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第二十一章 一元二次方程单元复习 选择题精选
下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+y＝2 B．x2﹣+1＝0 C．x2﹣5x＝3 D．x﹣3y+1＝0
【答案】C【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、是分式方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．然后进行判断即可．
下列一元二次方程是一般形式的是（ ）
A．x（x﹣5）＝0 B．5x2﹣1＝4x C．2x2﹣x+1＝0 D．4x2＝81
【答案】C【分析】根据一元二次方程是一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）进行判断即可得到答案.【详解】解：∵一元二次方程是一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），∴只有C选项符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键.
用配方法解方程x2﹣6x﹣9＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝18 B．（x﹣6）2＝45 C．（x﹣3）2＝18 D．（x+6）2＝45
【答案】C【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：∵x2﹣6x﹣9＝0，∴x2﹣6x＝9，∴x2﹣6x+9＝18，∴（x﹣3）2＝18．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
方程x（x﹣1）+x﹣1＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝1
【答案】D【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】解：∵x（x-1）+x-1=0，∴（x-1）（x+1）=0，则x-1=0或x+1=0，解得x1=1，x2=-1，故选：D．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．不确定
【答案】A【分析】直接把x=0代入方程，再结合，进而得出答案．【详解】∵关于的方程有一个根为0，∴把x=0代入，得，解得，∵二次项系数，∴ ，故选：A【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为
A．3 B． C．2 D．
【答案】B【分析】把代入方程得，然后解方程后利用一元二次方程的定义确定k的值．【详解】解：把代入方程得，整理得，解得，，而，所以k的值为．故选B．【点睛】考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解也考查了一元二次方程的定义．
关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：此方程根的判别式为，则此方程有两个不相等的实数根，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D【分析】根据、是一元二次方程的两个根得到，再将变形为，然后代入计算即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，∴，∵，∴，选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为、，则，熟记知识点与代数式变形是解题的关键．
1275年我国南宋数学家杨辉提出一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.设阔（宽）为步，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】设宽为x步，则长为（x+12）步，根据面积等于长乘以宽列出方程即可【详解】∵宽为x步，则长为（x+12）步，∴，故选C．【点睛】本题考查了矩形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的面积计算公式，准确列出一元二次方程是解题的关键．
在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选：【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.
下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可；【详解】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意；B、不是整式方程，也一定不是一元二次方程，故本选项不合题意；C、不是方程，也一定不是一元二次方程，故本选项不合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故选择：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
一元二次方程的两实数根相等，则的值为（ ）．
A．或 B． C． D．
【答案】B【分析】方程有两相等的实数根，则△=b2-4ac=0，来确定a值．【详解】解：∵方程有两相等的实数根，∴，解得：a=2，故选B．【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
已知x＝1是关于x的一元二次方程3x2﹣x+m＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【答案】B【分析】把x＝1代入方程3x2﹣x+m＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．【详解】∵x＝1是关于x的一元二次方程3x2﹣x+m＝0的一个根，∴3﹣1+m＝0，解得：m＝﹣2．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握定义是解题关键．
某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛28场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：x（x﹣1）＝28，化简，得x2﹣x﹣56＝0，解得x1＝8，x2＝﹣7（舍去），答：参加此次比赛的球队数是8队．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
若关于的方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先将原方程边形为，再根据题意可得即可求出的取值范围．【详解】解：原方程边形为：，∵关于的方程没有实数根，∴ ，即 ，解得： ．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 根的判别式 是解题的关键．
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人，分析得出第一轮后共有人，第二轮后共有人，从而可得答案.【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人，则第一轮后共有人，第二轮后共有人，则可列方程：，故选：【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练应用一元二次方程解决传播问题是解题的关键.
