2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列前n项和公式分类练习
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列前n项和公式分类练习 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 722.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-09 17:27:23 | ||
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文档简介
4.3.2等比数列前n项和
◆前n项和公式的基础运算
1．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高二期中（理））等比数列中，2，7，则公比=___________.
2．（2021·河南·高二期中（文））为等比数列的前项和，且，，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
3．（2021·河南商丘·高二期中（理））已知正项等比数列中，，，数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
◆等比数列n项和的性质
1．（2020·甘肃省会宁县第一中学高二月考（文））设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
2．（2021·全国·高二课时练习）若数列为等比数列，且，，则___________.
3．（2020·河南·高二月考（理））已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
◆等比数列的应用
1．（多选）（2021·广东·广州英豪学校（中学）高二开学考试）为数列的前n项和，若，则（ ）
A． B．是等差数列
C．是等比数列 D．
2．（2020·甘肃·兰州市第二中学高二期中（理））已知数列的前项和满足条件.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求通项公式及前项和.
◆等比数列前n项和综合应用
1．（2021·陕西咸阳·高二期末（文））某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第一实验室的设备费用为3万元，第三实验室的设备费用为12万元.则该研究所改建这五个实验室投入的设备费用为________万元.
2．（2021·全国·高二课时练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
3．（2021·江苏·高二单元测试）已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
巩固提升
一、单选题
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q＝（ ）
A．1或－1 B．1
C．－1 D．
2．已知等比数列的首项为1，公比为2，则=（ ）
A． B．
C． D．
3．若数列的前项和，则数列的通项公式等于（ ）
A． B． C． D．
4．设为等比数列的前项和，且则等于（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为（ ）(结果精确到0.1，参考数据：，)
A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.8
6．设数列满足，则数列的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，则，，成等比数列
9．下面是按照一定规律画出的一列“树形图”．
其中，第2个图比第I个图多2个“树枝”，第3个图比第2个图多4个“树枝”，第4个图比第3个图多8个“树枝"．假设第个图的树枝数为，数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正项数列满足：，是的前项和，则下列四个命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．是递增数列
三、填空题
11．已知等比数列的前项和，则实数___________.
12．已知数列满足，则的前项和__________.
13．在数列中，，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为______．
四、解答题
14．已知数列满足：，且，其中；
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
15．已知等比数列的前n项和为，且.
（1）求数列的公比q的值.
（2）记，数列的前n项和为，若，求数列的前9项和.
16．已知数列的首项为2，前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.
参考答案
◆前n项和公式的基础运算
1．0.5或2
解：设等比数列的公比为，
因为2，7，所以，
所以，得，，
解得或，
故答案为：0.5或2
2．C
设公比为，则解得或，故或．
故选：C.
3．B
设正项等比数列的公比为，则，
所以，.
故选：B.
◆等比数列n项和的性质
1．C
因为为等比数列的前项和，所以，，成等比数列，
所以，即，解得.
故选：C
2．256
∵是等比数列，
∴，，，，为等比数列，
且公比，
∴.
故答案为：
3．D
设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，
故数列的所有项之和是.
故选：D
◆等比数列的应用
1．ACD
当时，，，A正确；
因为，
，
所以，
化为
所以数列是等比数列，首项，公比 ，故B错、C对；
等比数列的通项公式为：，
，故D对.
故选：ACD.
2．（1）证明见解析；（2），.
（1）当时，，解得，
当时，由可得，
上述两式作差可得，可得，
因为，则，，，以此类推可知，对任意的，，
所以，，因此，数列是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，
由等比数列的求和公式可得.
◆等比数列前n项和综合应用
1．93
设第个实验室的设备费用为，公比为，则，
由题意可得，即，解得，
所以改建这五个实验室投入的设备费用为，
故答案为：.
2．C
若，则，，所以，与矛盾；
若，则因为，所以，，则，与矛盾，
因此，所以A正确．
因为，所以，因此，即B正确．
因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误．
因为当时，，当时，，
所以的最大值为，即D正确．
故选：C
3．D
解：设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得，
所以，
所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，
所以，解得，
故选：D
巩固提升
1．A
由S3＋S6＝S9得S3＝S9－S6，即a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝q6(a1＋a2＋a3)，则q6＝1，q＝±1.
2．D
因为等比数列的首项为1，公比为2，
所以数列是首项为1，公比为4的等比数列
所以
故选：D
3．B
解：，
时，，
解得；
时，，
即，
所以数列是等比数列，首项与公比都为．
则，
故选：．
4．A
解：因为为等比数列的前项和，
所以，，，成等比数列，
因为，，
所以公比，所以，，
所以，
所以，
故选：A.
