＝∠EFC；可证得△ACD∽△BDF，有，可求得BF，从而求得CF，即可求CE的长．
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，△CDE是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝∠E＝45°，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△ECF，
∴，∠ADC＝∠EFC，
∵∠BFD＝∠EFC，
∴∠ADC＝∠BFD，
∴△ACD∽△BDF，
∴，
∵AD＝2，DB＝4，
∴由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即2AC2＝62，
解得：AC＝3，
∴，解得：BF＝，
BC＝AC＝3，
∴CF＝BC﹣BF＝，
∴，
解得：CE＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解答的关键是证得△ACD∽△ECF与△ACD∽△BDF．
9．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12
【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x≤6时﹣4≤y≤12，进而求解．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣4），
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵﹣1＜x≤6，
∴二次函数y的取值为﹣4≤y≤12，
∴﹣4≤t＜12，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴交点、二次函数图象的性质以及一元二次方程的解，将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
10．如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边CB上，点P、N分别在边CA、AB上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．
【分析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A＝∠B＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得BD＝DN＝m，CF＝PF＝n，则m+m+n+n＝3+，所以所以n＝3﹣m，S＝m2+n2＝m2+（3﹣m）2＝2（m﹣）2，接着确定m的取值范围为6﹣3≤m≤3﹣3，然后根据二次函数的性质求出S的最小值．
【解答】解：设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，AB＝3+，
在Rt△BDN中，BD＝DN＝m，
在Rt△CPF中，CF＝PF＝n，
∵BD+DE+EF+CF＝AB，
∴m+m+n+n＝3+，
∴m+n＝3，
∴n＝3﹣m，
∴S＝m2+n2＝m2+（3﹣m）2＝2（m﹣）2，
当点M落在AC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，如图，
在Rt△BDN中，BD＝DN，BN＝DN，
∴DN+DN＝3+，解得DN＝3﹣3，
在Rt△CPF中，CF＝PF，
∴（3﹣3）+3﹣3+EF+PF＝3，
解得PF＝6﹣9，
∴6﹣3≤m≤3﹣3，
∴当m＝时，S最小，S的最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质．
二．填空题（共4小题）
11．在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，则∠A＝　90°　．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值可求出∠B＝45°，再根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝45°，根据三角形的内角和可求出∠A．
【解答】解：∵sinB＝，
∴∠B＝45°，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形，掌握直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质是正确解答的前提．
12．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最大值为﹣5，则c的值是 　﹣6　．
【分析】首先把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式，找到其对称轴，然后根据在﹣3≤x≤2内有最大值，得到﹣1+2+c＝﹣5，解得即可．
【解答】解：把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式为y＝﹣（x+1）2+c+1，
又知二次函数的开口向下，对称轴为x＝﹣1，
故当x＝﹣1时，二次函数有最大值为﹣5，
故﹣1+2+c＝﹣5，
故c＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．
13．如图，已知零件的厚度均匀且外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）去测量零件的内孔直径AB，如果OC：AC＝1：3，测量得CD＝10mm，那么零件的厚度为 　2.5　mm．
【分析】要求零件的厚度，由题可知只需求出AB即可．因为CD和AB平行，可得△AOB∽△COD，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答．
【解答】解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，
∴OA＝OB，
∵OC：AC＝1：3，
∴OC：OA＝1：2，
∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，
∵∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△COD，
∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，
∵CD＝10mm，
∴AB＝20mm，
∴2x+20＝25，
∴x＝2.5．
故答案是：2.5．
【点评】此题考查相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出零件的内孔直径AB即可求得x的值．
14．如图1，E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边△AEF，连接CF．已知△ECF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（P为抛物线的顶点）．