下列结论中，正确的是（ ）．
①，∴，∴，；
②，∴两边同除以，得；
③关于的一元二次方程一定存在两个不相等的实数根；
④元旦期间有名学生互赠贺卡，共赠贺卡30张，可列方程：
A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．③④
【答案】B【分析】①②方程求出解，即可判断；③利用根的判别式进行判断；④根据每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，可得方程．【详解】解：①，提取公因式得：，∴，，故正确；②方程整理得：x2-x=0，即x（x-1）=0，解得：x1=0，x2=1，故错误；③在中，，∴一定存在两个不相等的实数根，故正确；④元旦期间有名学生互赠贺卡，共赠贺卡30张，可列方程：，故正确；故选B．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，由实际问题抽象出一元二次方程，根的判别式等知识，属于基础题．
如果，是一元二次方程的两个实数根，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】利用根与系数关系定理，方程根的定义代入计算即可．【详解】∵ａ，ｂ是一元二次方程的两个实数根，∴ａ＋ｂ＝6，，∴，＝2007＋6＝2013．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数的关系定理是解题的关键．
若关于x的方程＋＋＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（ ）
A．7 B．15 C．31 D．以上选项均不对
【答案】C【分析】给分式方程两边同时乘以2x（x﹣2）化为整式方程，分类讨论方程只有一个实数根时a的值即可求解．【详解】解：由题意，x≠2，x≠0，去分母，得：，整理得：①，（1）若方程①有两个相等的实数根，则有△=16﹣16（8﹣a）=0，解得：a=7，当a=7时，方程①为，解得：，满足2x（x﹣2）≠0，（2）若x=2是方程①的根，则16﹣8﹣a+8=0，解得：a=16，当a=16时，方程①为，解得另一个根为x=﹣1满足2x（x﹣2）≠0，（3）若x=0是方程①的根，则a=8，此时方程①为，解得另一个根为x=1，满足2x（x﹣2）≠0，综上，符合条件的a值有7、16和8，其总和为7+16+8=31，故选：C．【点睛】本题考查分式方程的解、解一元二次方程、解一元一次方程，理解分式方程的解的意义，用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
若ab≠1，且有，及，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A【分析】观察两个式子，可把两个式子整理成形式相同的式子，然后根据根与系数的关系可以求出所求代数式的值．【详解】解：，，，，又，，故a和可看成方程的两根，再运用根与系数的关系得，即．故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系、等式的性质，解题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式．
如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 （ ）
A．741 B．600 C．465 D．300
【答案】B【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，然后根据选项分别求出n的数值，即可作出判断．【详解】解：通过观察图形可知：第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，其中n为正整数，∴当n（n＋1）=741时，解得：（舍），，当n（n＋1）=600时，解得： （舍），当n（n＋1）=465时，解得：（舍），，当n（n＋1）=300时，解得：（舍），，故选：B．【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
如图，在等腰内作正方形，使点D，E，F分别在边上，在正方形中依次作正方形和正方形使．若正方形和正方形的面积分别为1和25，则阴影部分面积为（ ）
A．25 B． C． D．75
【答案】B【分析】首先求出正方形和正方形的边长，再求出正方形BEDF的面积，从而得到边长，同时根据等腰直角三角形的性质得到AE和CF，利用勾股定理求出△BHI、△EIJ、△DGJ、△FGH的直角边长，最后利用三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为1和25，∴MN=NO=OL=LM=1，JI=IH=HG=JG=5，∵四边形BEDF是正方形，∴SDEBF=2S△EIJ+2S△DGJ+2S△FGH+2S△BHI+SMNOL=25×2-1=49，∴DE=DF=BE=BF=7，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DCF=45°，∠AED=∠DFC=90°，∴△AED和△DFC是等腰直角三角形，∴AE=DE=DF=CF=7，由题意可知：△BHI≌△EIJ≌△DJG≌△FGH，∴BH=EI=DJ=GF，BI=EJ=DG=HF，设BI=x，BH=7-x，则，解得：x=4或3，即BI=EJ=DG=HF=4，BH=EI=DJ=GF=3，∴阴影部分面积=S△AIJ+S△CHG，===，故选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的面积，解题的关键是理解题意，读懂图形，找到图中面积和线段之间的转化关系．
关于x的方程无实数根，则m的取值范围为（ ）．
A．m≠0 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞-1
【答案】B【分析】由关于x的方程mx2+2x+1=0没有实数根，而一元一次方程一定有实数根，所以mx2+2x+1=0一定是一元二次方程．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＜0，即22-4 m 1＜0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．【详解】解：当m＝0时，原方程的解是；∵关于x的方程mx2+2x+1=0没有实数根，∴m≠0且△＜0，即22-4 m 1＜0，解得m＞1，∴m的取值范围为m＞1．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
【答案】C【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n= 3，mn= 9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m 9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，∴m＋n＝ 3，mn＝ 9，∵m是x2＋3x 9＝0的一个根，∴m2＋3m 9＝0，∴m2＋3m＝9，∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9 3＝6．故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2= ，x1 x2=．
若ab≠1，且有，及，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A【分析】观察两个式子，可把两个式子整理成形式相同的式子，然后根据根与系数的关系可以求出所求代数式的值．【详解】解：，，，，又，，故a和可看成方程的两根，再运用根与系数的关系得，即．故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系、等式的性质，解题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式．
关于x的方程（1﹣a）x2﹣4x+4＝0有两个不等实数根，且关于y的分式方程＝1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．17 B．21 C．22 D．70
【答案】A【分析】先根据一元二次方程根的情况确定a的取值范围，再解分式方程，根据题意确定整数a的值，再求和即可．【详解】解：∵关于x的方程（1﹣a）x2﹣4x+4＝0有两个不等实数根，∴且，解得且．解分式方程得，，∵分式方程的解为非负整数，∴10-a=0，a=10；10-a=3，a=7；10-a=6，a=4（使分式方程分母为0，舍去）；10-a=9，a=1（舍去）；则符合条件的所有整数a的和为10+7=17；故选：A【点睛】本题考查了分式方程的解和一元二次方程根的情况，解题关键是熟练运用一元二次方程根的判别式和分式方程解为非负整数确定参数的值，再准确计算．