5．C
设大老鼠每天打洞的进度形成数列，小老鼠每天打洞的进度形成数列，
则由题可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以第天后大老鼠打洞的总进度为，
数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以第天后小老鼠打洞的总进度为，
则由题可得，整理可得，
解得或，即（舍去）或，
.
故选：C.
6．C
由题得（1），
又 （2），
（2）-（1）得适合.
所以，所以数列是以为首项，以的等比数列，
所以.
故选：C
7．ABD
因为，可得，即，解得或，
又由正项的等比数列，可得，所以，所以A正确；
数列的通项公式为，所以B正确；
则，所以C不正确；
由，则，，所以，所以D正确.
故选：ABD.
8．BC
当时，；（），
不满足上式，所以数列不是等差数列，选项A错误；
当时，,，
且满足上式，所以此时数列是等比数列，选项B正确；
根据等差数列的性质可知：；故选项C正确；
当时，是等比数列，而，，，不能构成等比数列，选项D错误．
故选：BC．
9．BC
由题意，由图（3）可得，对于A中，所以A不正确；
由图（2）比图（1）多出2个树枝，图（3）比图（2）多出4个树枝，图（4）比图（3）多出8个树枝，，由此可得，即，所以B正确；
由，
可得，
则，所以，所以C正确；
由，可得，
又由，所以D不正确.
故选：BC.
10．ABC
是正项数列，则由可得，
，即，即，故A正确；
，， ，……，，
，
即，即，则，故B正确；
由可得，
则，
即，则，故C正确；
对D，若是正项等比数列，如公比为3，则，即是常数列，故D错误.
故选：ABC.
11．
由题设，易知等比数列的公比为，
根据等比数列前n项和公式，
∴.
故答案为：
12．
解：∵，
∴.
故答案为：.
13．
解：由，得．
又，，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
所以，
因为符合上式，所以.
故答案为：
14．
（1）证明见解析，
（2）
（1）
解：由题意，数列满足：，且，
可得，且，
所以是首项、公比均为2的等比数列，所以，即.
（2）
解：由（1）知：，
则
.
15．
（1）或2
（2）
（1）
由是等比数列，则，由题知公比（否则与矛盾），
由，得，则，
解得或2；
（2）
由题意知q取值为2，则，
所以数列是一个公差为1的等差数列，
由得，
解之得，即，所以数列的前9项和，
.
16．
（1）
（2）证明见解析
（1）
时，由，得，两式相减可得：，
∴，
∵时，，
∴，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，则.
（2）
由（1）可知，，
∵，
∴，故.
令，则，
∴，
∴，即.
◆前n项和公式的基础运算
1．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高二期中（理））等比数列中，2，7，则公比=___________.
2．（2021·河南·高二期中（文））为等比数列的前项和，且，，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
3．（2021·河南商丘·高二期中（理））已知正项等比数列中，，，数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
◆等比数列n项和的性质
1．（2020·甘肃省会宁县第一中学高二月考（文））设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
2．（2021·全国·高二课时练习）若数列为等比数列，且，，则___________.
3．（2020·河南·高二月考（理））已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
◆等比数列的应用
1．（多选）（2021·广东·广州英豪学校（中学）高二开学考试）为数列的前n项和，若，则（ ）
A． B．是等差数列
C．是等比数列 D．
2．（2020·甘肃·兰州市第二中学高二期中（理））已知数列的前项和满足条件.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求通项公式及前项和.
◆等比数列前n项和综合应用
1．（2021·陕西咸阳·高二期末（文））某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第一实验室的设备费用为3万元，第三实验室的设备费用为12万元.则该研究所改建这五个实验室投入的设备费用为________万元.
2．（2021·全国·高二课时练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
3．（2021·江苏·高二单元测试）已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
巩固提升
一、单选题
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q＝（ ）
A．1或－1 B．1
C．－1 D．
2．已知等比数列的首项为1，公比为2，则=（ ）
A． B．
C． D．
3．若数列的前项和，则数列的通项公式等于（ ）
A． B． C． D．
4．设为等比数列的前项和，且则等于（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为（ ）(结果精确到0.1，参考数据：，)
A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.8
6．设数列满足，则数列的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，则，，成等比数列
9．下面是按照一定规律画出的一列“树形图”．
其中，第2个图比第I个图多2个“树枝”，第3个图比第2个图多4个“树枝”，第4个图比第3个图多8个“树枝"．假设第个图的树枝数为，数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正项数列满足：，是的前项和，则下列四个命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．是递增数列
三、填空题
11．已知等比数列的前项和，则实数___________.
12．已知数列满足，则的前项和__________.
13．在数列中，，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为______．
四、解答题
14．已知数列满足：，且，其中；
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
15．已知等比数列的前n项和为，且.
（1）求数列的公比q的值.
（2）记，数列的前n项和为，若，求数列的前9项和.
16．已知数列的首项为2，前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.
