2021-2022学年高一上学期数学复习讲义沪教版（2020）必修第一册微专题：有关反函数的题型例析
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高一上学期数学复习讲义沪教版（2020）必修第一册微专题：有关反函数的题型例析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 759.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-09 19:46:54 | ||
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文档简介
用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化
【学生版】
微专题：有关反函数的题型例析
【典例】
题型1、求自变量或函数值
例1、（1）若，则
【解析】
（2）已知，又，则
【解析】
（3）若，则
【提示】
【解析】
【说明】
题型2、反函数求值（抽象函数）
例2、设有反函数，且函数与互为反函数，求：的值。
【提示】
【答案】；
【解析】
【说明】
题型3、求函数解析式
例3、已知点（1，2）在函数的图象上，又在其反函数的图象上，求函数的解析式。
【提示】
【解析】
【说明】
题型4、利用原函数与反函数解析式相同求系数
例4、已知函数与其反函数是同一个一次函数，试指出的所有取值可能。
【提示】
【解析】
【说明】
题型5、判断是否存在反函数
例5、给出下列函数： (1)； (2) ； (3)；
(4)； (5).
其中不存在反函数的是__________________.
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
题型6、求复合函数的反函数
例6、已知函数,，求的反函数。
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
题型7、利用两函数互为反函数 确定相应函数的解析式
例7、若函数与函数互为反函数，求的值。
【提示】
【答案】；
【解析】
【说明】
题型8、将反函数问题转化为原函数
例8、设函数，解关于的不等式。
【提示】
【解析】
【说明】
题型9、互为反函数的图像间关系
例9、设有三个函数，第一个函数是，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数它们的图象关于直线对称，那么第三个函数是（ ）
A． B． C． D．
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
题型10、求出反函数解析式解关于反函数的不等式
例10、已知函数的图像与其反函数图像都经过点，求不等式的解的集合。
【提示】
【解析】
【说明】
题型11、利用原来函数运算关系证明反函数运算
例11、设定义域和值域都是的函数的反函数为，且对于任意都有,求证：对任意也成立；
【提示】
【证明】
【说明】
题型12、反函数知识与不等式的交汇
例12、若的反函数为，且，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】
【解析】
【说明】
【练习】
1、若函数的反函数为，那么（ ）
A． B． C． D．
2、若，则与的大小关系为___________。
【教师版】
微专题：有关反函数的题型例析
【典例】
题型1、求自变量或函数值
例1、（1）若，则
【解析】设，则，即，所以，；
（2）已知，又，则
【解析】因为，，所以，，则；
（3）若，则
【提示】应用结论：若函数存在反函数，
则；
【解析】由上易知
【说明】在涉及反函数的一些问题中，有时不求反函数，反而可以更准确更快捷地解题。
题型2、反函数求值（抽象函数）
例2、设有反函数，且函数与互为反函数，求：的值。
【提示】本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”并回归定义，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果；
【答案】2；
【解析】设，则点在函数的图像上，从而点在函数的图像上，即．由反函数定义有，这样即有，从而；
【说明】利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解。
题型3、求函数解析式
例3、已知点（1，2）在函数的图象上，又在其反函数的图象上，求函数的解析式。
【提示】因为点（1，2）在函数的图像上，所以点（2，1）在函数的图像上，从而点（1，2）和（2，1）都在函数的图像上；
【解析】由得所以，
【说明】注意利用原函数与反函数图像关于原点对称，找隐含条件。
题型4、利用原函数与反函数解析式相同求系数
例4、已知函数与其反函数是同一个一次函数，试指出的所有取值可能。
【提示】此题可以有两种求解思路：一是求解的反函数的解析式，与比较，利用恒等式对应系数相等，列出关于的方程；二是利用两个函数图像的对称性，找对称点，利用点的坐标满足解析式来列方程；
【解析】由知点在图像上，则点定在的图像上；
于是 ①
又过点，则点也在的图像上，
于是 ②
由①得或，
当时，代入②，此时②恒成立即；
当时，代入②，解得；
综上, 的所有取值可能有或；
【说明】本题是反函数概念与方程思想的综合；在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便，而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用；此题在最后作答时,要求写出的所有取值可能即要把的取值与的取值搭配在一起，所以解方程组时要特别小心这一点；
题型5、判断是否存在反函数
例5、给出下列函数： (1)； (2) ； (3)；
(4)； (5).