某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有名学生，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为(x-1)张，根据“全班共送出了2550张相片”可得方程为x(x-1)=2550.【详解】解：∵全班有x名学生，∴每名学生应该送的相片为(x-1)张，∴x(x-1)=2550.故选：B．【点睛】本题要注意题目中是共送，也是互送，所以要把握关键语．
在数轴上有不同的两点A、B，其中点A表示的数是，点B表示的数是，如果A，B两点关于原点对称，那么的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．0或2
【答案】C【分析】利用A，B两点关于原点对称，得到关于a的一元二次方程，解方程后检验即可．【详解】解：因为A，B两点关于原点对称，∴，解得，或；因为A、B是不同的两点，当时，，因此 不合题意，故舍去；∴a 的值是2；故选：C．【点睛】本题考查了数轴上关于原点对称的两点对应的数之间的关系，涉及到了相反数的概念和解一元二次方程等内容，解决本题的关键是能正确列出方程并能正确求解，最后要检验结果是否符合题意．
对于实数m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n＝，若x （﹣2）＝10，则实数x等于（ ）
A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8
【答案】A【分析】分和两种情况，分别可得一个关于的方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当时，则，即，解得或（舍去）；（2）当时，则，即，解得（舍去）；综上，，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程，正确理解新运算的定义是解题关键．
在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．4
【答案】C【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可得解．【详解】解：如图2，
先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为：39+（）2×4＝39+25＝64，∴该方程的正数解为﹣×2＝3．故选：C．【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程﹒
对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．只有①③④ D．只有①②③
【答案】B【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．【详解】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△=b2-4a≥0，故①正确；②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，∴△=0-4ac＞0，∴-4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4a＞0，∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，∴c（ac+b+1）=0，若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则由求根公式可得：x0=，∴2ax0+b=±，∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．
如图，一次函数与y轴相交于点，与轴相交于点，在直线上取一点（点不与，重合），过点作轴，垂足为点，连结，若的面积恰好为，则满足条件的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【分析】设p(t，2t+3)，则Q(t，0)，分三种情况分析解答：当p在第一象限时，当p在第二象限时，当p在第三象限时．【详解】解：一次函数，令x=0，则y=3；令y=0，则0=2x+3，解得x=，∴A(0，3)，B(，0)，设p(t，2t+3)，则Q(t，0)，当p在第一象限时，，∴，解得t=（负值舍去），∴2t+3=，∴P(，)；当p在第二象限时，，∴=，解得t= -，∴2t+3=，∴P(-，)；当p在第三象限时，，∴=，解得t=（正值舍去），∴2t+3=，∴P(，)；综上所述，P点的坐标共3个，故选C．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，解题的关键是掌握分类讨论思想的运用．
如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【答案】B【分析】设榣栏AB的长为x米，根据AD+AB+BC=55且AD=BC可得AD=BC=55-2x 米，再由长方形的面积公式可得答案．【详解】解：设榣栏AB的长为x米，则AD=BC=55-2x米，根据题意可得，x(55-2x)=375，故选：B．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B【分析】利用根与系数的关系得到 ， ，再利用完全平方公式和已知条件得到，即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，，∴ ， ，∴，∴，∵，∴ ，解得： ．故选：B．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系解题的关键是熟练掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（）的两根时： ， ．
关于x的方程无实数根，则m的取值范围为（ ）．
A．m≠0 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞-1
【答案】B【分析】由关于x的方程mx2+2x+1=0没有实数根，而一元一次方程一定有实数根，所以mx2+2x+1=0一定是一元二次方程．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＜0，即22-4 m 1＜0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．【详解】解：当m＝0时，原方程的解是；∵关于x的方程mx2+2x+1=0没有实数根，∴m≠0且△＜0，即22-4 m 1＜0，解得m＞1，∴m的取值范围为m＞1．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，依题意得：．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ）
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；
②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C【分析】①正确，利用判别式判断即可．②错误，a=-2时，方程有相等的实数根．③错误，c=0时，结论不成立．④正确，利用求根公式，判断即可．【详解】解：①∵a+2b+4c=0，∴a=-2b-4c，∴方程为（-2b-4c）x2+bx+c=0，∴Δ=b2-4（-2b-4c） c=b2+8bc+16c2=（b+4c）2≥0，∴方程ax2+bx+c=0必有实数根，故①正确．②∵b=3a+2，c=2a+2，∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2=0，∴Δ=（3a+2）2-4a（2a+2）=a2+4a+4=（a+2）2，当a=-2时，Δ=0，方程有相等的实数根，故②错误，③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误．④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，∴t=，∴2at+b=±，∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正确，故选：C．【点睛】本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先根据△=1-m＞0得出m的取值范围，根据b是方程的一个实数根，可得4b2-4b+m=0，整体代入，可得y的取值范围．【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=1-m＞0，∴m＜1，∵b是方程的一个实数根，∴，∴4b2-4b+m=0，∴y=4b2-4b-3m+3=3-4m，∴m=，∴＜1，∴y＞-1，故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．
