2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册5.2.1 三角函数的概念 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
三角函数的概念
目 录
Contents
引入
新课讲授
课堂检测
小结
Part.01
引入
研究圆上的点运动情况
雷达在军事方面起着非常重要的作用，它可以将敌人的运动情况等相关情报发送给我们指挥部，指挥部在根据具体的情况制定相应的对策。而雷达的工作原理跟我们所学的角有关，我们一起来看一下。
首先简化问题，我们试着来研究一下单位圆（半径为1的圆）上点的运动。如左下图，单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况。
P的位置变化情况肯定要引入坐标，因此我们一般在平面直角坐标系上来研究上述问题。
O
A
P
单位圆上的点运动情况
O
A
P
如上图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为，点P的坐标为。射线OA从轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角，终止位置为OP。
探究：
当时，点P的坐标是什么？当或时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
α
单位圆上的点运动情况
O
A
P
利用勾股定理可以发现，当时，点P的坐标是；当时，点P的坐标分别是和。它们都是唯一确定的。
一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的。所以，点P的横坐标、纵坐标都是角的函数。
因此，我们需要定义这些函数。
α
Part.02
新课讲授
三角函数的定义
设是一个任意角，，它的终边OP与单位圆相交于。
（1）把点P的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；
（2）把点P的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；
（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即。可以看出，当时，的终边在轴上，这是点P的横坐标，所以无意义。除此之外，对于确定的角，的值也是唯一确定的。所以，也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，成为正切函数。
我们把这三个函数统称为三角函数，即：
正弦函数 ，
余弦函数 ，
正切函数 ，
探究
在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，即
则用初中定义求得的锐角的三角函数值与按本节三角函数定义求得的函数值是否一致呢？
经过计算，发现函数值是一致的，即
对边
邻边
斜边
锐角 三角函数值
三角函数定义的直接运用
例：求的正弦、余弦和正切值。
解：在直角坐标系中，作。易知
的终边与单位圆的交点坐标为。所以，
，，。
练：在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，求。
答案：若为第一象限角，则；
若为第二象限角，则。
O
A
B
知角终边一点求三角函数值
例：如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不
与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为
。求证：，，。
解：如图，设角的终边与单位圆交于点.
分别过点P，P0作轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为
M，M0，则△OMP~△OM0P0。所以，
，，。
因此由上面例题可得，已知角终边上的一点，则
，，，其中。
练：
若角的终边经过点，则=_____，=_____，=_____。
O
A
P
P0
M
M0
三角函数值的符号判断
我们现在根据三角函数的定义，来研究它们的一些简单性质。
角度 三角函数值 0
O
O
O
+
+
+
+
+
+
—
—
—
—
—
—
不存在
不存在
三角函数值的符号判断
例：若，且，则角是第___象限角。
解：因为，所以与同号。
所以为第一或第三象限角。
若为第一象限角，则，不合题意。
所以为第三象限角。
练：1、判断下列各式的符号：
（1）；
（2）；
（3）。
2、若三角形的两内角，满足，则此三角形为( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 以上三种情况都有可能
三
B
正
正
负
诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等。
由此得到一组公式：
诱导公式一：
，其中。
例：确定下列三角函数值的符号：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
练：求下列各式的值：
（1）；
（2）。
负
负
正
0
Part.03
课堂检测
一展身手
1.点P从出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
3.角的终边经过点,且,则的值为( )
A. B. 3 C. D. 5
4.已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边在射线
上,则( )
A. B. C. D.
B
D
C
A
一展身手
5.已知角的终边过点,,则的值是______．
6.已知角的终边经过点,则与终边相同的角的集合是__________________ .
7.已知扇形的圆心角为,其弧长是其半径的2倍,则
______．
8.求下列各式的值：
（1）；
（2）.
1
Part.04
小结
课堂小结
01
02
03
04
三角函数的概念
诱导公式一
三角函数的符号
知角终边一点求三角函数值
谢谢观看