其中不存在反函数的是__________________.
【提示】判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个,依照这函数的对应法则，自变量总有唯一确定的值与之对应，由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数；
【答案】(3)、(4)、(5)；
【解析】对于(1) ，(2)由初等单调性得存在反函数都没有问题；
对于(3)当时,和,且；
对于(4)时,和；
对于(5)当时,和；.
故(3)、(4)、(5)均不存在反函数；
【说明】从代数角度判断是否存在反函数：在给定区间上必须是严格单调函数；从图像上观察，只要看在相应的区间内是否严格单调即可；
题型6、求复合函数的反函数
例6、已知函数,，求的反函数。
【提示】由于已知是，所求是的反函数，因此应首先由找到，再由求出的表达式，再求反函数；
【答案】；
【解析】令,则，所以，，，
得解析式；
于是有，
不妨设，则的值域是,
又变形得，由于，所以，，
所以，的反函数是；
【说明】本题涉及对抽象函数符号的认识与理解，特别是在换元过程中，相应变量的取值范围也要随之发生改变，这一点是学生经常忽略的问题；
题型7、利用两函数互为反函数 确定相应函数的解析式
例7、若函数与函数互为反函数，求的值。
【提示】常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组，关键是如何布列？如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又与g(x)互为反函数，其定义域与值域互换，巧求参数；
【答案】；
【解析】因为g(x)的定义域为且，的值域为，
又因为的定义域就是的值域，所以，；
再因为的值域为，由条件可知的定义域是,，所以，；
则；
令，则，即点(3，1)在的图像上，
又因为与互为反函数，所以，(3，1) 关于的对称点(1，3)必在的图像上，
所以，3=1+,，故；
【说明】通过本题说明理解原函数与反函数的性质可以开拓解题思路、简化解题过程。
题型8、将反函数问题转化为原函数
例8、设函数，解关于的不等式。
【提示】可以行求出的表达式，或转化为去做（用原、反函数的运算互逆性）；
【解析】方法1、令，由于，故，解出，
所以，原函数的反函数为：；
再由，即，即，所以，，
又反函数的定义域满足：，所以，所求的范围是，即；
方法2、易求的值域是，故的定义域是；
又结合一次函数与幂函数，得是严格增函数，因此对两端再结合单调性，
得，所以，，又考虑到必须在的定义域内，
所以，所求的范围是，即；
【说明】1、涉及到反函数的问题，求出反函数是一项基本功，应熟练掌握；求出反函数后，一定要注意标明其定义域，忽视了这一点，就很容易出错，如本题；2、有些涉及反函数的问题，也可不必求出反函数的表达式，而是转化为原函数去解决。
题型9、互为反函数的图像间关系
例9、设有三个函数，第一个函数是，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数它们的图象关于直线对称，那么第三个函数是（ ）
A． B． C． D．
【提示】本题难点在于第二个函数图像与第三个函数图像关系关于直线对称，不容易得出，可从图像上任意点的关系找出关系；点关于直线对称点为，因此函数图像关于直线对称图像的解析式为；
