2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册5.1.1利用函数性质判定方程解的存在 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第四章 函数应用
§1 函数与方程
1.1 利用函数性质判定
方程解的存在
一元二次方程
的根与二次函数
的图像有什么关系？
思考：
函数的图象
与x轴交点
方程
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
(-1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
y
x
0
－1
2
1
1
2
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
x2－2x－3=0
y= x2－2x+3
知识探究（一）：方程的根与函数的零点
判别式 >0 0 <0
y=ax2+bx+c
的图象
ax2+bx+c=0
的根
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数
y= ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系：
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
函数的图象与
x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
没有交点
有两个相等的实数根x1 = x2
没有实数根
两个不相等的实数根x1 、x2
(x1,0)
,把使
的实数
对于函数
叫做函数
的零点.
一、函数零点的定义：
思考:零点是不是点？
零点指的是一个实数.
等价关系 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
1.利用函数图像判断下列方程有没有实数解，有几个：
（1）－x2＋3x＋5＝0；
（2）2x(x－2)＝－3；
有,2个
x
y
0
没有
巩固练习1
例1：求下列函数的零点：
练习1：
(1)函数y=f(x)的图象如下，
则其零点为 .
-2,1,3
1. f(-2)= ，f(1) =
f(-2) f(1) 0 (填“>”或“<”)
发现在区间(-2，1)上有零点
2. f(2)= ，f(4) =
f(2) f(4) 0 (填“>”或“<”)
发现在区间(2，4)上有零点
知识探究点(二)
观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象
<
5
-4
-1
<
3
-3
5
－2
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
4
1. 在区间(a,b)上____(有/无)零点；
f(a)·f(b) ____ 0（填＜或＞）．
2 .在区间(b,c)上____(有/无)零点；
f(b)· f(c)___ 0（填＜或＞）．
思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与
函数零点的存在性是否具有着某种关系？
猜想：
若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有 成立，
那么函数在区间(a,b)上有零点。
观察函数f(x)的图像
0
y
x
有
<
有
<
f(a)·f(b)< 0
二、函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。
即存在 c∈(a,b) ，使得 f(c) =0， 这个c也就是方程 f(x)=0 的根。
（1） f(a)·f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。
（2） 函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，则f(a)·f(b)<0。
（3） f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。
注 (1）两条件缺一不可。a 、一条连续不断的曲线
b、 f(a)f(b)<0
(2)定理反过来不成立
（3）只能判定零点存在性，而不能判定有多少个零点
定理理解：判断正误
a
b
0
0
0
y
x
x
y
y
x
错
错
错
思考函数 在区间(2,3)内有零点
解析:
问:
函数 有多少个零点？
f(2)<0,f(3)>0，
得f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内
有零点。
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)
内是增函数,所以它仅有一个零点.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
例2：
解：
思考 零点存在性定理在什么条件下能说明函数y=f(x)在(a,b)内只有一个零点
如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。
解法2：
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
应用举例
函数f(x)=–x3–3x+5的零点所在的大致区间为（ ）
A.（1，2） B.（–2，0）
C.（0，1） D.（0，0.5 ）
A
2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x,f(x)
对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个
A.5 B.4 C.3 D.2
C
解析:由于f(1)=-1<0,f(2)=1>0,
所以零点在(1,2)之间.
判断函数零点存在与否的方法
① 代数法：求方程的实数根；
② 几何法：对于不能直接求解的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数性质找出零点
小结
【课堂小结】
函数零点的概念
转化成两个可作函数图象有公共点
函数零点存在性定理
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
等价关系