5.7 待定系数法+行程问题“三板斧” 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
北师版八年级上册 二元一次方程组
§5.7 待定系数法+行程问题“三板斧”
经过前边关于一次函数知识的不断深入学习。到本节课为止，学生已经对“待定系数法”比较熟悉。所以本节课不宜仅仅围绕教材内容进行讲解以及在计算的偏、难、怪方向设定讲授内容.易结合当前的考试热点和对学生思维能力的提升，学习习惯地深入培养这些方面着力。本人对本节课作了初步的改编——增设了与本节课内容相近的一次函数综合应用问题——行程问题“三板斧”。希望这个有益的尝试，能给各位同仁的教学带来裨益！
1．进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化．
2．了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式．(重点)
3 . 学习完以上内容后，进一步探究掌握行程问题中的“三板斧”解题规律；
注意区分“同向而行”、“相向而行”的解题模型.（难点）
1、方程组 有 个解；
2、方程组 有 个解；
3、方程组 有 个解；
0
无数
一
温故知新
两条直线互相平行，有 交点；
两条直线重合，有 交点；
两条直线相交，有 交点；
0个
无数个
一个
温故知新
任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.
温故知新
用二元一次方程组确定一次函数表达式
议一议：A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A地30千米.
问：经过多长时间两人相遇 说出你的方法，并与同学们交流.
1小时后
2小时后甲距A地30千米
乙距A地80千米
甲
A
乙
B
情境导入
可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了.
新知探究
对于乙，s 是t的一次函数，可设 s=kt+b.当t=0时，s=100；当t=1时 s=80.
将它们分别代入s=kt+b中，
可以求出k，b的值，
即可以求出乙 中s 与t 之间的函数表达式.
你能求出甲的表达式吗？
新知探究
1 时后乙距A地 80千米,即乙的速度是20千米/时
2 时后甲距A 地 30千米,故甲的速度是15千米/时
设同时出发后t小时相遇，则15t+20t=100
用一元一次方程的方法可以解决问题
用图象法可以解决问题
用方程组的方法可以解决问题
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
在以上的解题过程中你受到什么启发？
小明
小颖
合作共学
某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该
质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．
已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
典例精讲
解：(1)设y＝kx＋b，根据题意，得
解得：
b＝－5.
（2）令y=0, 则x=30.
所以旅客最多可免费携带30千克的行李．
典例精讲
（30,0）
（如上图）
特别注意：考虑到实际情况，x轴下方的图象是不能存在的.
数 形
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.
2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组.
3.解这个二元一次方程组得k，b.
4.进而求出一次函数的表达式.
归纳总结
设
代
解
列
解方程组得
已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），
求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
3k+b=5，
﹣4k+b=﹣9，
∴这个一次函数的解析式为
把点（3，5）与（﹣4，9）分别代入，得：
k=2，
y=2x-1.
典例精讲
设
代
解
列
b=﹣1
1、右图中的两条直线L1，L2的交点坐标可以看做方程组_ ___的解.
跟踪练习
2.在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数.当所挂物体的质量为1kg 时，弹簧长 15 cm;当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.写出y与x之间的关系 .
y=0.5x+14.5
一次函数综合应用初步
行程问题“三板斧”
板斧一“k”与“速度”
星期天，小明参加南沙自行车协会组织的“南沙横琴骑行游”活动，早上8:00出发骑车从南沙前往珠海横琴．2小时后，爸爸骑摩托车沿同一线路也从南沙前往横琴，他们的行驶路程y（千米）与小明的行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．南沙与横琴两地相距60千米
B．11:00时，爸爸和小明在途中相遇
C．爸爸骑摩托车的平均速度是60千米/小时
D．爸爸比小明早到横琴1小时
C
解析：
一、可分别设父亲的运动图象函数表达式为：
y1=k1x+b
小明的运动图象函数表达式：
y2=k2x
小明运动图象
父亲运动图象
y2=
二、依据图象中的条件
可求出 y1=40x-80;
三、依据图象中的条件可以发现：父亲的速度=60÷（3.5-2）=40（千米/小时）
小明的速度=60÷4.5= （千米/小时）
板斧一“k”与“速度”
规律探究
如右下图，若纵轴表示物体运动的距离，横轴表示运动时间。则图象的 和速度值相等
板斧一“k”与“速度”
在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．设甲、乙两人到C村的距离y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，请回答下列问题：
（1）A、C两村间的距离为 km，a= ；
（2）求出图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）乙在行驶过程中，何时距甲10km？
典例精析1
同向而行
解：（1）依题意可知：
A，C距离120千米；
甲的速度为（120-90）÷0.5=60（千米/小时）
乙的速度为 90÷3=30（千米/小时） a=120÷60=2(小时)
（2）求快车返回过程中 y（千米）与 x（小时）的函数关系式；
解：设 y甲=kx+b y乙=k1x+b1
因为甲、乙的速度分别为60千米/小时，30千米/小时。
∴k=-60，k1=-30
又∵图象分别经过点（0，120），
（0.90）
代入得：b=120，b1=90
∴y甲=-60x+120 y乙=-30x+90
典例精析1
令y甲=y乙
则-60x+120 =-30x+90
解得，x=1,y=60
∴P（1，60）
表示经过1h甲，乙相遇距C村60千米.