对于实数m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n＝，若x （﹣2）＝10，则实数x等于（ ）
A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8
【答案】A【分析】分和两种情况，分别可得一个关于的方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当时，则，即，解得或（舍去）；（2）当时，则，即，解得（舍去）；综上，，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程，正确理解新运算的定义是解题关键．
已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
【答案】D【分析】先根据已知可得，，a+b=3，然后再对变形，最后代入求解即可．【详解】解：∵已知，是方程的两根∴，，a+b=3，∴=0+5+30+1=36．故选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键．
一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2
【答案】B【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于x、y的方程组，利用(②-①)÷3可得出x=y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y值，进而得出x的值，再利用矩形面积公式得出图③摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案．【详解】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：，（②-①）÷3，得：y-x+1=0，∴x=y+1③．将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，整理，得：y2-2y-15=0，解得：y1=5，y2=-3（舍去），∴x=6．∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：（x-4）（y-3）+（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
若，，，，为互不相等的正奇数，满足
，则的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A【分析】因为，，，，为互不相等的正奇数，所以，，，，为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为 ，所以这5个偶数只能是2，-2，4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以，，，，分别等于2007，2003，2001，1999，2011，所以的末位数字是1【详解】解：∵，，，，为互不相等的正奇数，∴，，，，为互不相等的偶数，且负数个数为偶数个，而将分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：，∴，，，，分别等于2、、4、6、，∴，，，，分别等于2007，2003，2001，1999，2011，又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1，∴的末位数字是1．故选A．【点睛】本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解是解题关键．
已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，当a为正整数时，a的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．4
【答案】C【分析】关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，计算出的范围，根据要求取是正整数的值．【详解】解：由方程，知，要使方程有两个不相等的实数根，则，即，解得：，要取正整数，或，
故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：要求掌握，当时，方程有两个不等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2021 D．2024
【答案】A【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出，，将变形后代入，即可求出答案．【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能求出和是解此题的关键．
关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0
【答案】D【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac≥0，即：9+4k≥0，解得：k≥﹣，∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．故选：D．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式的运用．
一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程( )
A． B． C． D．
【答案】C【分析】可以先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1-降低的百分率）=72，把相应数值代入即可求解．【详解】解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低为：，则列出的方程是．故选：C．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
若关于x的方程＋＋＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（ ）
A．7 B．15 C．31 D．以上选项均不对
【答案】C【分析】给分式方程两边同时乘以2x（x﹣2）化为整式方程，分类讨论方程只有一个实数根时a的值即可求解．【详解】解：由题意，x≠2，x≠0，去分母，得：，整理得：①，（1）若方程①有两个相等的实数根，则有△=16﹣16（8﹣a）=0，解得：a=7，当a=7时，方程①为，解得：，满足2x（x﹣2）≠0，（2）若x=2是方程①的根，则16﹣8﹣a+8=0，解得：a=16，当a=16时，方程①为，解得另一个根为x=﹣1满足2x（x﹣2）≠0，（3）若x=0是方程①的根，则a=8，此时方程①为，解得另一个根为x=1，满足2x（x﹣2）≠0，综上，符合条件的a值有7、16和8，其总和为7+16+8=31，故选：C．【点睛】本题考查分式方程的解、解一元二次方程、解一元一次方程，理解分式方程的解的意义，用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】C【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．【详解】解：∵[x2+1，x]※[5 2k，k]=0，∴．整理得，．∵方程有两个实数根，∴判别式且．由得，，解得，．∴k的取值范围是且．故选：C【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（ ）
A． B． C．2012 D．2011
【答案】A【分析】根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x1x2，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．【详解】解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，则（ab）2012-（cd）2012=x1x2 (cd)2012，又x1x2=（cd）2012-2012，则（ab）2012-（cd）2012=x1x2 (cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．故选：A．【点睛】此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=．