（1）当△ECF的面积最大时，∠FEC的大小为 　30°　．
（2）等边△ABC的边长为 　4　．
【分析】（1）由△ABE≌△ACF得BE＝CF，用x的代数式表示S，得到E为BC中点时S最大，从而可求∠FEC度数；
（2）根据△ECF的最大面积是2列方程即可得答案．
【解答】解：过F作FD⊥BC于D，如图：
∵等边△ABC，等边△AEF，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EAF＝∠AEF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF＝60°，
而BE＝x，
∴CF＝x，∠FCD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACF＝60°，
∴FD＝CF cos60°＝x，
设等边△ABC边长是a，则CE＝BC﹣BE＝a﹣x，
∴S△ECF＝CE FD＝（a﹣x） x＝﹣x2+ax，
当x＝＝a时，S△ECF有最大值为＝a2，
（1）△ECF的面积最大时，BE＝a，即E是BC的中点，
∴AE⊥BC，∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝30°，
故答案为：30°；
（2）当x＝a时，S△ECF有最大值为a2，
由图可知S△ECF的最大值是2，
∴a2＝2，解得a＝4或a＝﹣4（边长a＞0，舍去），
∴等边△ABC的边长为a＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查等边三角形及二次函数的综合知识，解题关键是证明△ABE≌△ACF，用x的代数式表示△ECF的面积．
三．解答题（共9小题）
15．计算：2sin245°﹣6cos30°+3tan45°+4sin60°．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：原式＝2×（）2﹣6×+3×1+4×
＝2×﹣3+3+2
＝1﹣3+3+2
＝4﹣．
【点评】本题考查特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确计算的前提．
16．已知在△ABC中，D是边AC上一点∠CBD的角平分线交AC于点E，且AE＝AB．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）当AD＝4，CD＝7时，求AE的长．
【分析】（1）利用外角的性质可证∠C＝∠ABD，即可证明结论；
（2）根据相似三角形的性质可知，代入即可得出AB的长，从而解决问题．
【解答】（1）证明：如图，
∵BE是∠CBD的角平分线，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，
∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB；
（2）解：∵△ABD∽△ACB，
∴，
又∵AB＝AE，
∴AE2＝AD AC＝4×（4+7）＝44，
∴AE＝2．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明∠C＝∠ABD是解题的关键．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠A；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
【分析】（1）根据cosA＝求值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案；
（2）根据锐角三角函数的定义求出a的值，再根据勾股定理求出答案即可．
【解答】解：（1）∵cosA＝＝＝，
∴∠A＝45°；
（2）∵sinA＝＝＝，
∴a＝6，
∴b＝＝6．
【点评】本题考查特殊锐角的三角函数值，勾股定理，理解锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键．
18．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距12米的D处测得广告牌顶部A的仰角为37°，测得广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】利用CD及正切函数的定义求得BC，AC长，把这两条线段相减即为AB长．
【解答】解：在Rt△BCD中，BC＝DC tan30°＝12×＝4（m），
在Rt△ACD中，AC＝DC tan37°≈12×0.75＝9（m），
∴AB＝AC﹣BC＝（9﹣4）（m）．
答：广告牌AB的高度为（9﹣4）m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，相似比为1：2．
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比为 　1：4　（不写解答过程，直接写出结果）．
【分析】（1）根据轴对称的性质画图即可；
（2）根据位似图形的性质，找出关键点的位置即可；
（3）根据相似三角形的性质进行解答．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2的面积比为1：4，
故答案为：1：4．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，位似变换，相似三角形的性质等知识，根据要求正确画出图形是解题的关键．
20．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．
【分析】（1）根据坡度的意义，求出∠BAM＝30°，再利用直角三角形的边角关系求出答案；
（2）在Rt△ABM中求出AM，进而求出ME，即BN，再在Rt△BCN中，得出CN＝BN，在Rt△ADE中由边角关系求出DE，最终求出CD，取近似值得出答案．
【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝12米，AE＝24米，
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝6（米），
即点B距水平地面AE的高度为6米；
（2）在Rt△ABM中，
∴NE＝BM＝AB＝6（米），
AM＝AB＝6（米），
∴ME＝AM+AE＝（6+24）米，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（6+24）米，
∴CE＝CN+NE＝（6+30）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝24米，
∴DE＝AE tan53°≈24×＝32（米），
∴CD＝CE﹣DE
＝6+30﹣32
＝6﹣2
≈8.4（米）
答：广告牌CD的高约8.4米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．
