4.3.3 余角和补角 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
第四章 几何图形初步
4.3.3 余角和补角
随堂演练
课堂小结
例题讲解
情景导入
获取新知
比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次，历经约二百年才完工，设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜，你知道比萨斜塔倾斜多少度角吗？它现在与地面成多少度角？
倾斜了约3.97°.
它现在与地面成的夹角约是86.03°.
这两个角之和是多少
情景导入
获取新知
知识点1：余角和补角的概念
将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1
2
3
4
思考：
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
∠1+∠2 = 90°
2. ∠3与∠4有什么数量关系？
∠3+∠4 = 180°
如果两个角的和等于90 (直角)，就说这两个角互为余角，
即其中每一个角是另一个角的余角.
1
2
∵ ∠1+∠2=90°
∴∠1与∠2互为余角
∵∠1与∠2互为余角
∴ ∠1+∠2=90°
如果两个角的和等于180 (平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
4
3
∵ ∠3+∠4=180°
∴∠3与∠4互为补角
∵∠3与∠4互为补角
∴ ∠3+∠4=180°
如果 ∠1 与∠2互余，那么∠1 的余角是∠2，同样∠2的余角是∠1 ； 如果∠1 与∠2互补，那么∠1 的补角是∠2， 同样∠2的补角是∠1 。
两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。
思考1：定义中的“互为”一词如何理解？
思考2：互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？
备注：互余，互补必须是两个角之间的关系．
例题讲解
例1 如图，点A，O， B在同一条直线 上，射线OD和射线
OE分别平分∠AOC和∠BOC， 图中哪些角互为余角？
解：因为点A，O， B在同一条直线上，
所以 ∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC
= (∠AOC+∠BOC)= 90°.
所以，∠COD和∠COE互为余角，
同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，
∠COD和∠BOE也互为余角.
O
A
B
C
D
E
例2 已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.
解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为(3x+30)°.
根据题意得：
x + ( 3x+30 ) = 90.
解得 x=15.
故 ∠B 的度数为15°.
知识点2：余角和补角的性质
思考1：如果∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2和∠3的大小有什么关系？
因为∠1与∠2，∠3都互为补角，
所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1，
所以∠2=∠3.
同角的补角相等.
类似地，可以得到：
等角的补角相等.
思考2：如果∠1与∠2，∠3 都互为余角，∠2和∠3的大小又有什么关系？
因为∠1与∠2，∠3都互为余角，
所以∠2=90°-∠1，∠3=90°-∠1，
所以∠2=∠3.
同角的余角相等.
类似地，可以得到：
等角的余角相等.
同角的补角相等，
即：若∠A＋∠B＝180°，
∠A＋∠C＝180°，
则∠B＝∠C.
等角的补角相等，
即：若∠A＋∠B＝180°，
∠D＋∠C＝ 180°，
∠A＝∠D，
则∠B＝∠C.
同角的余角相等，
即：若∠A＋∠B＝90°，
∠A＋∠C＝90°，
则∠B＝∠C.
等角的余角相等，
即：若∠A＋∠B＝90°，
∠D＋∠C＝90°，
∠A＝∠D，
则∠B＝∠C.
互为余角 互为补角
对应图形
数量关系
性 质
∠1+ ∠2 = 90 °
∠1+ ∠2 = 180 °
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
1
2
1
2
例题讲解
例3 如图①，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，
F，∠1＋∠2＝180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由．
导引：已知∠1＋∠2＝180°，说明∠2是∠1的补角．根据同角
(或等角)的补角相等，找出图中∠1的其他补角和∠2的其他补角
的补角，便可确定与∠2相等的角．
解：如图②，因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，
所以∠3＝∠2.
因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°，
所以∠4＝∠2.
因为∠2＋∠5＝180°，
∠6＋∠5＝180°，
所以∠2＝∠6.
所以图中与∠2相等的角
有∠3，∠4，∠6.
1.定义：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角．
注意事项：方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西，
如南偏东30°.但与南北方向夹角为45°时，常简称为东北、东南、西北、西南，如南偏东45°，即为东南方向．
知识点3：方位角
东
西
北
南
O
正东：
正南：
正西：
正北：
西北方向：
西南方向：
东北方向：
东南方向：
射线 OA
A
B
C
D
45°
E
G
F
H
45°
八大方位
45°
45°
射线 OB
射线 OC
射线 OD
射线 OE
射线 OF
射线 OH
射线 OG
甲地
乙地
北
观测点
被观测点
如何表示在甲地观察乙地的方位角？
1.先找到观测点，然后画出方向指标；
甲地
乙地
北
视线
2.把观测点和被观测点用线段连接起来；
如何表示在甲地观察乙地的方位角？
甲地
乙地
北
方位角
如何表示在甲地观察乙地的方位角？
3.度量正北或正南方向的射线和视线之间的角度，就是所求方位角了。
例4 如图，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60 的方向上.同时,在它北偏东40 、南偏西10 、西北(即北偏西45 )方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
画法:以点O为顶点,表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东和北之间.射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.同理，可以画出表示货轮C和海岛D方向的射线.
东
南
西
北
60°
● B
40°
10°
45°
C ●
● D
O
●
● A
随堂演练
1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
A
2．如果一个角是56°，那么下列说法中正确的是( )
　A．它的余角是44° B．它的补角是44°
　C．它的余角是124° D．它的补角是124°
D
3. 如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是(　　)
A．同角的余角相等
B．等角的余角相等
C．同角的补角相等
D．等角的补角相等
C
4. 如图，下面说法中不正确的是(　　)
A．射线OA表示北偏东30°
B．射线OB表示西北方向
C．射线OC表示西偏南80°
D．射线OD表示南偏东70°
C
5. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，
则∠1= ，∠2= .
62°
28°
6. 一个角的补角比它的余角的3倍小20°，求这个角的度数．
解：设这个角的度数为x°.
由题意，得180－x＝3(90－x)－20，
解得x＝35.
答：这个角的度数为35°.
7. 如图，D是直线EF上一点，∠CDE＝90°，∠1＝∠2，哪些角互为余角？哪些角互为补角？
解：∠1与∠ADC，∠1与∠BDC，∠2与∠BDC，∠2与∠ADC互为余角；
∠1与∠ADF，∠2与∠ADF，∠2与∠BDE，∠1与∠BDE，∠EDC与∠FDC互为补角．
课堂小结
余角和补角
余角
补角
两个角的和等于90
两个角的和等于180
定义
性质
同（等）角的余角相等
定义
性质
同（等）角的补角相等
方位角
正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角
表示方向的角在航 行、测绘等工作中经常 用到
定义
应用
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php