如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】B【分析】本题已知了 、 的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 =速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值．【详解】解：设秒后，的面积等于，依题意得：，∴， ∴，，当时，，即不合题意，舍去． 所以10秒后，的面积等于．故选B．【点睛】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；解题的关键是准确表示出AP、PC、BQ、CQ关于时间x的代数式，再根据等量关系列出方程来求解．
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第二十一章 一元二次方程单元复习 选择题精选
下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+y＝2 B．x2﹣+1＝0 C．x2﹣5x＝3 D．x﹣3y+1＝0
下列一元二次方程是一般形式的是（ ）
A．x（x﹣5）＝0 B．5x2﹣1＝4x C．2x2﹣x+1＝0 D．4x2＝81
用配方法解方程x2﹣6x﹣9＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝18 B．（x﹣6）2＝45 C．（x﹣3）2＝18 D．（x+6）2＝45
方程x（x﹣1）+x﹣1＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝1
关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．不确定
已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为
A．3 B． C．2 D．
关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
1275年我国南宋数学家杨辉提出一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.设阔（宽）为步，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
一元二次方程的两实数根相等，则的值为（ ）．
A．或 B． C． D．
已知x＝1是关于x的一元二次方程3x2﹣x+m＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛28场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
若关于的方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
下列结论中，正确的是（ ）．
①，∴，∴，；
②，∴两边同除以，得；
③关于的一元二次方程一定存在两个不相等的实数根；
④元旦期间有名学生互赠贺卡，共赠贺卡30张，可列方程：
A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．③④
如果，是一元二次方程的两个实数根，那么（ ）
A． B． C． D．
若关于x的方程＋＋＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（ ）
A．7 B．15 C．31 D．以上选项均不对
若ab≠1，且有，及，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 （ ）
A．741 B．600 C．465 D．300
如图，在等腰内作正方形，使点D，E，F分别在边上，在正方形中依次作正方形和正方形使．若正方形和正方形的面积分别为1和25，则阴影部分面积为（ ）
A．25 B． C． D．75
关于x的方程无实数根，则m的取值范围为（ ）．
A．m≠0 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞-1
若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
若ab≠1，且有，及，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
关于x的方程（1﹣a）x2﹣4x+4＝0有两个不等实数根，且关于y的分式方程＝1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．17 B．21 C．22 D．70
某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有名学生，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
在数轴上有不同的两点A、B，其中点A表示的数是，点B表示的数是，如果A，B两点关于原点对称，那么的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．0或2
对于实数m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n＝，若x （﹣2）＝10，则实数x等于（ ）
A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8
在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．4
对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．只有①③④ D．只有①②③
如图，一次函数与y轴相交于点，与轴相交于点，在直线上取一点（点不与，重合），过点作轴，垂足为点，连结，若的面积恰好为，则满足条件的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
关于x的方程无实数根，则m的取值范围为（ ）．
A．m≠0 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞-1
在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ）
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；
②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则（ ）
A． B． C． D．
对于实数m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n＝，若x （﹣2）＝10，则实数x等于（ ）
A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8
已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2
若，，，，为互不相等的正奇数，满足
，则的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，当a为正整数时，a的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．4
设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2021 D．2024
关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0
一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程( )
A． B． C． D．
若关于x的方程＋＋＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（ ）
A．7 B．15 C．31 D．以上选项均不对
定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（ ）
A． B． C．2012 D．2011
如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（ ）
A．或 B． C． D．
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