【答案】C；
【解析】第一个函数是，它的反函数是，与的图象关于直线对称的图象表示的函数为．所以第三个函数是；选择答案C；
【说明】如果函数存在反函数，则它的反函数即为；如果函数与的图像关于直线对称，则即；如果函数与的图像关于直线对称，则即；以后学习中还会遇到；如果函数与的图像关于直线对称，则即；如果函数与的图像关于直线对称．则即。
题型10、求出反函数解析式解关于反函数的不等式
例10、已知函数的图像与其反函数图像都经过点，求不等式的解的集合。
【提示】求出系数是本题的关键，利用已知的两个条件可列两个方程，从而求出和；
【解析】方法1、令，所以，，则，
则，所以，
又因为，与的图像都经过点，所以，有，所以，，
由，所以，不等式的解集是：；
方法2、根据了数与反函数的图像关于直线对称，又反函数的图像过点，所以原函数的图像必过点，也就是说，函数过和两个点．
所以，有所以，，则，
所以，，所以，不等式的解集是；
【说明】注意解法2，根据原函数与反函数的性质联系，可以将反函数的有关性质转化为原函数的性质（此处用的是图像关于对称），从而不必将反函数的表达式求出来，减少了运算量；再如问的反函数是奇函数还是偶函数？单调性怎样？就可由原函数的性质作出解答：是奇函数且是增函数。
题型11、利用原来函数运算关系证明反函数运算
例11、设定义域和值域都是的函数的反函数为，且对于任意都有,求证：对任意也成立；
【提示】由函数的性质推证其反函数的性质，应首先要把的问题转化成的问题，转化的依据是对互为反函数的两个函数关系的理解；
【证明】令，其中,那么，
则有 ①
由于对任意成立，
所以，，由于，则，
故有，即；
【说明】使用抽象函数符号进行简单的证明，是提高研究函数性质理论层次的一种要求；
题型12、反函数知识与不等式的交汇
例12、若的反函数为，且，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是互为反函数，所以，
又因为，所以，所以且，
又，取等号时，
所以的最小值为，故选：B；
【说明】本题是互为反函数之间的联系、性质与基本不等式的知识交汇；
【练习】
1、若函数的反函数为，那么（ ）
A． B． C． D．
【解析】由知，，即函数的反函数为。因函数的反函数为，故；选B；
2、若，则与的大小关系为___________。
【解析】因为在上是减函数，与它的反函数的单调性相同，所以在它的定义域上也是减函数；∴；
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【学生版】
微专题：有关反函数的题型例析
【典例】
题型1、求自变量或函数值
例1、（1）若，则
【解析】
（2）已知，又，则
【解析】
（3）若，则
【提示】
【解析】
【说明】
题型2、反函数求值（抽象函数）
例2、设有反函数，且函数与互为反函数，求：的值。
【提示】
【答案】；
【解析】
【说明】
题型3、求函数解析式
例3、已知点（1，2）在函数的图象上，又在其反函数的图象上，求函数的解析式。
【提示】
【解析】
【说明】
题型4、利用原函数与反函数解析式相同求系数
例4、已知函数与其反函数是同一个一次函数，试指出的所有取值可能。
【提示】
【解析】
【说明】
题型5、判断是否存在反函数
例5、给出下列函数： (1)； (2) ； (3)；
(4)； (5).
其中不存在反函数的是__________________.