参考答案
◆前n项和公式的基础运算
1．0.5或2
解：设等比数列的公比为，
因为2，7，所以，
所以，得，，
解得或，
故答案为：0.5或2
2．C
设公比为，则解得或，故或．
故选：C.
3．B
设正项等比数列的公比为，则，
所以，.
故选：B.
◆等比数列n项和的性质
1．C
因为为等比数列的前项和，所以，，成等比数列，
所以，即，解得.
故选：C
2．256
∵是等比数列，
∴，，，，为等比数列，
且公比，
∴.
故答案为：
3．D
设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，
故数列的所有项之和是.
故选：D
◆等比数列的应用
1．ACD
当时，，，A正确；
因为，
，
所以，
化为
所以数列是等比数列，首项，公比 ，故B错、C对；
等比数列的通项公式为：，
，故D对.
故选：ACD.
2．（1）证明见解析；（2），.
（1）当时，，解得，
当时，由可得，
上述两式作差可得，可得，
因为，则，，，以此类推可知，对任意的，，
所以，，因此，数列是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，
由等比数列的求和公式可得.
◆等比数列前n项和综合应用
1．93
设第个实验室的设备费用为，公比为，则，
由题意可得，即，解得，
所以改建这五个实验室投入的设备费用为，
故答案为：.
2．C
若，则，，所以，与矛盾；
若，则因为，所以，，则，与矛盾，
因此，所以A正确．
因为，所以，因此，即B正确．
因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误．
因为当时，，当时，，
所以的最大值为，即D正确．
故选：C
3．D
解：设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得，
所以，
所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，
所以，解得，
故选：D
巩固提升
1．A
由S3＋S6＝S9得S3＝S9－S6，即a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝q6(a1＋a2＋a3)，则q6＝1，q＝±1.
2．D
因为等比数列的首项为1，公比为2，
所以数列是首项为1，公比为4的等比数列
所以
故选：D
3．B
解：，
时，，
解得；
时，，
即，
所以数列是等比数列，首项与公比都为．
则，
故选：．
4．A
解：因为为等比数列的前项和，
所以，，，成等比数列，
因为，，
所以公比，所以，，
所以，
所以，
故选：A.
5．C
设大老鼠每天打洞的进度形成数列，小老鼠每天打洞的进度形成数列，
则由题可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以第天后大老鼠打洞的总进度为，
数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以第天后小老鼠打洞的总进度为，
则由题可得，整理可得，
解得或，即（舍去）或，
.
故选：C.
6．C
由题得（1），
又 （2），
（2）-（1）得适合.
所以，所以数列是以为首项，以的等比数列，
所以.
故选：C
7．ABD
因为，可得，即，解得或，
又由正项的等比数列，可得，所以，所以A正确；
数列的通项公式为，所以B正确；
则，所以C不正确；
由，则，，所以，所以D正确.
故选：ABD.
8．BC
当时，；（），
不满足上式，所以数列不是等差数列，选项A错误；
当时，,，
且满足上式，所以此时数列是等比数列，选项B正确；
根据等差数列的性质可知：；故选项C正确；
当时，是等比数列，而，，，不能构成等比数列，选项D错误．
故选：BC．
9．BC
由题意，由图（3）可得，对于A中，所以A不正确；
由图（2）比图（1）多出2个树枝，图（3）比图（2）多出4个树枝，图（4）比图（3）多出8个树枝，，由此可得，即，所以B正确；
由，
可得，
则，所以，所以C正确；
由，可得，
又由，所以D不正确.
故选：BC.
10．ABC
是正项数列，则由可得，
，即，即，故A正确；
，， ，……，，
，
即，即，则，故B正确；
由可得，
则，
即，则，故C正确；
对D，若是正项等比数列，如公比为3，则，即是常数列，故D错误.
故选：ABC.
11．
由题设，易知等比数列的公比为，
根据等比数列前n项和公式，
∴.
故答案为：
12．
解：∵，
∴.
故答案为：.
13．
解：由，得．
又，，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
所以，
因为符合上式，所以.
故答案为：
14．
（1）证明见解析，
（2）
（1）
解：由题意，数列满足：，且，
可得，且，
所以是首项、公比均为2的等比数列，所以，即.
（2）
解：由（1）知：，
则
.
15．
（1）或2
（2）
（1）
由是等比数列，则，由题知公比（否则与矛盾），
由，得，则，
解得或2；
（2）
由题意知q取值为2，则，
所以数列是一个公差为1的等差数列，
由得，
解之得，即，所以数列的前9项和，
.
16．
（1）
（2）证明见解析
（1）
时，由，得，两式相减可得：，
∴，
∵时，，
∴，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，则.
（2）
由（1）可知，，
∵，
∴，故.
令，则，
∴，
∴，即.