21．大汉雄风坐落于河南省永城市芒砀山主峰，是为纪念刘邦在芒砀山斩蛇起义创建四百年大汉王朝而建，某数学兴趣小组想测量底座之上部分雕像AB的高度，如图在和雕塑底座上端水平的山坡C处测得雕塑顶端B的仰角为58.5°，沿山坡上行10米到达点D，测得雕塑顶端B的仰角为45°，已知山坡的坡度i＝1：3，且A，C在同一水平地面上，求塑像AB的高度．（测倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin58.5°≈0.85，cos58.5°≈0.52，tan58.5°≈1.63，≈1.4，≈1.7，≈3.2．）
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，设DE＝xm，则CE＝3xm，在Rt△CED中根据勾股定理得DE，在Rt△CAB中，由tan58.5°求得m的值，继而可得答案．
【解答】解：过点 D作 DE⊥AC 交 AC于点 E，DF⊥AB交 AB于点 F，
∵i＝1：3，CD＝10，
设 DE＝xm，则 CE＝3xm，
在 Rt△CED 中，x2+（3x）2＝102，
解得：x＝或x＝﹣（舍），
∴DE＝m，则CE＝3m，
∵∠BDF＝∠DBF＝45°，
∴BF＝DF，
设 BF＝DF＝m 米，则 AB＝（m+）米，AC＝（m﹣3）米，
在 Rt△CAB 中，，
解得：m≈29.9，
∴AB＝29.9+≈33.1（米），
答：塑像的高度约为 33.1米．
【点评】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
22．某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x 40 70 90
y 180 90 30
W 3600 4500 2100
（1）该商品进价 　20　（元/件），y关于x的函数解析式是 　y＝﹣3x+300　（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求售价不低于进价，售价x为多少时，周销售利润W最大，并求出此时的最大利润；
（3）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m＞0的整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，请直接写出m的值．
【分析】（1）由x＝40，y＝180，w＝3600可得商品进价为20元，设y＝kx+b，用待定系数法即得解析式；
（2）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣3（x﹣60）2+4800，顶点的纵坐标是有最大值；
（3）根据根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W′＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m），根据对称轴为直线x＝60+以及当售价为63元/件时，周销售利润最大，得出60+＝63，即可求得m的值．
【解答】解：（1）由x＝40，y＝180，w＝3600可得商品进价为40﹣3600÷180＝20（元），
设y＝kx+b，由题意有：
，
解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；
故答案为：20，y＝﹣3x+300；
（2）由（1）可得W＝（﹣3x+300）（x﹣20）
＝﹣3x2+360x﹣6000
＝﹣3（x﹣60）2+4800，
∵﹣3＜0．
∴当x＝60时，W最大，最大值为4800，
∴售价为60元时，周销售利润W最大，最大利润为4800元；
（3）由题意W′＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m）
＝﹣3x2+（360+3m）x﹣6000﹣300m，
对称轴x＝60+，
∵当售价为63元/件时，周销售利润最大，
∴60+＝63，
解得：m＝6．
∴m的值为6．
【点评】本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式．
23．如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，若点P恰好为CE的中点时．
（1）求证：△ABP是直角三角形；
（2）若BC＝3，BE＝1，求的值；
（3）如图②，在（2）的条件下，如果点G、Q分别为DP、DE上的动点，求GF+GQ的最小值．
【分析】（1）通过证明△DBE≌△APB，利用全等三角形对应角相等即可得出结论；
（2）过点F作FN⊥AB于点N，利用平行线的性质和相似三角形的性质得出的值，利用高相等的三角形的面积比等于底的比可求结论；
（3）过点F作FM⊥CD于点M，交DP于点G，过点G作GQ⊥DE于点Q，则GF+GQ最小，利用GQ＝GF，可得GQ+GF＝FM，过点E作EH⊥CD于点H，利用相似三角形的性质列出比例式即可求得FM．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴∠DCE＝∠BEC．
∵DP⊥CE，点P为CE的中点，
∴DP是CE的垂直平分线，
∴DC＝DE．
∴∠DCE＝∠DEC，DC＝AB．
∵∠EBC＝90°，点P为CE的中点，
∴BP为斜边上的中线，
∴BP＝PE＝PC，
∴∠CEB＝∠PBE．
∴∠PED＝∠PBE．
在△DPE和△APB中，
，
∴△DPE≌△APB（SAS）．
∴∠DPE＝∠APB．
∵DP⊥EC，
∴∠DPE＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴△ABP为直角三角形．
解：（2）过点F作FN⊥AB于点N，如图，
∵BC＝3，BE＝1，
∴EC＝＝，
∴PC＝PB＝PE＝EC＝．
∵∠DPE＝∠CBE＝90°，∠DEP＝∠CEB，
∴△DEP∽△CEB，
∴．
∴DE＝5．
∴AB＝DE＝5．
∴AE＝AB﹣BE＝4．
∵∠APB＝∠CBE＝90°，∠ABP＝∠CEB，
∴△APB∽△CBE，
∴
∵∠FAN＝∠APB＝90°，∠FAN＝∠BAP，
∴△FAN∽△BAP，
∴＝．
设FN＝x，则NA＝3x，EN＝4﹣3x
∵FN⊥AB，DA⊥AB，
∴FN∥AD，
∴△FNE∽△DAE，
∴＝．
∴．
解得：x＝．
∴EN＝4﹣＝．
∴EF＝＝．
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣＝．
∴；
解：（3）过点F作FM⊥CD于点M，交DP于点G，过点G作GQ⊥DE于点Q，则GF+GQ最小，如图，
在△DPE和△DPC中，
，
∴△DPE≌△DPC（SAS），
∴∠EDP＝∠CDP，
∵GQ⊥DE，GM⊥CD，
∴GQ＝GM．
∴GF+GQ＝GF+GM＝FM．
过点E作EH⊥CD于点H，则EH＝BC＝3，
∵EH⊥CD，FM⊥CD，
∴FM∥EH，
∴．
∴，
∴FM＝．
即GF+GQ的最小值为．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，轴对称中的路径最短问题，直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，找出GF+GQ的最小值是解题的关键。