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
题型6、求复合函数的反函数
例6、已知函数,，求的反函数。
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
题型7、利用两函数互为反函数 确定相应函数的解析式
例7、若函数与函数互为反函数，求的值。
【提示】
【答案】；
【解析】
【说明】
题型8、将反函数问题转化为原函数
例8、设函数，解关于的不等式。
【提示】
【解析】
【说明】
题型9、互为反函数的图像间关系
例9、设有三个函数，第一个函数是，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数它们的图象关于直线对称，那么第三个函数是（ ）
A． B． C． D．
【提示】
【答案】
【解析】
【说明】
题型10、求出反函数解析式解关于反函数的不等式
例10、已知函数的图像与其反函数图像都经过点，求不等式的解的集合。
【提示】
【解析】
【说明】
题型11、利用原来函数运算关系证明反函数运算
例11、设定义域和值域都是的函数的反函数为，且对于任意都有,求证：对任意也成立；
【提示】
【证明】
【说明】
题型12、反函数知识与不等式的交汇
例12、若的反函数为，且，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】
【解析】
【说明】
【练习】
1、若函数的反函数为，那么（ ）
A． B． C． D．
2、若，则与的大小关系为___________。
【教师版】
微专题：有关反函数的题型例析
【典例】
题型1、求自变量或函数值
例1、（1）若，则
【解析】设，则，即，所以，；
（2）已知，又，则
【解析】因为，，所以，，则；
（3）若，则
【提示】应用结论：若函数存在反函数，
则；
【解析】由上易知
【说明】在涉及反函数的一些问题中，有时不求反函数，反而可以更准确更快捷地解题。
题型2、反函数求值（抽象函数）
例2、设有反函数，且函数与互为反函数，求：的值。
【提示】本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”并回归定义，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果；
【答案】2；
【解析】设，则点在函数的图像上，从而点在函数的图像上，即．由反函数定义有，这样即有，从而；
【说明】利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解。
题型3、求函数解析式
例3、已知点（1，2）在函数的图象上，又在其反函数的图象上，求函数的解析式。
【提示】因为点（1，2）在函数的图像上，所以点（2，1）在函数的图像上，从而点（1，2）和（2，1）都在函数的图像上；
【解析】由得所以，
【说明】注意利用原函数与反函数图像关于原点对称，找隐含条件。
题型4、利用原函数与反函数解析式相同求系数
例4、已知函数与其反函数是同一个一次函数，试指出的所有取值可能。
【提示】此题可以有两种求解思路：一是求解的反函数的解析式，与比较，利用恒等式对应系数相等，列出关于的方程；二是利用两个函数图像的对称性，找对称点，利用点的坐标满足解析式来列方程；
【解析】由知点在图像上，则点定在的图像上；
于是 ①
又过点，则点也在的图像上，
于是 ②
由①得或，
当时，代入②，此时②恒成立即；
当时，代入②，解得；
综上, 的所有取值可能有或；
【说明】本题是反函数概念与方程思想的综合；在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便，而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用；此题在最后作答时,要求写出的所有取值可能即要把的取值与的取值搭配在一起，所以解方程组时要特别小心这一点；
题型5、判断是否存在反函数
例5、给出下列函数： (1)； (2) ； (3)；
(4)； (5).
其中不存在反函数的是__________________.
【提示】判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个,依照这函数的对应法则，自变量总有唯一确定的值与之对应，由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数；
【答案】(3)、(4)、(5)；
【解析】对于(1) ，(2)由初等单调性得存在反函数都没有问题；
对于(3)当时,和,且；
对于(4)时,和；
对于(5)当时,和；.
故(3)、(4)、(5)均不存在反函数；
【说明】从代数角度判断是否存在反函数：在给定区间上必须是严格单调函数；从图像上观察，只要看在相应的区间内是否严格单调即可；
题型6、求复合函数的反函数
例6、已知函数,，求的反函数。
【提示】由于已知是，所求是的反函数，因此应首先由找到，再由求出的表达式，再求反函数；