（3）乙在行驶过程中，何时距甲10km？
板斧二“间隔距离问题”
分析：因为两人均向C村移动，且y轴表示的实际意义均为二者离C村的距离.所以二者的距离差即是运动过程中，他们的间隔距离。
①
②
位置①对应的时间点t1可以根据 y甲-y乙 =10的方式求出；
位置②对应的时间点t2可以根据 y乙-y甲=10的方式求出；
位置③对应的时间点t3可以根据 y乙=10 的方式求出.（甲先到）
③
（1）间隔距离=离终点的距离之差（上-下）.
（2）慢者剩余路程=间隔距离
用此计算模型可以解决同向而行中的间隔距离问题.
板斧二“间隔距离问题”
同向而行
（3）乙在行驶过程中，何时距甲10km？
①
②
解：设 y乙=kx+b
因为乙的速度为30千米/小时。∴k=-30
又∵图象经过点（0，90）
代入得：b=90.
∴y乙=-30x+90
∴分别有y甲-y乙=10;
y乙-y甲=10;
y乙=10
解得：x= 或 或 .
综上可知：x= 或 或 ,乙距
甲10千米
典例精析1
③
典例精析2
某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型。甲、乙两车同时分别从A，B两处出发，沿轨道到达C处，B在AC 上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则，d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题。
（1）填空：乙的速度V2_____米/分。（2分）
（2）写出d1与t的函数关系式。（3分）
解析：如图可求出乙的速度：120÷3=40米/分
则甲的速度：40×1.5=60米/分
∴可以发现甲、乙运动函数表达式中的k甲=-60和k甲=60；
k乙=40
40
同向而行
（2）如图,由题意可设 d1=k1t+b(x≤a); d2=k2t
∵V甲=60米/分，V乙=40米/分，且d1图象经过了（0,60）
∴可得k1=-60,b=60;k2=40
∴d1=-60t+60(x≤a);
d2=40t
典例精析2
同向而行
（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰。（4分）
板斧二“间隔距离问题”
解析：本题中的纵轴d表示的意义不是两辆遥控车离终点C的距离，而是离B地的距离。所以，如果想利用上述模型解题，需找出相差10米时的各个时刻二者离C的距离。
甲离C地（终点）的距离=180-60t;
乙离C地（终点）的距离=120-40t
甲、乙相遇前：180-60t-（120-40t)=10;
甲、乙相遇后：120-40t-（180-60t)=10;
乙距终点C10米：120-40t=10
（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰。（4分）
解：由题意可得：
甲离C地：180-60t; 乙离C地120-40t
所以有：
（1）180-60t-(120-40t)=10;
(2) 120-40t-(180-60t)=10;
(3) 120-40t=10
解得：t=2.5分或3.5分或2.75分
∵两车3分钟时相遇了。∴后两种情况不成立.
又∵距离超过10米才无干扰，
∴0≤t＜2.5
典例精析2
快、慢两车分别从相距 180 千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早 小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程 y（千米）与所用时间 x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）请直接写出快、慢两车的速度；
（2）求快车返回过程中 y（千米）与 x（小时）的函数关系式；
典例精析3
解：（1）依题意可求出慢车速度：180÷3=60（千米/小时）；
快车速度：60×2=120（千米/小时）
相向而行
（2）求快车返回过程中 y（千米）与 x（小时）的函数关系式；
解：设直线CD为 y=kx+b
因为快车速度未变。∴k=-120
又∵直线CD经过点
∴代入得：b=420
∴y=-120x+420.
典例精析3
相向而行
（3）两车出发后经过多长时间相距 90 千米的路程？直接写出答案．
板斧三“间隔距离问题”
解析：相向而行时
（1）相遇前：总路程-二者的路程和=90千米。
（2）相遇后：二者路程和-总路程=90千米
同向而行时（快车已经折返）
yCD-yOA=90千米
（1）间隔距离=总路程与路程和的差.
（2）间隔距离=二者距终点的路程差（同向时）
用此计算模型可以解决相向而行中的间隔距离问题.
板斧三“间隔距离问题”
相向而行
（3）两车出发后经过多长时间相距 90 千米的路程？直接写出答案．
典例精析3
解：由题意可得：
相遇前：快车所走路程=120t;
慢车所走路程=60t
∴（1）180-（120t+60t)=90;
(2) （120t+60t）-180=90
(3)（-120x+420）-60t=90
解得：t=0.5小时或1.5小时或2.5小时.
综上可知：t=0.5小时或1.5小时或2.5小时，两车相距90千米.
本节课重点学习了两个内容：
1、待定系数法求一次函数表达式；
2、增设了一次函数综合应用问题中的“行程问题”。并总结了
相应的解题模型——
间隔距离=路程差
同向而行.
相向而行.
3、特别的：通常情况下，行程问题里函数表达式中的 =物体运动的速度