2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念分类练习 （word含答案）

4.3.1等比数列的概念
◆等比数列的定义与通项公式
1．（多选）（2021·全国·高二课时练习）下列各组数成等比数列的是（ ）
A．1，，4， B．，2，，4
C．x，，， D．，，，
2．（2021·全国·高二课前预习）等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝（ ）
A．32 B．－48
C．48 D．96
3．（2021·全国·高二课时练习）在等比数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
4．（2021·河南新乡·高二期中（理））设数列是等比数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
◆等比数列的性质应用
1．（2021·江苏省响水中学高二期中）与的等比中项是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河南·义马市高级中学高三月考（文））在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二期中（文））已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
◆等比数列的递推公式与证明
1．（2021·全国·高二专题练习）已知数列中，，，则（ ）
A．2045 B．1021 C．1027 D．2051
2．（2021·江苏·西安交大苏州附中高二月考）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*).
（1）设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；
（2）设cn＝，求证：{cn}是等差数列.
◆等比数列的综合应用
1．（2021·全国·高三专题练习（理））已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是（ ）
A． B． C．是递减数列 D．存在最小值
2．（多选）（2021·全国·高二单元测试）设{an}(n∈N*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5K8，则下列选项中成立的（ ）
A．0C．K9>K5 D．K6与K7均为Kn的最大值
巩固提升
一、单选题
1．下列数列一定是等比数列的是（ ）
A．数列1，2，6，18，…
B．数列中，，
C．常数列，，…，，…
D．数列中，
2．数列的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列，，，，成等差数列，数列，，，，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
4．在等比数列中，已知，，则（ ）
A．63 B． C．2 D．
5．已知数列满足，，，设，有下列四个结论
①；
②是等比数列；
③是等差数列；
④的通项公式为．
其中所有结论的序号为（ ）
A．①②③ B．② C．②④ D．②③④
6．等比数列的公比为，前项积，若，，
，则（ ）
A． B．是的最大值
C． D．使的的最大值是
二、多选题
7．(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q可能的一个值是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知数列是等比数列，下列结论正确的为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（ ）
A．实数的取值范围是或
B．若数列为等差数列，则数列的前7项和为
C．若数列为等比数列且，则
D．若数列为等比数列且，则的最小值为4
10．《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
三、填空题
11．实数，满足：，，成等差数列，，，成等比数列，则______．
12．在正项等比数列中，若、、成等差数列，则________．
13．已知数列满足，则__________．
14．已知数列{}满足，，，则的值为_________．
四、解答题
15．已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn ＝an＋1(n∈N*)．
（1）求证：{ bn }是等比数列；
（2）求{ an }的通项公式．
16．已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，记，求数列的前n项和.
参考答案
◆等比数列的定义与通项公式
1．ABD
解：对于A：1，，4，中，由，得数列是以为公比的等比数列；
对于B：，2，，4中，由，得数列是以为公比的等比数列；
对于C：当时，不是等比数列．
对于D：，，，中，由，得数列是以为公比的等比数列；
故选：ABD．
2．C
a5＝a1q4＝3×24＝48
3．（1）-96;(2)
（1）由题得；
（2）由已知得，，所以，
所以.
4．B
因为，，所以，，可得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以，
所以，
故选：B.
◆等比数列的性质应用
1．C
与的等比中项是.
故选：C.
2．C
解：由题意，，，构成等比数列，
所以.
故选：C.
3．B
是各项均为正数的等比数列，，
，，.
故选：B
◆等比数列的递推公式与证明
1．A
，变形为
即
故数列 为等比数列，首项为4，公比为2．
．
故选：A
2．（1）证明见解析；（2）证明见解析
（1）an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.
可得，
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，
所以.
所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2，
所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.
◆等比数列的综合应用
1．B
A：当时，，，成立，当时，，，不成立，A选项错误；
B：成立，B选项正确；
C：当时，数列为递减数列，当时，数列为递增数列，C选项错误；
D：当时，存在最小值，当时，存在最大值，D选项错误；
故选：B.
2．ABD
解：根据题意，依次分析选项：对于B，若K6=K7，则a7==1，故B正确；
对于A，由K51，则q=∈(0，1)，故A正确；
对于C，由q∈(0，1)，所以{an}是单调递减，因为a7=1，所以，
则，则有K9对于D，结合K5K8，可得D正确.
故选：ABD.
巩固提升
1．D
对于A，，，故不是等比数列；
对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列；
对于C，当时，不是等比数列；
对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列．
故选：D．
2．B
观察数字规律可知：每项的符号是交替出现，故有，除去符号则为一个以为公比，
首项为的等比数列，所以通项公式为： ，故整个数列的通项为：，
故选：B.
3．C
解：由-1，，，，-4成等差数列得．
由-1，，，，-4成等比数列得．
又等比数列的所有奇数项同号，所以，所以．
故选：C.
4．A
解：由等比数列性质及得
故选：A
5．C
因为，所以，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，．由题可知，因为，所以不是等差数列．所以②④正确．
故选：C.
6．D
解：根据条件可得，
则，，
又因为，
则A选项：，所以，
若，则，，
所以与条件矛盾，
所以，故A错误；
B选项：由，，
可得等比数列单调递减，
又，
可得，，所以是的最大值，故B错误；
C选项：由，，可得等比数列单调递减，
可得，，
，，故C错误；
D选项：，
，
由上可知，
可得，
由此类推可得当时，，
，
由，
可得，
由此类推可得可得当时，，
所以使的的最大值是，故D正确．
故选：D．
7．BC
解：由题意可设三角形的三边分别为，a，aq(aq≠0)．
因为三角形的两边之和大于第三边，
①当q>1时，＋a>aq，即q2－q－1<0，解得1②当0，即q2＋q－1>0，解得综上，q的取值范围是∪，则可能的值是与．
故选：BC
8．AC
对于A项，，得，，故A正确；
对于B项，当时，，但，故B错误；
对于C项，，，
，即，故C正确；
对于D项，当时，，但，故D错误；
故选：AC
9．AD
解：对A，有两个根，
，
解得：或，故A正确；
对B，若数列为等差数列，
和是关于的一元二次方程的两个根，
，
则，故B错误；
对C，若数列为等比数列且，由韦达定理得：，
可得：，，
，
由等比数列的性质得：，
即，故C错误；
对D，由C可知：，且，，
，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选AD.
10．BD
由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，首项，
则，解得，
∴.
∵，∴，
∴数列是等比数列，B选项正确；
∵，∴，A选项错误；
，∴，C选项错误；
，，
∴，D选项正确.
故选：BD.
11．12
由，，成等差数列可得a=6，则，6，成等比数列，即.
故答案为：12.
12．
设正项等比数列的公比为，则，
因为、、成等差数列，则，即，
可得，，解得，
因此，.
故答案为：.
13．
因为，
所以，
由，所以为首项为2，公比为3的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：
14．100
∵，，，
当为奇数时：化简得到，数列{}隔项成等差数列.
设，则，故.
当为偶数时：化简得到，数列{}隔项成等比数列.
设，则，故，
故.
故答案为：100.
15．（1）证明见解析；（2）an＝2n－1.
（1）证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn，
∵b1＝＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴＝2，∴{bn}是等比数列．
（2）由（1）知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列，
∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n－1.
16．
（1）
（2）前n项和为
（1）
由，可得，又，
当时，，，；
当时，数列是首项为，公比为3的等比数列，
则，∴；
综上，；
（2）
当时，，
∴，
∴的前n项和：.