【答案】；
【解析】令,则，所以，，，
得解析式；
于是有，
不妨设，则的值域是,
又变形得，由于，所以，，
所以，的反函数是；
【说明】本题涉及对抽象函数符号的认识与理解，特别是在换元过程中，相应变量的取值范围也要随之发生改变，这一点是学生经常忽略的问题；
题型7、利用两函数互为反函数 确定相应函数的解析式
例7、若函数与函数互为反函数，求的值。
【提示】常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组，关键是如何布列？如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又与g(x)互为反函数，其定义域与值域互换，巧求参数；
【答案】；
【解析】因为g(x)的定义域为且，的值域为，
又因为的定义域就是的值域，所以，；
再因为的值域为，由条件可知的定义域是,，所以，；
则；
令，则，即点(3，1)在的图像上，
又因为与互为反函数，所以，(3，1) 关于的对称点(1，3)必在的图像上，
所以，3=1+,，故；
【说明】通过本题说明理解原函数与反函数的性质可以开拓解题思路、简化解题过程。
题型8、将反函数问题转化为原函数
例8、设函数，解关于的不等式。
【提示】可以行求出的表达式，或转化为去做（用原、反函数的运算互逆性）；
【解析】方法1、令，由于，故，解出，
所以，原函数的反函数为：；
再由，即，即，所以，，
又反函数的定义域满足：，所以，所求的范围是，即；
方法2、易求的值域是，故的定义域是；
又结合一次函数与幂函数，得是严格增函数，因此对两端再结合单调性，
得，所以，，又考虑到必须在的定义域内，
所以，所求的范围是，即；
【说明】1、涉及到反函数的问题，求出反函数是一项基本功，应熟练掌握；求出反函数后，一定要注意标明其定义域，忽视了这一点，就很容易出错，如本题；2、有些涉及反函数的问题，也可不必求出反函数的表达式，而是转化为原函数去解决。
题型9、互为反函数的图像间关系
例9、设有三个函数，第一个函数是，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数它们的图象关于直线对称，那么第三个函数是（ ）
A． B． C． D．
【提示】本题难点在于第二个函数图像与第三个函数图像关系关于直线对称，不容易得出，可从图像上任意点的关系找出关系；点关于直线对称点为，因此函数图像关于直线对称图像的解析式为；
【答案】C；
【解析】第一个函数是，它的反函数是，与的图象关于直线对称的图象表示的函数为．所以第三个函数是；选择答案C；
【说明】如果函数存在反函数，则它的反函数即为；如果函数与的图像关于直线对称，则即；如果函数与的图像关于直线对称，则即；以后学习中还会遇到；如果函数与的图像关于直线对称，则即；如果函数与的图像关于直线对称．则即。
题型10、求出反函数解析式解关于反函数的不等式
例10、已知函数的图像与其反函数图像都经过点，求不等式的解的集合。
【提示】求出系数是本题的关键，利用已知的两个条件可列两个方程，从而求出和；
【解析】方法1、令，所以，，则，
则，所以，
又因为，与的图像都经过点，所以，有，所以，，
由，所以，不等式的解集是：；
方法2、根据了数与反函数的图像关于直线对称，又反函数的图像过点，所以原函数的图像必过点，也就是说，函数过和两个点．
所以，有所以，，则，
所以，，所以，不等式的解集是；
【说明】注意解法2，根据原函数与反函数的性质联系，可以将反函数的有关性质转化为原函数的性质（此处用的是图像关于对称），从而不必将反函数的表达式求出来，减少了运算量；再如问的反函数是奇函数还是偶函数？单调性怎样？就可由原函数的性质作出解答：是奇函数且是增函数。
题型11、利用原来函数运算关系证明反函数运算
例11、设定义域和值域都是的函数的反函数为，且对于任意都有,求证：对任意也成立；
【提示】由函数的性质推证其反函数的性质，应首先要把的问题转化成的问题，转化的依据是对互为反函数的两个函数关系的理解；
【证明】令，其中,那么，
则有 ①
由于对任意成立，
所以，，由于，则，
故有，即；
【说明】使用抽象函数符号进行简单的证明，是提高研究函数性质理论层次的一种要求；
题型12、反函数知识与不等式的交汇
例12、若的反函数为，且，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是互为反函数，所以，
又因为，所以，所以且，
又，取等号时，
所以的最小值为，故选：B；
【说明】本题是互为反函数之间的联系、性质与基本不等式的知识交汇；
【练习】
1、若函数的反函数为，那么（ ）
A． B． C． D．
【解析】由知，，即函数的反函数为。因函数的反函数为，故；选B；
2、若，则与的大小关系为___________。
【解析】因为在上是减函数，与它的反函数的单调性相同，所以在它的定义域上也是减函数；∴；
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